Ecuația Sackur-Tetrode

Ecuația Sackur - Tetrode este o expresie pentru entropia unui gaz ideal monatomic clasic care folosește considerații cuantice pentru a ajunge la o formulă exactă. Termodinamica clasică poate furniza entropia unui gaz clasic ideal până la o constantă.

Ecuația Sackur - Tetrode este numită în cinstea lui Hugo Martin Tetrode (1895–1931) și Otto Sackur (1880–1914), care au dezvoltat-o independent ca soluție la statistica gazelor Boltzmann și la ecuația entropiei, mai mult sau mai puțin în același timp în 1912.

Ecuația Sackur - Tetrode este scrisă astfel:

S=kN\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {3}{2}}kN\left({\frac {5}{3}}+\ln {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right)

{\ displaystyle S = kN \ ln \ left [\ left ({\ frac {V} {N}} \ right) \ left ({\ frac {U} {N}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] + {\ frac {3} {2}} kN \ left ({\ frac {5} {3}} + \ ln {\ frac {4 \ pi m} {3h ^ {2} }} \ dreapta)}

{\ displaystyle S = kN \ ln \ left [\ left ({\ frac {V} {N}} \ right) \ left ({\ frac {U} {N}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] + {\ frac {3} {2}} kN \ left ({\ frac {5} {3}} + \ ln {\ frac {4 \ pi m} {3h ^ {2} }} \ dreapta)}

unde V este volumul gazului, N este numărul de particule din gaz, U este energia internă a gazului, k este constanta Boltzmann , m este masa unei particule de gaz, h este constanta Planck și ln este logaritmul natural . Vezi paradoxul lui Gibbs pentru o derivare a ecuației Sackur - Tetrode. Vezi și articolul despre gazul ideal pentru constrângerile plasate asupra entropiei unui gaz ideal în termodinamică.

Ecuația Sackur - Tetrode poate fi scrisă în termeni de lungime de undă termică $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ . Folosind relația pentru un gaz ideal clasic U = (3/2) NkT pentru un gaz monatomic dă

{\frac {S}{kN}}=\ln \left[{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right]+{\frac {5}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {S} {kN}} = \ ln \ left [{\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ right] + {\ frac {5} {2}}}

{\ displaystyle {\ frac {S} {kN}} = \ ln \ left [{\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ right] + {\ frac {5} {2}}}

Rețineți că se presupune că gazul se află în regim clasic și că este descris de statisticile Maxwell-Boltzmann (cu „numărul corect”). Din definiția lungimii de undă termică, rezultă că ecuația Sackur - Tetrode este valabilă numai pentru

{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.

{\ displaystyle {\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ gg 1.}

{\ displaystyle {\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ gg 1.}

și, de fapt, entropia prezisă de ecuația Sackur - Tetrode tinde la minus infinit, deoarece temperatura tinde la zero.

Derivare

Pentru a obține ecuația Sackur-Tetrode pornim de la numărul de microstate pentru un gaz clasic format din N particule distincte, doar pentru a lua în considerare indistinguibilitatea lor cu aproximarea Maxwell-Boltzmann, care consideră două microstate ca echivalente în cazul în care unul poate fi obținut ca o permutare a celuilalt.

Numărul de microstate pentru un sistem de N particule într-un volum V este:

$\Omega (U)={\frac {(\pi )^{\frac {3N}{2}}}{\Gamma \left({\frac {3N}{2}}+1\right)}}{\frac {V^{N}}{(2\pi )^{3N}}}{\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)}^{\frac {3N}{2}}{\left({\frac {U}{N}}\right)}^{\frac {3N}{2}}$ ${\ displaystyle \ Omega (U) = {\ frac {(\ pi) ^ {\ frac {3N} {2}}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3N} {2}} + 1 \ right) }} {\ frac {V ^ {N}} {(2 \ pi) ^ {3N}}} {\ left ({\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ right)} ^ {\ frac {3N} {2}} {\ left ({\ frac {U} {N}} \ right)} ^ {\ frac {3N} {2}}}$ ${\ displaystyle \ Omega (U) = {\ frac {(\ pi) ^ {\ frac {3N} {2}}} {\ Gamma \ left ({\ frac {3N} {2}} + 1 \ right) }} {\ frac {V ^ {N}} {(2 \ pi) ^ {3N}}} {\ left ({\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ right)} ^ {\ frac {3N} {2}} {\ left ({\ frac {U} {N}} \ right)} ^ {\ frac {3N} {2}}}$

Cu toate acestea, trebuie amintit că numărul de microstate (pentru un sistem în care particulele nu se disting) este de fapt extrem de mic:

$\Omega (U)_{i}={\frac {\Omega (U)}{N!}}$ ${\ displaystyle \ Omega (U) _ {i} = {\ frac {\ Omega (U)} {N!}}}$ ${\ displaystyle \ Omega (U) _ {i} = {\ frac {\ Omega (U)} {N!}}}$

Prin urmare, cu acest tip de informații este posibil să se obțină entropia cu definiția lui Boltzmann, exploatând aproximarea Stirling pentru a exprima factorialul, presupunând că numărul de particule este suficient de mare (o condiție îndeplinită în mare măsură de ipotezele necesare aplicării fizicii statistice instrumente).

$S_{i}=k_{B}\ln(\Omega (U)_{i})=S_{d}-k_{B}\ln(N!)\simeq S_{d}-k_{B}(N\ln(N)-N)$ ${\ displaystyle S_ {i} = k_ {B} \ ln (\ Omega (U) _ {i}) = S_ {d} -k_ {B} \ ln (N!) \ simeq S_ {d} -k_ { B} (N \ ln (N) -N)}$ ${\ displaystyle S_ {i} = k_ {B} \ ln (\ Omega (U) _ {i}) = S_ {d} -k_ {B} \ ln (N!) \ simeq S_ {d} -k_ { B} (N \ ln (N) -N)}$

Din această expresie putem găsi, prin urmare, expresia formulată prin ecuația Sackur-Tetrode.

Elemente conexe

Entropie

Portalul Termodinamicii : accesați intrările Wikipedia care se referă la Termodinamică