E8 (matematică)

Titlul acestei pagini este incorect datorită caracteristicilor software-ului MediaWiki . Titlul corect este E ₈ .

În matematică , $\mathbf {E} _{8}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {8}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {8}}$ este numele unui grup Lie simplu și excepțional și algebrei Lie asociate.

Este, de asemenea, numele dat sistemului generator corespunzător și grupului Weyl-Coxeter și unor grupuri Chevalley simple și finite. A fost descoperit de Wilhelm Killing (1888-1890).

Numele $E_{8}$ ${\ displaystyle E_ {8}}$ ${\ displaystyle E_ {8}}$ se datorează clasificării algebrelor Lie simple complexe de Wilhelm Killing și Élie Cartan , care includ patru familii infinite, numite $A_{n},\,B_{n},\,C_{n},\,D_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}, \, B_ {n}, \, C_ {n}, \, D_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}, \, B_ {n}, \, C_ {n}, \, D_ {n}}$ , și cinci cazuri excepționale, numite $E_{6},\,E_{7},\,E_{8},\,F_{4},\,G_{2}$ ${\ displaystyle E_ {6}, \, E_ {7}, \, E_ {8}, \, F_ {4}, \, G_ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {6}, \, E_ {7}, \, E_ {8}, \, F_ {4}, \, G_ {2}}$ .

Grupul $E_{8}$ ${\ displaystyle E_ {8}}$ ${\ displaystyle E_ {8}}$ este cel mai mare și mai complicat dintre aceste cazuri excepționale și adesea ultimul caz în dovada mai multor teoreme.

Descriere de bază

Și ₈ are rangul 8 și dimensiunea 248 (ca spațiu vectorial). Prin urmare, generatoarele sunt vectori de dimensiunea 8 și vor fi discutate mai târziu în intrare.

Grupul Weyl de E ₈ este de ordinul 696729600. E ₈ este grupul Lie doar simplu in care non-trivială reprezentarea de dimensiune minimă este acțiunea Adjoint, care acționează asupra algebra E ₈ în sine.

Există o algebră Lie E _n pentru orice număr întreg n≥3 și este infinit-dimensională dacă n este mai mare de 8.

Forme reale

Grupul Lie complex E ₈ , de dimensiune complexă 248, poate fi considerat ca un grup simplu de dimensiune (reală) 496, care este pur și simplu conectat , are ca subgrup compact maxim forma compactă a lui E ₈ și are un grup exterior de automorfisme de dimensiunea 2, generate de conjugarea complexă.

Pe lângă grupul complex Lie, există trei forme reale de E ₈ , toate de dimensiunea 248, după cum urmează:

O formă compactă (cea la care se referă numele în absența altor informații), care este pur și simplu conectată și are un grup extern de automorfisme banale.
O formă divizată , care are ca subgrup compact un maxim $Spin(16)/(Z/2Z)$ ${\ displaystyle Spin (16) / (Z / 2Z)}$ ${\ displaystyle Spin (16) / (Z / 2Z)}$ , grup fundamental de ordinul 2, este o acoperire dublă non-algebrică și are un grup extern de automorfisme banale.
O a treia formă, care are ca subgrup compact maxim $E_{7}\times SU(2)/(-I\times -I)$ ${\ displaystyle E_ {7} \ times SU (2) / (- I \ times -I)}$ ${\ displaystyle E_ {7} \ times SU (2) / (- I \ times -I)}$ , grup fundamental de ordinul 2, este o acoperire dublă non-algebrică și are un grup extern de automorfisme banale.

Teoria reprezentării

Coeficienții formulelor de caractere pentru reprezentările ireductibile infinit-dimensionale depind de unele matrice pătrate de polinoame, polinoamele Lusztig-Vogan , analoage polinoamelor Kazhdan-Lusztig , introduse de George Lusztig și David Vogan (1983). Valoarea acestor polinoame calculate în 1 dă coeficienții matricilor în raport cu reprezentarea standard (ale cărei caractere sunt ușor de descris cu reprezentări ireductibile).

Aceste matrice au fost calculate după patru ani cu o colaborare a unui grup de 18 matematicieni și informaticieni promovate de Institutul American de Matematică , cu o lucrare condusă de Jeffrey Adams și cu o mare parte din programarea realizată de Fokko du Cloux. ^[1]

Notă

^ Anunțul finalizării calculului pe site-ul web AIM .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Anunțul finalizării calculului pe site-ul web AIM .

[1]