Inegalitatea MacLaurin

În matematică , inegalitatea Maclaurin oferă o serie de termeni intermediari între aritmetică și geometrică medie a unui uplu n- a pozitivi reali .

Definiție

Este $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$ un n- tuplu de numere reale. Indicăm cu $c_{k}$ ${\ displaystyle c_ {k}}$ $c_ {k}$ suma tuturor produselor posibile ale factorilor k aleși în n .

Datorită relațiilor dintre rădăcini și coeficienții unui polinom se spune că $c_{k}$ ${\ displaystyle c_ {k}}$ $c_ {k}$ este coeficientul de $x^{n-k}$ ${\ displaystyle x ^ {nk}}$ ${\ displaystyle x ^ {n-k}}$ în polinom $(x+a_{1})\cdot \ldots \cdot (x+a_{n})$ ${\ displaystyle (x + a_ {1}) \ cdot \ ldots \ cdot (x + a_ {n})}$ ${\ displaystyle (x + a_ {1}) \ cdot \ ldots \ cdot (x + a_ {n})}$ .

Indicăm cu $d_{k}$ ${\ displaystyle d_ {k}}$ $d_ {k}$ media aritmetică a suplimentelor care alcătuiesc $c_{k}$ ${\ displaystyle c_ {k}}$ $c_ {k}$ , acesta este

d_{k}={\frac {c_{k}}{n \choose k}}

{\ displaystyle d_ {k} = {\ frac {c_ {k}} {n \ alege k}}}

{\ displaystyle d_ {k} = {\ frac {c_ {k}} {n \ alege k}}}

Inegalitatea lui MacLaurin spune că

{\sqrt[{n}]{d_{n}}}\leq {\sqrt[{n-1}]{d_{n-1}}}\leq \ldots \leq {\sqrt {d_{2}}}\leq d_{1}

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {d_ {n}}} \ leq {\ sqrt [{n-1}] {d_ {n-1}}} \ leq \ ldots \ leq {\ sqrt {d_ {2}}} \ leq d_ {1}}

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {d_ {n}}} \ leq {\ sqrt [{n-1}] {d_ {n-1}}} \ leq \ ldots \ leq {\ sqrt {d_ {2}}} \ leq d_ {1}}

În plus, orice semn egal este valid (și în acest caz sunt valabile toate) dacă și numai dacă $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ toti sunt la fel.

Exemplu

Sa spunem $n=4$ ${\ displaystyle n = 4}$ $n = 4$ și să fie a, b, c, d patru numere reale pozitive. Apoi pentru inegalitatea MacLaurin

{\sqrt[{4}]{abcd}}\leq {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\leq {\sqrt[{2}]{\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\leq {\frac {a+b+c+d}{4}}

{\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {abcd}} \ leq {\ sqrt [{3}] {\ frac {abc + abd + acd + bcd} {4}}} \ leq {\ sqrt [{2 }] {\ frac {ab + ac + ad + bc + bd + cd} {6}}} \ leq {\ frac {a + b + c + d} {4}}}

{\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {abcd}} \ leq {\ sqrt [{3}] {\ frac {abc + abd + acd + bcd} {4}}} \ leq {\ sqrt [{2 }] {\ frac {ab + ac + ad + bc + bd + cd} {6}}} \ leq {\ frac {a + b + c + d} {4}}}

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică