Ecuațiile de la Londra

Ecuațiile de la Londra sunt cele mai simple relații constitutive pentru a descrie superconductivitatea . Rezultatul principal al acestor ecuații este să puteți descrie efectul Meissner-Ochsenfeld , care nu poate fi explicat pur și simplu cu ecuațiile lui Maxwell . Au fost dezvoltate în 1935 de cei doi frați Fritz și Heinz London .

Formulare

O posibilă formulare a ecuațiilor de la Londra este:

${\begin{cases}\displaystyle {{\frac {d{\vec {J}}}{dt}}={\frac {\vec {E}}{\mu _{0}\lambda _{L}^{2}}}}\\\displaystyle {\nabla \times {\vec {J}}=-{\frac {\vec {H}}{\lambda _{L}^{2}}}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {{\ frac {d {\ vec {J}}} {dt}} = {\ frac {\ vec {E}} {\ mu _ {0} \ lambda _ {L} ^ {2}}}} \\\ displaystyle {\ nabla \ times {\ vec {J}} = - {\ frac {\ vec {H}} {\ lambda _ {L} ^ {2}} }} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {{\ frac {d {\ vec {J}}} {dt}} = {\ frac {\ vec {E}} {\ mu _ {0} \ lambda _ {L} ^ {2}}}} \\\ displaystyle {\ nabla \ times {\ vec {J}} = - {\ frac {\ vec {H}} {\ lambda _ {L} ^ {2}} }} \ end {cases}}}$

in care $\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu_0$ este permeabilitatea magnetică a vidului, în timp ce $\lambda _{L}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {L}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {L}}$ se numește lungimea de penetrare a Londrei , care este dimensiunea unei lungimi. Acest parametru este definit ca

$\lambda _{L}={\sqrt {\frac {m}{n_{s}e^{2}\mu _{0}}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {L} = {\ sqrt {\ frac {m} {n_ {s} e ^ {2} \ mu _ {0}}}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {L} = {\ sqrt {\ frac {m} {n_ {s} e ^ {2} \ mu _ {0}}}}}$

cu $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ egal cu sarcina electrică elementară, $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ egală cu masa electronului în timp ce $n_{s}$ ${\ displaystyle n_ {s}}$ ${\ displaystyle n_ {s}}$ este un parametru fenomenologic numit densitatea super-purtătorilor .

Prima ecuație

Prima ecuație de la Londra descrie prima dintre cele două caracteristici ale unui supraconductor, și anume absența rezistenței DC. Pentru a obține această ecuație, este suficient să se ia în considerare modelul lui Drude pentru conductivitatea electrică a metalelor .

Derivarea ecuației

Modelul lui Drude pentru curenții de curent continuu propune următoarea ecuație care descrie mișcarea electronilor:

$m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-e{\vec {E}}-{\frac {m{\vec {v}}}{\tau }}$ ${\ displaystyle m {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = - e {\ vec {E}} - {\ frac {m {\ vec {v}}} {\ tau}} }$ ${\ displaystyle m {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = - e {\ vec {E}} - {\ frac {m {\ vec {v}}} {\ tau}} }$

unde este $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este egal cu sarcina electrică elementară, $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este egală cu masa electronului e $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ se numește timp de relaxare și reprezintă timpul mediu care separă două coliziuni distincte ale unui electron în rețeaua ionilor metalici.

Fiind conductivitatea electrică $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ direct proporțională cu $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , se poate imagina că într-un material în care nu există rezistență timpul de relaxare este foarte mare, tindând la infinit. De sine $\tau \rightarrow \infty$ ${\ displaystyle \ tau \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ tau \ rightarrow \ infty}$ , Ecuația lui Drude se simplifică la

$m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-e{\vec {E}}$ ${\ displaystyle m {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = - e {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle m {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = - e {\ vec {E}}}$

Imaginând că doar o densitate $n_{s}$ ${\ displaystyle n_ {s}}$ ${\ displaystyle n_ {s}}$ dintre electronii materialului este supraconductivă și ne amintim de definiția lui ${\vec {J}}=-n_{s}e{\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}} = - n_ {s} și {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}} = - n_ {s} și {\ vec {v}}}$ , noi obținem:

${\frac {d{\vec {J}}}{dt}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {E}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {J}}} {dt}} = {\ frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {J}}} {dt}} = {\ frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} {\ vec {E}}}$

care este tocmai prima ecuație londoneză.

A doua ecuație

A doua ecuație a fost introdusă de frații londonezi pentru a depăși limitările impuse de prima ecuație în ceea ce privește diamagnetismul perfect.

Insuficiența primei ecuații

Prima ecuație modelează bine absența rezistenței, dar nu poate descrie efectul Meissner-Ochsenfeld . De fapt, aplicând ecuațiile lui Maxwell, obținem:

$\nabla ^{2}{\frac {d{\vec {H}}}{dt}}={\frac {1}{\lambda _{L}^{2}}}{\frac {d{\vec {H}}}{dt}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ frac {d {\ vec {H}}} {dt}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {L} ^ {2}}} {\ frac { d {\ vec {H}}} {dt}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ frac {d {\ vec {H}}} {dt}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {L} ^ {2}}} {\ frac { d {\ vec {H}}} {dt}}}$

Prin integrarea acestei relații în timp într-un interval $[0,t]$ ${\ displaystyle [0, t]}$ ${\ displaystyle [0, t]}$ primim:

$\nabla ^{2}({\vec {H}}-{\vec {H}}_{0})={\frac {({\vec {H}}-{\vec {H}}_{0})}{\lambda _{L}^{2}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} ({\ vec {H}} - {\ vec {H}} _ {0}) = {\ frac {({\ vec {H}} - {\ vec {H} } _ {0})} {\ lambda _ {L} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} ({\ vec {H}} - {\ vec {H}} _ {0}) = {\ frac {({\ vec {H}} - {\ vec {H} } _ {0})} {\ lambda _ {L} ^ {2}}}}$

cu ${\vec {H}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {H}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {H}} _ {0}}$ câmp magnetic instantaneu $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ . Această ecuație admite o soluție specială ${\vec {H}}={\vec {H}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {H}} = {\ vec {H}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {H}} = {\ vec {H}} _ {0}}$ , adică un câmp constant, care este incompatibil cu efectul Meissner-Ochsenfeld , deoarece oferă un diamagnetism perfect, deci absența totală a câmpurilor magnetice.

Descrierea diamagnetismului perfect

Ecuația a fost apoi propusă:

$\nabla \times {\vec {J}}=-{\frac {\vec {H}}{\lambda _{L}^{2}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {J}} = - {\ frac {\ vec {H}} {\ lambda _ {L} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {J}} = - {\ frac {\ vec {H}} {\ lambda _ {L} ^ {2}}}}$

Această ecuație descrie perfect efectul Meissner-Ochsenfeld . De fapt, prin aplicarea legii lui Ampere $\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {H}} = {\ vec {J}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {H}} = {\ vec {J}}}$ către primul membru și amintindu-mi $\nabla ^{2}{\vec {H}}=-\nabla \times \nabla \times {\vec {H}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {H}} = - \ nabla \ times \ nabla \ times {\ vec {H}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {H}} = - \ nabla \ times \ nabla \ times {\ vec {H}}}$ primim:

$\nabla ^{2}{\vec {H}}={\frac {\vec {H}}{\lambda ^{2}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {H}} = {\ frac {\ vec {H}} {\ lambda ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {H}} = {\ frac {\ vec {H}} {\ lambda ^ {2}}}}$

Luând în considerare soluția specială într-o singură dimensiune $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (cu $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ pe suprafața conductorului e $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ $x> 0$ în interiorul materialului):

$H(x)=H(0)e^{-x/\lambda _{L}}$ ${\ displaystyle H (x) = H (0) și ^ {- x / \ lambda _ {L}}}$ ${\ displaystyle H (x) = H (0) și ^ {- x / \ lambda _ {L}}}$

putem vedea cum câmpul magnetic se reduce exponențial cu distanța de la suprafață, modelând un diamagnetism perfect. Înțelegerea fizică a este, de asemenea, înțeleasă $\lambda _{L}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {L}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {L}}$ , care este distanța de la suprafața conductorului unde câmpul s-a micșorat cu un factor $1/e$ ${\ displaystyle 1 / e}$ ${\ displaystyle 1 / e}$ .

Rescrierea celei de-a doua ecuații

A doua ecuație londoneză poate fi scrisă și într-o altă formă, amintind definiția potențialului vectorial :

$\nabla \times {\vec {A}}={\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {A}} = {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {H}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {A}} = {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {H}}}$

Înlocuind în a doua ecuație a Londrei obținem:

${\vec {J}}=-{\frac {\vec {A}}{\mu _{0}\lambda _{L}^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}} = - {\ frac {\ vec {A}} {\ mu _ {0} \ lambda _ {L} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}} = - {\ frac {\ vec {A}} {\ mu _ {0} \ lambda _ {L} ^ {2}}}}$

în care există o proporționalitate directă între densitatea curentului și potențialul magnetic magnetic.

Bibliografie

Charles Kittel, Introducere în fizica statelor solide , Boringhieri, 1982;
Michael Tinkham, Introducere în superconductivitate , McGraw-Hill, 1996.

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism