Forma Maurer-Cartan

În matematică , forma Maurer - Cartan asociată fiecărui grup Lie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un diferențial particular cu o formă de mai sus $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ care codifică informații la un nivel infinitesimal despre structura grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . A fost folosit de matematicianul Élie Cartan ca ingredient fundamental al metodei sale de mutare a referințelor și îi poartă numele alături de cel al lui Ludwig Maurer .

Definiție

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup Lie, ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ algebra lui Lie .

Fiecare element $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ ${\ displaystyle g \ în G}$ induce următoarea multiplicare (care se dovedește a fi un difeomorfism )

L_{g^{-1}}:G\rightarrow G

{\ displaystyle L_ {g ^ {- 1}}: G \ rightarrow G}

{\ displaystyle L_ {g ^ {- 1}}: G \ rightarrow G}

L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h

{\ displaystyle L_ {g ^ {- 1}} (h): = g ^ {- 1} h}

{\ displaystyle L_ {g ^ {- 1}} (h): = g ^ {- 1} h}

și harta tangentă (numită și diferențială)

(TL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}

{\ displaystyle (TL_ {g ^ {- 1}}) _ {g}: T_ {g} G \ rightarrow T_ {e} G = {\ mathfrak {g}}}

{\ displaystyle (TL_ {g ^ {- 1}}) _ {g}: T_ {g} G \ rightarrow T_ {e} G = {\ mathfrak {g}}}

.

Forma 1 a lui Maurer-Cartan $\omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {1} (G, {\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {1} (G, {\ mathfrak {g}})}$ este definit de:

\omega (v):=(TL_{g^{-1}})_{g}(v)\,,

{\ displaystyle \ omega (v): = (TL_ {g ^ {- 1}}) _ {g} (v) \ ,,}

{\ displaystyle \ omega (v): = (TL_ {g ^ {- 1}}) _ {g} (v) \ ,,}

pentru fiecare vector tangent $v\in T_{g}G,g\in G$ ${\ displaystyle v \ in T_ {g} G, g \ in G}$ ${\ displaystyle v \ in T_ {g} G, g \ in G}$ ^[1] .

Notă

^ Jeffrey M. Lee, Capitolul: 5.6 Forma Maurer Cartan , în Manifolds și geometrie diferențială , Providence, RI, American Mathematical Society, 2009, ISBN 0-8218-4815-1 .

Bibliografie

( EN ) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Grupuri Lie și algebre Lie , Springer, ISBN 3-540-50218-1 .

Elemente conexe

Grup de minciuni

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Jeffrey M. Lee, Capitolul: 5.6 Forma Maurer Cartan , în Manifolds și geometrie diferențială , Providence, RI, American Mathematical Society, 2009, ISBN 0-8218-4815-1 .

[1]