Expansiunea Joule

Expansiunea liberă, în care un volum V _i = V ₀ este extins până la volumul V _f = 2 V ₀ într - o cameră izolată termic.

O expansiune liberă a unui gaz poate fi realizată prin deplasarea unui piston mai rapid decât moleculele mai rapide ale gazului

Această expansiune liberă este ireversibilă , dar poate fi cvasi-static pentru fiecare cameră: a cvasi- echilibru resturile pentru fiecare dintre părți , dar nu pentru sistemul global

În termodinamică , expansiunea Joule (sau expansiune liberă) este un proces ireversibil în care un volum de gaz are loc într - o parte a unui vas izolat termic (printr - un perete mic), în timp ce cealaltă parte a navei este eliberată. Peretele dintre cele două părți este apoi îndepărtat și gazul umple întregul vas.

Caracteristici

Expansiune Joule, tratat ca un experiment de gândire cu gaze ideale , este un exercițiu util în termodinamicii clasice. Acesta oferă un exemplu convenabil pentru calcularea modificărilor în cantități termodinamice, inclusiv creșterea entropiei universului care rezultă din acest proces inerent ireversibil. O expansiune eficientă Joule implică în mod necesar gaze reale ; variația de temperatură într -un astfel de procedeu a da o măsură a obligațiunilor intermoleculare .

Acest tip de expansiune ia numele de la James Prescott Joule , care a folosit -o , în 1845, în studiul său a echivalentului mecanic al căldurii , dar această expansiune a fost cunoscut cu mult înainte de Joule, de exemplu , de către John Leslie la începutul secolului al 19 - lea, și a studiat de Joseph-Louis Gay-Lussac în 1807 cu rezultate similare cu cele obținute de Joule. ^[1] ^[2]

Expansiune Joule nu trebuie confundat cu efectul Joule-Thompson .

Descriere

Procesul începe cu gaz sub o anumită presiune, $P_{\mathrm {i} }$ ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}}}$ , la temperatura $T_{\mathrm {i} }$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {i}}}$ , limitat la jumătate dintr-un vas izolat termic (vezi partea superioară a desenului la începutul intrării). Gazul ocupă un volum inițial $V_{\mathrm {i} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {i}}}$ , separat mecanic de cealaltă parte a navei, care are un volum $V_{\mathrm {0} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {0}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {0}}}$ și nu se află practic sub nici o presiune. Robinetul (linia continuă) dintre cele două jumătăți ale vasului se deschide brusc, iar gazul se extinde pentru a umple întreg vasul care are un volum total de $V_{\mathrm {f} }=V_{\mathrm {i} }+V_{\mathrm {0} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {f}} = V _ {\ mathrm {i}} + V _ {\ mathrm {0}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {f}} = V _ {\ mathrm {i}} + V _ {\ mathrm {0}}}$ (vezi partea de jos a desenului). Un termometru introdus în compartimentul din partea stângă (care este absent în desen) măsoară temperatura a gazului înainte și după expansiune.

În acest experiment sistemul este format din ambele compartimente, adică întreaga regiune ocupată de gazul de la sfârșitul experimentului. Deoarece sistemul este izolat termic, nu poate schimba căldura cu exteriorul. De asemenea, deoarece volumul total al sistemului este menținut constant, sistemul nu poate face nicio lucrare la exterior. ^[3] În consecință, variația energiei interne $\Delta U$ ${\ displaystyle \ Delta U}$ $\ Delta U$ este zero. Energia internă este energia cinetică internă (datorită mișcării moleculelor) și energia potențială internă (datorită legături intermoleculare ). Când mișcarea moleculelor este aleatorie, temperatura este o măsură a energiei cinetice interne. În acest caz, energia cinetică internă se numește căldură. Dacă camerele nu au ajuns încă la echilibru, va exista o anumită energie cinetică de curgere, care nu poate fi măsurată de un termometru (și, prin urmare, nu este o componentă a căldurii). Prin urmare, o modificare a temperaturii indică o schimbare a energiei cinetice, iar o parte din această schimbare nu va apărea ca lucru până și dacă nu se restabilește echilibrul termic. Când căldura este transformată în energie cinetică de curgere, are loc o scădere a temperaturii. ^[4] În practică, un „septum poros“ este adesea integrată în două camere experiment liber de expansiune prin care aerul în expansiune va trebui să treacă pentru a ajunge la camera de presiune mai mică. Scopul septului este de a inhiba fluxul direcțional, accelerând astfel restabilirea echilibrului termic. Deoarece energia cinetică totală nu se modifică, stagnarea fluxului în camera de recepție returnează energia cinetică a fluxului la energia cinetică datorită mișcării aleatorii (căldurii), astfel încât temperatura crește la valoarea așteptată. Dacă temperatura inițială a aerului este atât de scăzută încât proprietățile gazelor neideale provoacă condens, o parte din energia internă este convertită în căldură latentă (cu o schimbare de energie potențială care compensează) în produsele lichide. Prin urmare, la temperaturi scăzute, expansiunea Joule oferă informații despre legăturile intermoleculare.

Gazele ideale

Dacă gazul este ideal, atât condițiile inițiale ( $T_{\mathrm {i} }$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {i}}}$ , $P_{\mathrm {i} }$ ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}}}$ , $V_{\mathrm {i} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {i}}}$ ) și cele finale ( $T_{\mathrm {f} }$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {f}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {f}}}$ , $P_{\mathrm {f} }$ ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {f}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {f}}}$ , $V_{\mathrm {f} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {f}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {f}}}$ ) Urmează ecuația de stare a gazelor ideale , prin urmare , inițial

P_{\mathrm {i} }V_{\mathrm {i} }=nRT_{\mathrm {i} }

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}} V _ {\ mathrm {i}} = nRT _ {\ mathrm {i}}}

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}} V _ {\ mathrm {i}} = nRT _ {\ mathrm {i}}}

și apoi, după deschiderea robinetului

P_{\mathrm {f} }V_{\mathrm {f} }=nRT_{\mathrm {f} }

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {f}} V _ {\ mathrm {f}} = nRT _ {\ mathrm {f}}}

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {f}} V _ {\ mathrm {f}} = nRT _ {\ mathrm {f}}}

.

Aici $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul de moli ai gazului e $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este ideală molar constant de gaz . Deoarece energia internă nu se schimbă și energia internă a unui gaz ideal depinde doar de temperatura gazului, acesta din urmă nu variază, de aceea $T_{\mathrm {i} }=T_{\mathrm {f} }$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {i}} = T _ {\ mathrm {f}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {i}} = T _ {\ mathrm {f}}}$ . Asta presupune că

P_{\mathrm {i} }V_{\mathrm {i} }=P_{\mathrm {f} }V_{\mathrm {f} }=nRT_{\mathrm {i} }

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}} V _ {\ mathrm {i}} = P _ {\ mathrm {f}} V _ {\ mathrm {f}} = nRT _ {\ mathrm {i}} }

{\ displaystyle P _ {\ mathrm {i}} V _ {\ mathrm {i}} = P _ {\ mathrm {f}} V _ {\ mathrm {f}} = nRT _ {\ mathrm {i}} }

.

Deci, dacă volumul se dublează, presiunea scade.

Faptul că temperatura nu se modifică facilitează calcularea schimbării entropiei universului pentru acest proces.

Gazele reale

Spre deosebire de gazele ideale, temperatura unui gaz real se va schimba în timpul expansiunii Joule. Empiric, se constată că în timpul unei expansiuni Joule aproape toate gazele se răcesc, la toate temperaturile la care a fost efectuat experimentul; excepțiile sunt heliul, la temperaturi mai mari de aproximativ 40 K și hidrogenul, la temperaturi mai mari de aproximativ 200 K. Această temperatură este cunoscută sub numele de temperatura de inversare a gazelor. Peste această temperatură, gazul se încălzește în timpul expansiunii Joule. ^[5] ^[6] Deoarece energia internă este constantă, răcirea trebuie să fie din cauza conversiei energiei cinetice interne în energie potențială internă, în timp ce procesul invers este cauza încălzirii.

Forțe intermoleculare sunt rază scurtă de respingător și cu rază lungă de atractiv (de exemplu, a se vedea potențialul Lennard-Jones ). Deoarece distanțele dintre moleculele de gaz sunt mari în comparație cu diametrele moleculare, energia unui gaz este de obicei influențată în principal de partea atractivă a potențialului. În consecință, expansiunea unui gaz mărește de obicei energia potențială asociată cu legăturile intermoleculare. Unele manuale spun că pentru gaze acest lucru trebuie să fie întotdeauna cazul și că o expansiune Joule trebuie să producă întotdeauna răcire. ^[7] ^[8] în lichide, în care moleculele sunt apropiate, interacțiunile respingătoare sunt mult mai importante și este posibil să se obțină o creștere a temperaturii în timpul unei expansiuni Joule.

Din punct de vedere teoretic, este de așteptat ca, la o temperatură suficient de ridicată, toate gazele să se încălzească în timpul unei expansiuni Joule. ^[5] Motivul este că la un moment dat, un număr foarte mic de molecule se va ciocni; pentru acele câteva molecule, forțele respingătoare vor domina și energia potențială va fi pozitivă. Pe măsură ce temperatura crește, atât frecvența coliziunilor, cât și energia implicată în acestea vor crește, astfel încât energia potențială pozitivă asociată coliziunilor crește foarte mult. Dacă temperatura este suficient de ridicată, aceasta poate face energia totală pozitivă, în ciuda numărului mult mai mare de molecule care simt interacțiuni slabe atractive. Când energia potențială este pozitivă, expansiunea constantă a energiei reduce energia potențială și crește energia cinetică, ducând la o creștere a temperaturii. Acest comportament a fost observat doar pentru hidrogen și heliu, care au interacțiuni atractive foarte slabe. Pentru celelalte gaze, această „temperatură de inversiune Joule” pare a fi extrem de ridicată. ^[6]

Producția de entropie

Entropia este o funcție de stat , și , prin urmare , modificarea entropiei poate fi calculată direct din cunoștințele statelor inițiale și finale de echilibru. Pentru un gaz ideal, variația de entropie ^[9] este aceeași ca și cea pentru extinderi izoterm în cazul în care toată căldura este convertită în lucru:

\Delta S=\int _{i}^{f}dS=\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {P\,dV}{T}}=\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {nR\,dV}{V}}=nR\ln {\frac {V_{f}}{V_{i}}}.

{\ displaystyle \ Delta S = \ int _ {i} ^ {f} dS = \ int _ {V_ {i}} ^ {V_ {f}} {\ frac {P \, dV} {T}} = \ int _ {V_ {i}} ^ {V_ {f}} {\ frac {nR \, dV} {V}} = nR \ ln {\ frac {V_ {f}} {V_ {i}}}.}

{\ displaystyle \ Delta S = \ int _ {i} ^ {f} dS = \ int _ {V_ {i}} ^ {V_ {f}} {\ frac {P \, dV} {T}} = \ int _ {V_ {i}} ^ {V_ {f}} {\ frac {nR \, dV} {V}} = nR \ ln {\ frac {V_ {f}} {V_ {i}}}.}

Pentru un gaz monoatomic ideal pentru entropică ca funcție internă a energiei U, volumul V, și numărul de moli n este dată de Sackur - ecuația tetroda :

S=nR\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {4\pi m}{3h^{2}}}{\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {5}{2}}nR.

{\ displaystyle S = nR \ ln \ left [\ left ({\ frac {V} {N}} \ right) \ left ({\ frac {4 \ pi m} {3h ^ {2}}} {\ frac {U} {N}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] + {\ frac {5} {2}} nR.}

{\ displaystyle S = nR \ ln \ left [\ left ({\ frac {V} {N}} \ right) \ left ({\ frac {4 \ pi m} {3h ^ {2}}} {\ frac {U} {N}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] + {\ frac {5} {2}} nR.}

În această expresie m este masa particulei și h este constanta lui Planck. Pentru un ideal monoatomic gaz U = (3/2) nRT = nC _V T, cu C _V căldura molară la volum constant. În termodinamica clasică, entropia unui gaz ideal este dată de

S(V,T)=S_{0}+nR\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)+nC_{V}\ln \left({\frac {T}{T_{0}}}\right)

{\ displaystyle S (V, T) = S_ {0} + nR \ ln \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) + nC_ {V} \ ln \ left ({\ frac {T} {T_ {0}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle S (V, T) = S_ {0} + nR \ ln \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) + nC_ {V} \ ln \ left ({\ frac {T} {T_ {0}}} \ dreapta)}

unde S ₀ este valoarea arbitrară a entropiei la volum V ₀ și temperatură T _0. ^[10] Se menționează faptul că o dublare a volumului la o constantă U sau T conduce la o creștere a entropiei egală cu Δ S = nR ln (2). Acest rezultat este valabil chiar dacă gazul nu este monatomic, deoarece dependența entropiei de volum este aceeași pentru toate gazele ideale.

O a doua modalitate de evaluare a schimbării entropiei este alegerea unei căi de la starea inițială la starea finală în care toate stările intermediare sunt în echilibru. Această cale poate fi realizată numai în măsura în care variațiile apar infinit încet. Astfel de căi sunt numite cvasistatice. În unele cărți este necesar ca o cale cvasistatică să fie reversibilă, aici nu adăugăm această condiție suplimentară. Schimbarea netă a entropiei de la starea inițială la starea finală este independentă de alegerea particulară a unei căi cvasistatice, deoarece entropia este o funcție a stării.

Iată cum putem realiza o cale cvasistatică. In loc de a lăsa gazul să o expansiune liberă în care se dublează volumul, o expansiune liberă este permisă care se extinde volumul printr - o mică cantitate δ V. După atingerea echilibrului termic, am apoi lăsați gazul face o altă expansiune fără δ V și vom aștepta până când echilibrul termic este atins din nou. Repetăm acest proces până când volumul s-a dublat. În limita pentru V δ care tinde la zero, devine un proces quasistatic ideală, chiar dacă este ireversibil. Acum, conform relației fundamentale a termodinamicii, avem:

\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V.

{\ displaystyle \ mathrm {d} U = T \ mathrm {d} SP \ mathrm {d} V.}

{\ displaystyle \ mathrm {d} U = T \ mathrm {d} S-P \ mathrm {d} V.}

Deoarece această ecuație raportează variațiile variabilelor de stare termodinamice, este valabilă pentru orice proces cvasistatic, reversibil sau ireversibil. Pentru traseul definit mai sus avem că d U = 0 , prin urmare , T d S = P d V, prin urmare , creșterea entropiei pentru expansiunea Joule este

\Delta S=\int _{i}^{f}\mathrm {d} S=\int _{V_{0}}^{2V_{0}}{\frac {P\,\mathrm {d} V}{T}}=\int _{V_{0}}^{2V_{0}}{\frac {nR\,\mathrm {d} V}{V}}=nR\ln 2.

{\ displaystyle \ Delta S = \ int _ {i} ^ {f} \ mathrm {d} S = \ int _ {V_ {0}} ^ {2V_ {0}} {\ frac {P \, \ mathrm { d} V} {T}} = \ int _ {V_ {0}} ^ {2V_ {0}} {\ frac {nR \, \ mathrm {d} V} {V}} = nR \ ln 2.}

{\ displaystyle \ Delta S = \ int _ {i} ^ {f} \ mathrm {d} S = \ int _ {V_ {0}} ^ {2V_ {0}} {\ frac {P \, \ mathrm { d} V} {T}} = \ int _ {V_ {0}} ^ {2V_ {0}} {\ frac {nR \, \ mathrm {d} V} {V}} = nR \ ln 2.}

Un al treilea mod de a calcula schimbarea entropiei implică luarea în considerare a unei căi compusă dintr-o expansiune adiabatică reversibilă urmată de o încălzire. Mai întâi lăsăm sistemul să facă o expansiune adiabatică reversibilă, în care volumul este dublat. În timpul expansiunii, sistemul funcționează și temperatura gazelor scade, deci va trebui să furnizeze sistemul cu o cantitate de căldură egală cu lucrul mecanic efectuat pentru a aduce gazul la aceeași stare finală ca și în cazul expansiunii Joule.

În timpul expansiunii adiabatice reversibile, am d S = 0. Din expresia clasică a entropiei se poate deduce că temperatura după dublarea volumului de entropie constantă este dată de:

T=T_{i}2^{-R/C_{V}}=T_{i}2^{-2/3}

{\ displaystyle T = T_ {i} 2 ^ {- R / C_ {V}} = T_ {i} 2 ^ {- 2/3}}

{\ displaystyle T = T_ {i} 2 ^ {- R / C_ {V}} = T_ {i} 2 ^ {- 2/3}}

pentru gazul monoatomic ideal. Încălzirea gazului la T temperatura inițială _i crește entropia cantității

\Delta S=n\int _{T}^{T_{i}}C_{V}{\frac {\mathrm {d} T'}{T'}}=nR\ln 2.

{\ displaystyle \ Delta S = n \ int _ {T} ^ {T_ {i}} C_ {V} {\ frac {\ mathrm {d} T '} {T'}} = nR \ ln 2.}

{\ displaystyle \ Delta S = n \ int _ {T} ^ {T_ {i}} C_ {V} {\ frac {\ mathrm {d} T '} {T'}} = nR \ ln 2.}

S-ar putea întreba care ar fi treaba dacă, odată ce are loc expansiunea Joule, gazul este comprimat până când se întoarce în partea stângă a vasului. Cea mai bună metodă (adică metoda care implică cel puțin munca) este aceea a unui compresie izotermă reversibil , care poate necesita lucrări de W dat de

W=-\int _{2V_{0}}^{V_{0}}P\,\mathrm {d} V=-\int _{2V_{0}}^{V_{0}}{\frac {nRT}{V}}\mathrm {d} V=nRT\ln 2=T\Delta S_{gas}.

{\ displaystyle W = - \ int _ {2V_ {0}} ^ {V_ {0}} P \, \ mathrm {d} V = - \ int _ {2V_ {0}} ^ {V_ {0}} { \ frac {nRT} {V}} \ mathrm {d} V = nRT \ ln 2 = T \ Delta S_ {gas}.}

{\ displaystyle W = - \ int _ {2V_ {0}} ^ {V_ {0}} P \, \ mathrm {d} V = - \ int _ {2V_ {0}} ^ {V_ {0}} { \ frac {nRT} {V}} \ mathrm {d} V = nRT \ ln 2 = T \ Delta S_ {gas}.}

În timpul expansiunii Joule exteriorul sistemului nu se schimbă, astfel încât entropia exteriorului este constantă. Prin urmare , variația de entropie a așa-numitului „univers“ este egală cu variația de entropie a gazului care este nR ln 2.

Efect de gaz real

Joule și-a desfășurat experimentul cu aerul la temperatura camerei, care a fost extins cu o presiune de aproximativ 22 bari. Aerul, în aceste condiții, este aproape un gaz ideal, dar nu chiar. În consecință, variația efectivă a temperaturii nu va fi exact zero. Cu cunoștințele noastre actuale din proprietățile termodinamice ale aerului ^[11] putem calcula că temperatura aerului ar trebui să scadă cu aproximativ 3 grade Celsius când volumul este dublată în condiții adiabatice. Cu toate acestea, datorită capacității termice scăzute a aerului și a capacității termice ridicate a vasului de cupru și a apei calorimetrice, scăderea temperaturii observate este mult mai mică, astfel încât Joule a constatat că, în acuratețea sa de măsurare, variația temperaturii a fost zero.

Notă

^ DSL Cardwell, De la Watt la Clausius, Heinemann, Londra (1957)
^ MJ Klein, Principiile teoriei căldurii, D. Reidel Pub.Cy., Dordrecht (1986)
^ De notat că faptul că gazul se extinde într - un vid și , astfel , împotriva presiunii zero , este irelevant. Munca efectuată de sistem ar fi, de asemenea, zero dacă partea dreaptă a vasului nu ar fi evacuată, dar dacă ar fi umplută cu un gaz cu presiune mai mică. În timp ce gazul în expansiune ar funcționa împotriva gazului din partea dreaptă a navei, întregul sistem nu funcționează împotriva mediului.
^ VA Kirillin, și colab, Inginerie termodinamicii (1981) Mir Publishers, Capitolul 7.7 p.265
^ ^A ^b J. -O Goussard și B. Roulet, liber de expansiune pentru gaze reale , în Am. J. Phys. , vol. 61, 1993, pp. 845-848, bibcode : 1993AmJPh..61..845G , DOI : 10.1119 / 1.17417 .
^ ^A ^b E. Albarran-Zavala, BA Espinoza-Elizarraraz și F. Angulo-Brown, temperaturile de inversiune Joule pentru unele gaze reale simplu , in The Open termodinamicii Journal, vol. 3, 2009, pp. 17-22, DOI : 10.2174 / 1874396x00903010017 .
^ Pippard, AB (1957). Elemente de termodinamica clasică, p. 73. Cambridge University Press, Cambridge, Marea Britanie
^ Tabor, D. (1991). Gaze, lichide și solide, p. 148. Cambridge University Press, Cambridge, Marea Britanie ISBN 0 521 40667 6 .
^ Tipler, P., și Mosca, G. Physics pentru cercetatori si ingineri (cu fizica modernă), 6 ediție, 2008. pp. 602 și 647.
^ MW Zemansky, căldură și Termodinamică, McGraw-Hill Pub. Ch. New York (1951), p. 177.
^ Refprop, software - ul dezvoltat de Institutul Național de Standarde și Tehnologie (NIST)

Bibliografie

Majoritatea manualelor acoperă această extindere în detaliu; vezi de exemplu: Stephen J. Blundell și Katherine M. Blundell, Concepte în Thermal Physics, OUP, ISBN 0-19-856770-7 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Joule de expansiune

Portalul Termodinamicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de termodinamică

[1] DSL Cardwell, De la Watt la Clausius, Heinemann, Londra (1957)

[2] MJ Klein, Principiile teoriei căldurii, D. Reidel Pub.Cy., Dordrecht (1986)

[3] De notat că faptul că gazul se extinde într - un vid și , astfel , împotriva presiunii zero , este irelevant. Munca efectuată de sistem ar fi, de asemenea, zero dacă partea dreaptă a vasului nu ar fi evacuată, dar dacă ar fi umplută cu un gaz cu presiune mai mică. În timp ce gazul în expansiune ar funcționa împotriva gazului din partea dreaptă a navei, întregul sistem nu funcționează împotriva mediului.

[4] VA Kirillin, și colab, Inginerie termodinamicii (1981) Mir Publishers, Capitolul 7.7 p.265

[:0-5] A ^b J. -O Goussard și B. Roulet, liber de expansiune pentru gaze reale , în Am. J. Phys. , vol. 61, 1993, pp. 845-848, bibcode : 1993AmJPh..61..845G , DOI : 10.1119 / 1.17417 .

[:1-6] A ^b E. Albarran-Zavala, BA Espinoza-Elizarraraz și F. Angulo-Brown, temperaturile de inversiune Joule pentru unele gaze reale simplu , in The Open termodinamicii Journal, vol. 3, 2009, pp. 17-22, DOI : 10.2174 / 1874396x00903010017 .

[7] Pippard, AB (1957). Elemente de termodinamica clasică, p. 73. Cambridge University Press, Cambridge, Marea Britanie

[8] Tabor, D. (1991). Gaze, lichide și solide, p. 148. Cambridge University Press, Cambridge, Marea Britanie ISBN 0 521 40667 6 .

[9] Tipler, P., și Mosca, G. Physics pentru cercetatori si ingineri (cu fizica modernă), 6 ediție, 2008. pp. 602 și 647.

[10] MW Zemansky, căldură și Termodinamică, McGraw-Hill Pub. Ch. New York (1951), p. 177.

[11] Refprop, software - ul dezvoltat de Institutul Național de Standarde și Tehnologie (NIST)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]