Ecuația Larmor

În fizică , ecuația Larmor sau formula Larmor , derivată de Joseph Larmor în 1897, descrie puterea radiației emise de o particulă încărcată non-relativistă $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ când particula suferă o variație a vitezei .

Ecuația

Accelerarea unei sarcini produce emisia de radiații electromagnetice , care se propagă sub formă de undă . Pentru viteze mult mai mici decât viteza luminii, puterea totală radiată este dată de ecuația Larmor, care în sistemul internațional este dată de: ^[1]

P={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}}}

în timp ce se află în sistemul CGS :

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}

{\ displaystyle P = {2 \ peste 3} {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {c ^ {3}}}}

{\ displaystyle P = {2 \ peste 3} {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {c ^ {3}}}}

unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este taxa, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este accelerația și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii. Generalizarea relativistă, pentru viteze apropiate $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , este asigurat de potențialele Liénard-Wiechert .

Derivare

Același subiect în detaliu: potențialul Liénard-Wiechert .

Câmpul generat de o particulă încărcată nerelativistă în mișcare, obținut pornind de la potențialele Liénard - Wiechert , are forma: ^[2]

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=q\left[{\frac {\mathbf {n} -\mathbf {\beta } }{\gamma ^{2}(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right]_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left[{\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times \mathbf {\dot {\beta }} ]}{(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right]_{\rm {ret}}\qquad \mathbf {B} =[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]_{\rm {ret}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) = q \ left [{\ frac {\ mathbf {n} - \ mathbf {\ beta}} {\ gamma ^ {2} (1- \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {n}) ^ {3} R ^ {2}}} \ right] _ {\ rm {ret}} + {\ frac {q} {c}} \ left [{ \ frac {\ mathbf {n} \ times [(\ mathbf {n} - \ mathbf {\ beta}) \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}]} {(1- \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {n}) ^ {3} R}} \ right] _ {\ rm {ret}} \ qquad \ mathbf {B} = [\ mathbf {n} \ times \ mathbf {E}] _ {\ rm {ret}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) = q \ left [{\ frac {\ mathbf {n} - \ mathbf {\ beta}} {\ gamma ^ {2} (1- \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {n}) ^ {3} R ^ {2}}} \ right] _ {\ rm {ret}} + {\ frac {q} {c}} \ left [{ \ frac {\ mathbf {n} \ times [(\ mathbf {n} - \ mathbf {\ beta}) \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}]} {(1- \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {n}) ^ {3} R}} \ right] _ {\ rm {ret}} \ qquad \ mathbf {B} = [\ mathbf {n} \ times \ mathbf {E}] _ {\ rm {ret}}}

unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este taxa, $\mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ beta} = {\ frac {\ mathbf {v}} {c}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ beta} = {\ frac {\ mathbf {v}} {c}}}$ este rata de încărcare împărțită la c , $\mathbf {\dot {\beta }} ={\frac {\mathbf {\dot {v}} }{c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {\ beta}} = {\ frac {\ mathbf {\ dot {v}}} {c}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {\ beta}} = {\ frac {\ mathbf {\ dot {v}}} {c}}}$ este accelerarea sarcinii împărțită la c , $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ un vector unitate paralel a $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}}$ și $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ forma de $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}}$ . Condițiile pentru al doilea membru sunt evaluate la timpul întârziat, date de:

t'=t-{R \over c}

{\ displaystyle t '= t- {R \ over c}}

{\ displaystyle t '= t- {R \ over c}}

Expresia câmpului este suma celor două contribuții la cel de-al doilea membru, relativ la viteza și accelerația sarcinii, fiind respectiv dependente de $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ și din $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ Și ${\dot {\beta }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ beta}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ beta}}}$ . Câmpul de viteză este proporțional cu $R^{-2}$ ${\ displaystyle R ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle R ^ {- 2}}$ și, prin urmare, dispare rapid pe măsură ce distanța crește. Câmpul de accelerație, notat cu $\mathbf {E} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {a}}$ , scade pe măsură ce $R^{-1}$ ${\ displaystyle R ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle R ^ {- 1}}$ și este în principal responsabil pentru pierderea de energie prin încărcare.

Densitatea fluxului de energie radiată este dată de vectorul Poynting pentru câmpul de accelerație:

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{a}\times \mathbf {B} ={\frac {c}{4\pi }}|\mathbf {E} _{a}|^{2}\mathbf {n} ={\frac {q}{c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times \mathbf {\dot {\beta }} )}{R}}\right|^{2}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {c} {4 \ pi}} \ mathbf {E} _ {a} \ times \ mathbf {B} = {\ frac {c} {4 \ pi}} | \ mathbf {E} _ {a} | ^ {2} \ mathbf {n} = {\ frac {q} {c}} \ left | {\ frac {\ mathbf {n} \ times (\ mathbf {n } \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}})} {R}} \ right | ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {c} {4 \ pi}} \ mathbf {E} _ {a} \ times \ mathbf {B} = {\ frac {c} {4 \ pi}} | \ mathbf {E} _ {a} | ^ {2} \ mathbf {n} = {\ frac {q} {c}} \ left | {\ frac {\ mathbf {n} \ times (\ mathbf {n } \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}})} {R}} \ right | ^ {2}}

Puterea radiată pe unitate de unghi solid $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este deci dat de:

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {c}{4\pi }}|R\mathbf {E} _{a}|^{2}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}|\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times \mathbf {\dot {\beta }} )|^{2}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {c} {4 \ pi}} | R \ mathbf {E} _ {a} | ^ {2} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi c}} | \ mathbf {n} \ times (\ mathbf {n} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) | ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {c} {4 \ pi}} | R \ mathbf {E} _ {a} | ^ {2} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi c}} | \ mathbf {n} \ times (\ mathbf {n} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) | ^ {2}}

Spus $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ unghiul dintre vectori $\mathbf {\dot {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {v}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {v}}}$ Și $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ , radiația este polarizată în planul generat de acești vectori și avem:

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}R^{2}}}\sin ^{2}{\theta }|\mathbf {\dot {v}} |^{2}{\hat {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi c ^ {3} R ^ {2}}} \ sin ^ {2} {\ theta} | \ mathbf {\ punct {v}} | ^ {2} {\ hat {n}}}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi c ^ {3} R ^ {2}}} \ sin ^ {2} {\ theta} | \ mathbf {\ punct {v}} | ^ {2} {\ hat {n}}}

unde dependența de $\sin ^{2}{\theta }$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta}}$ .

Puterea totală radiată se obține prin integrarea pe întregul unghi solid $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ :

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}|\mathbf {\dot {v}} |^{2}}{c^{3}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2} | \ mathbf {\ dot {v}} | ^ {2}} {c ^ {3}}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2} | \ mathbf {\ dot {v}} | ^ {2}} {c ^ {3}}}}

care este rezultatul lui Larmor pentru o sarcină non-relativistă accelerată. Este o cantitate covariantă , adică invariantă sub transformarea Lorentz .

Generalizare relativistă

Ecuația Larmor poate fi modificată pentru viteze relativiste, având în vedere componenta spațială $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ a quadrimpulsei $P^{\mu }$ ${\ displaystyle P ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle P ^ {\ mu}}$ :

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}m^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)

{\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {c ^ {3} m ^ {2}}} \ left ({\ frac {d \ mathbf {p }} {dt}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ right)}

{\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {c ^ {3} m ^ {2}}} \ left ({\ frac {d \ mathbf {p }} {dt}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ right)}

Astfel obținem generalizarea invariantă: ^[3]

P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}

{\ displaystyle P = - {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {3}}} {\ frac {dP ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dP _ {\ mu}} {d \ tau}}}

{\ displaystyle P = - {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {3}}} {\ frac {dP ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dP _ {\ mu}} {d \ tau}}}

Prin urmare, puterea radiată depinde de amploarea variației impulsului încărcării în timp și este proporțională cu pătratul sarcinii și invers proporțional cu pătratul masei sale. Rescriind produsul energiei-impuls patru-vector avem:

{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}={\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {dP}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}

{\ displaystyle {\ frac {dP ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dP _ {\ mu}} {d \ tau}} = {\ frac {1} {c ^ {2} }} \ left ({\ frac {dE} {d \ tau}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} \ right) ^ { 2} = {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {dP} {d \ tau}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {dP ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dP _ {\ mu}} {d \ tau}} = {\ frac {1} {c ^ {2} }} \ left ({\ frac {dE} {d \ tau}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} \ right) ^ { 2} = {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {dP} {d \ tau}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} \ right) ^ {2}}

unde s-a exploatat că:

{\frac {dE}{d\tau }}={\frac {Pc^{2}}{E}}{\frac {dP}{d\tau }}=v{\frac {dP}{d\tau }}

{\ displaystyle {\ frac {dE} {d \ tau}} = {\ frac {Pc ^ {2}} {E}} {\ frac {dP} {d \ tau}} = v {\ frac {dP} {d \ tau}}}

{\ displaystyle {\ frac {dE} {d \ tau}} = {\ frac {Pc ^ {2}} {E}} {\ frac {dP} {d \ tau}} = v {\ frac {dP} {d \ tau}}}

La sfârșitul $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ la zero, $\gamma \to 1$ ${\ displaystyle \ gamma \ to 1}$ ${\ displaystyle \ gamma \ to 1}$ prin urmare $d\tau \to dt$ ${\ displaystyle d \ tau \ to dt}$ ${\ displaystyle d \ tau \ to dt}$ .

Formă necovariantă

În ceea ce privește energia $E=\gamma mc^{2}$ ${\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2}}$ și impuls $\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m \ mathbf {v}}$ , înlocuind:

p^{\mu }=(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} )

{\ displaystyle p ^ {\ mu} = (\ gamma mc, \ gamma m \ mathbf {v})}

{\ displaystyle p ^ {\ mu} = (\ gamma mc, \ gamma m \ mathbf {v})}

în expresia covariantă, avem:

{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}

{\ displaystyle {\ frac {dp ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dp _ {\ mu}} {d \ tau}} = - \ left ({\ frac {d \ mathbf { p}} {d \ tau}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {dE} {d \ tau}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {dp ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dp _ {\ mu}} {d \ tau}} = - \ left ({\ frac {d \ mathbf { p}} {d \ tau}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {dE} {d \ tau}} \ right) ^ {2}}

=-\gamma ^{2}\left({\frac {d\gamma m\mathbf {v} }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {d\gamma mc^{2}}{dt}}\right)^{2}

{\ displaystyle = - \ gamma ^ {2} \ left ({\ frac {d \ gamma m \ mathbf {v}} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ gamma ^ {2} } {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {d \ gamma mc ^ {2}} {dt}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle = - \ gamma ^ {2} \ left ({\ frac {d \ gamma m \ mathbf {v}} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ gamma ^ {2} } {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {d \ gamma mc ^ {2}} {dt}} \ right) ^ {2}}

=-\gamma ^{2}[-(\gamma m\mathbf {\dot {v}} +\gamma ^{3}m\mathbf {v} (\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} ))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} mc^{2})^{2}]

{\ displaystyle = - \ gamma ^ {2} [- (\ gamma m \ mathbf {\ dot {v}} + \ gamma ^ {3} m \ mathbf {v} (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}})) ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} (\ gamma ^ {3} \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot { \ beta}} mc ^ {2}) ^ {2}]}

{\ displaystyle = - \ gamma ^ {2} [- (\ gamma m \ mathbf {\ dot {v}} + \ gamma ^ {3} m \ mathbf {v} (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}})) ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} (\ gamma ^ {3} \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot { \ beta}} mc ^ {2}) ^ {2}]}

=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-(\mathbf {\beta } (\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )+{\frac {\mathbf {\dot {\beta }} }{\gamma ^{2}}})^{2}]

{\ displaystyle = \ gamma ^ {8} m ^ {2} c ^ {2} [(\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} - (\ mathbf { \ beta} (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) + {\ frac {\ mathbf {\ dot {\ beta}}} {\ gamma ^ {2}}}) ^ {2}]}

{\ displaystyle = \ gamma ^ {8} m ^ {2} c ^ {2} [(\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} - (\ mathbf { \ beta} (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) + {\ frac {\ mathbf {\ dot {\ beta}}} {\ gamma ^ {2}}}) ^ {2}]}

Așadar:

{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}\left(-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-{\frac {\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}}{\gamma ^{4}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {dp ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dp _ {\ mu}} {d \ tau}} = \ gamma ^ {8} m ^ {2} c ^ {2} \ left (- {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}} (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} - {\ frac {\ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2}} {\ gamma ^ {4}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {dp ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dp _ {\ mu}} {d \ tau}} = \ gamma ^ {8} m ^ {2} c ^ {2} \ left (- {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}} (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} - {\ frac {\ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2}} {\ gamma ^ {4}}} \ right)}

Prin adăugarea și scăderea ${\frac {\mathbf {\beta } ^{2}\cdot \mathbf {\dot {\beta }} ^{2}}{\gamma ^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {\ beta} ^ {2} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2}} {\ gamma ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {\ beta} ^ {2} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2}} {\ gamma ^ {2}}}}$ avem:

\gamma ^{6}m^{2}c^{2}[(\mathbf {\beta } ^{2}\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}-(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2})-\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}]

{\ displaystyle \ gamma ^ {6} m ^ {2} c ^ {2} [(\ mathbf {\ beta} ^ {2} \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2} - (\ mathbf { \ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2}) - \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2}]}

{\ displaystyle \ gamma ^ {6} m ^ {2} c ^ {2} [(\ mathbf {\ beta} ^ {2} \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2} - (\ mathbf { \ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2}) - \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2}]}

și exploatarea identității vectoriale:

(\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )\cdot (\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )=(\mathbf {\beta } ^{2}\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}-(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2})

{\ displaystyle (\ mathbf {\ beta} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) \ cdot (\ mathbf {\ beta} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) = (\ mathbf { \ beta} ^ {2} \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2} - (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2})}

{\ displaystyle (\ mathbf {\ beta} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) \ cdot (\ mathbf {\ beta} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) = (\ mathbf { \ beta} ^ {2} \ mathbf {\ dot {\ beta}} ^ {2} - (\ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2})}

primesti:

P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left((\mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-(\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}\right)

{\ displaystyle P = {\ frac {2q ^ {2} \ gamma ^ {6}} {3c}} \ left ((\ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} - (\ mathbf {\ beta} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle P = {\ frac {2q ^ {2} \ gamma ^ {6}} {3c}} \ left ((\ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} - (\ mathbf {\ beta} \ times \ mathbf {\ dot {\ beta}}) ^ {2} \ right)}

care este expresia găsită de Liénard în 1898. ^[3]

Termenul $\gamma ^{6}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {6}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {6}}$ evidențiază faptul că pentru $\gamma \to 1$ ${\ displaystyle \ gamma \ to 1}$ ${\ displaystyle \ gamma \ to 1}$ , asta este pentru $\beta <<1$ ${\ displaystyle \ beta << 1}$ ${\ displaystyle \ beta << 1}$ , radiația emisă este neglijabilă. Mai mult, dacă accelerația și viteza sunt ortogonale, puterea este redusă cu un factor $\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ beta} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ beta}}}$ , iar acest factor de reducere crește odată cu viteza.