Ecuația exponențială

O ecuație exponențială este o ecuație în care necunoscutul este găsit ca exponent al oricărei baze: este de exemplu o ecuație exponențială $a^{x+8}=x+2\;$ ${\ displaystyle a ^ {x + 8} = x + 2 \;}$ ${\ displaystyle a ^ {x + 8} = x + 2 \;}$ , dar nu $x^{a}+e^{3}=3\;$ ${\ displaystyle x ^ {a} + e ^ {3} = 3 \;}$ ${\ displaystyle x ^ {a} + e ^ {3} = 3 \;}$ .

Explicaţie

Pentru a rezolva o ecuație exponențială, trebuie să încercăm să o reducem la o formă redusă de tip $a^{x}=b\;$ ${\ displaystyle a ^ {x} = b \;}$ ${\ displaystyle a ^ {x} = b \;}$ . Mai târziu încercăm să raportăm $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în dependență de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , ducând la o formă de acest tip $a^{x}=a^{c}\;$ ${\ displaystyle a ^ {x} = a ^ {c} \;}$ ${\ displaystyle a ^ {x} = a ^ {c} \;}$ , adică reducerea tuturor termenilor ecuației la puteri cu aceeași bază. În acest moment puteți trece la argumente și rezolvați ecuația pentru $x=c\;$ ${\ displaystyle x = c \;}$ ${\ displaystyle x = c \;}$ . Dacă nu o poți exprima $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ca putere a $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , trebuie să recurgem la teoria logaritmilor : $a^{x}=b\;$ ${\ displaystyle a ^ {x} = b \;}$ ${\ displaystyle a ^ {x} = b \;}$ dacă și numai dacă $x=\log _{a}b\;$ ${\ displaystyle x = \ log _ {a} b \;}$ ${\ displaystyle x = \ log _ {a} b \;}$ .

Funcția exponențială pentru o bază strict mai mare de 1.

Pentru a calcula mai ușor soluțiile unei ecuații exponențiale, vă puteți baza și pe graficul funcției exponențiale . Această procedură este necesară atunci când necunoscutul apare atât ca exponent, cât și ca bază; în acest caz, de fapt, ecuația este transcendentă și nu poate fi rezolvată decât în cazuri particulare. Pentru o rezoluție grafică a ecuației, este necesar să se păstreze funcția exponențială pe o parte a semnului egalității, aducând orice altceva la cealaltă parte a egalului. În acest moment, funcția exponențială și funcția reprezentată de tot ceea ce depășește semnul egal sunt desenate pe grafic: se verifică apoi valoarea sau setul de valori pentru care se îndeplinește ecuația . Soluțiile sunt de fapt reprezentate, pe grafic, de abscisa intersecțiilor dintre graficele funcțiilor.

Exemplu : $e^{x}+x-1=0\;$ ${\ displaystyle e ^ {x} + x-1 = 0 \;}$ ${\ displaystyle e ^ {x} + x-1 = 0 \;}$ .

Este raportat în formular $e^{x}=-x+1\;$ ${\ displaystyle e ^ {x} = - x + 1 \;}$ ${\ displaystyle e ^ {x} = - x + 1 \;}$ . Funcția exponențială este desenată pe grafic $f(x)=e^{x}\;$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x} \;}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x} \;}$ (graficul opus) și linia dreaptă $g(x)=-x+1\;$ ${\ displaystyle g (x) = - x + 1 \;}$ ${\ displaystyle g (x) = - x + 1 \;}$ . Este ușor să verificați dacă cele două funcții se întrunesc într-un singur punct, $P(0,1)\;$ ${\ displaystyle P (0,1) \;}$ ${\ displaystyle P (0,1) \;}$ . Soluția ecuației este deci $x=0\;$ ${\ displaystyle x = 0 \;}$ ${\ displaystyle x = 0 \;}$ .

Exemple de rezoluție

Acest exemplu practic simplu vă permite să înțelegeți mai bine cum este posibil să rezolvați o ecuație exponențială:

$\left({\frac {1}{5}}\right)^{6-x}=5$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {5}} \ right) ^ {6-x} = 5}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {5}} \ right) ^ {6-x} = 5}$ $\Rightarrow \left(5^{-1}\right)^{6-x}=5$ ${\ displaystyle \ Rightarrow \ left (5 ^ {- 1} \ right) ^ {6-x} = 5}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow \ left (5 ^ {- 1} \ right) ^ {6-x} = 5}$ $\Rightarrow -6+x=1$ ${\ displaystyle \ Rightarrow -6 + x = 1}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow -6 + x = 1}$ $\Rightarrow x=7$ ${\ displaystyle \ Rightarrow x = 7}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow x = 7}$

Mai întâi creștem fracția la -1 pentru a avea toate bazele egale, adică 5, apoi folosind proprietățile puterilor înmulțim exponenții cu -1 pentru a le izola de baze, pe care le anulăm.

Ecuația de gradul întâi creată cu exponenții celui precedent permite găsirea rezultatului final 7.

Iată un alt exemplu:

$3^{5x+1}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{9}}}\ \Rightarrow \ 3^{5x+1}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{3^{2}}}}\ \Rightarrow \ 3^{5x+1}={\frac {1}{3^{\frac {2}{5}}}}\ \Rightarrow \ 3^{5x+1}=3^{-{\frac {2}{5}}}\ \Rightarrow \ 5x+1=-{\frac {2}{5}}\ \Rightarrow \ x=-{\frac {7}{25}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {5x + 1} = {\ frac {1} {\ sqrt [{5}] {9}}} \ \ Rightarrow \ 3 ^ {5x + 1} = {\ frac {1} {\ sqrt [{5}] {3 ^ {2}}}} \ \ Rightarrow \ 3 ^ {5x + 1} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {2} {5}}}} \ \ Rightarrow \ 3 ^ {5x + 1} = 3 ^ {- {\ frac {2} {5}}} \ \ Rightarrow \ 5x + 1 = - {\ frac {2} {5}} \ \ Rightarrow \ x = - {\ frac {7} {25}}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {5x + 1} = {\ frac {1} {\ sqrt [{5}] {9}}} \ \ Rightarrow \ 3 ^ {5x + 1} = {\ frac {1} {\ sqrt [{5}] {3 ^ {2}}}} \ \ Rightarrow \ 3 ^ {5x + 1} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {2} {5}}}} \ \ Rightarrow \ 3 ^ {5x + 1} = 3 ^ {- {\ frac {2} {5}}} \ \ Rightarrow \ 5x + 1 = - {\ frac {2} {5}} \ \ Rightarrow \ x = - {\ frac {7} {25}}}$

De data aceasta au fost folosite proprietățile radicalilor și puterile, precum și artificiile $9=3^{2}$ ${\ displaystyle 9 = 3 ^ {2}}$ ${\ displaystyle 9 = 3 ^ {2}}$ .

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 32482

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică