Formula lui Weizsäcker

În fizica nucleară , formula lui Weizsäcker (sau formula semiempirică pentru masa nucleară, adesea prescurtată în SEMF sau mai bine SENMF , din formula semi-empirică engleză [nucleară] de masă ), este o formulă utilizată pentru a aproxima masa și alte proprietăți ale atomului nucleu .

După cum sugerează și numele, formula se bazează parțial pe dovezi experimentale, iar contribuția teoretică este dată de model picătură de lichid.

Prima formulare se datorează fizicianului german Carl Friedrich von Weizsäcker , ulterior în colaborare cu Hans Bethe și, în afară de mici modificări ale valorii coeficienților, expresia este folosită și astăzi.

Formula

Fie A numărul de nucleoni , Z numărul de protoni și N numărul de neutroni . Masa unui nucleu atomic este dată de:

m=Zm_{p}+Nm_{n}-{\frac {E}{c^{2}}}

{\ displaystyle m = Zm_ {p} + Nm_ {n} - {\ frac {E} {c ^ {2}}}}

{\ displaystyle m = Zm_ {p} + Nm_ {n} - {\ frac {E} {c ^ {2}}}}

unde este $m_{p}$ ${\ displaystyle m_ {p}}$ ${\ displaystyle m_ {p}}$ și $m_{n}$ ${\ displaystyle m_ {n}}$ ${\ displaystyle m_ {n}}$ sunt restul maselor de protoni și neutroni și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este energia de legare a nucleului.

Formula semiempirică afirmă că energia de legare este dată de:

E=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{A}{\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}+\delta (A,Z)

{\ displaystyle E = a_ {V} A-a_ {S} A ^ {2/3} -a_ {C} {\ frac {Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}} - a_ {A} {\ frac {(A-2Z) ^ {2}} {A}} + \ delta (A, Z)}

{\ displaystyle E = a_ {V} A-a_ {S} A ^ {2/3} -a_ {C} {\ frac {Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}} - a_ {A} {\ frac {(A-2Z) ^ {2}} {A}} + \ delta (A, Z)}

Termen de volum

Primul termen $a_{V}A$ ${\ displaystyle a_ {V} A}$ ${\ displaystyle a_ {V} A}$ este cunoscut sub numele de volum și este proporțional cu volumul nucleului: nu depinde de Z și se datorează interacțiunii nucleare puternice care acționează asupra nucleonilor. Această proporționalitate se datorează faptului că interacțiunea puternică are un interval mic și un singur nucleon interacționează semnificativ doar cu nucleonii vecini. Dacă acest lucru nu ar fi cazul, adică intervalul de acțiune ar fi mai mare, deoarece perechile de nucleoni între care acționează această forță $A(A-1)/2$ ${\ displaystyle A (A-1) / 2}$ ${\ displaystyle A (A-1) / 2}$ , acest termen ar fi proporțional cu $A^{2}$ ${\ displaystyle A ^ {2}}$ ${\ displaystyle A ^ {2}}$ .
Coeficientul $a_{V}$ ${\ displaystyle a_ {V}}$ ${\ displaystyle a_ {V}}$ este mai mică decât energia de legare dintre nucleoni $E_{b}$ ${\ displaystyle E_ {b}}$ ${\ displaystyle E_ {b}}$ , care este de ordinul a 40 MeV , acest lucru se datorează faptului că energia cinetică este direct proporțională cu numărul de nucleoni din nucleu, datorită principiului de excludere Pauli : dacă avem în vedere un nucleu, compus dintr-un număr egal de protoni și neutroni , presupunând modelul Fermi în care se află energia cinetică totală $3/5A\varepsilon _{F}$ ${\ displaystyle 3 / 5A \ varepsilon _ {F}}$ ${\ displaystyle 3 / 5A \ varepsilon _ {F}}$ , cu $\varepsilon _{F}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {F}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {F}}$ energia Fermi de aproximativ 38 MeV , valoarea așteptată a $a_{V}$ ${\ displaystyle a_ {V}}$ ${\ displaystyle a_ {V}}$ Și:

E_{b}-{3 \over 5}\varepsilon _{F}\sim 17\;\mathrm {MeV}

{\ displaystyle E_ {b} - {3 \ over 5} \ varepsilon _ {F} \ sim 17 \; \ mathrm {MeV}}

{\ displaystyle E_ {b} - {3 \ over 5} \ varepsilon _ {F} \ sim 17 \; \ mathrm {MeV}}

care se apropie de valoarea măsurată.

Termen de suprafață

Termenul $a_{S}A^{2/3}$ ${\ displaystyle a_ {S} A ^ {2/3}}$ ${\ displaystyle a_ {S} A ^ {2/3}}$ , cunoscut sub numele de termen de suprafață , este o corecție a termenului de volum și depinde și de interacțiunea puternică. Această corecție se datorează faptului că nucleonii de pe suprafața nucleului, în comparație cu cei din interior, au mai puțini nucleoni vecini cu care să interacționeze, ceea ce provoacă un efect similar tensiunii superficiale din lichide . Termenul conține $A^{2/3}$ ${\ displaystyle A ^ {2/3}}$ ${\ displaystyle A ^ {2/3}}$ datorită proporționalității dintre suprafață și numărul masei.

Termen Coulomb

Termenul

a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}

{\ displaystyle a_ {C} {\ frac {Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}}}

{\ displaystyle a_ {C} {\ frac {Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}}}

se numește termenul Coulomb sau termen electrostatic și este dat de interacțiunea electromagnetică dintre protonii nucleului, care suferă o repulsie electrostatică din cauza sarcinii comune. Intuitiv, nucleul poate fi reprezentat de o sferă cu densitate de sarcină uniformă: energia potențială a acestei distribuții este

E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}

{\ displaystyle E = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {Q ^ {2}} { R}}}

{\ displaystyle E = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {Q ^ {2}} { R}}}

unde Q este sarcina totală și R este raza sferei. Prin identificarea Q cu $Z Și$ ${\ displaystyle Ze}$ $Ze$ , și știind că raza este proporțională cu $A^{1/3}$ ${\ displaystyle A ^ {1/3}}$ ${\ displaystyle A ^ {1/3}}$ , este posibil să se derive termenul Coulomb. Deoarece repulsia electrostatică există atunci când există mai mult de un proton, $Z^{2}$ ${\ displaystyle Z ^ {2}}$ ${\ displaystyle Z ^ {2}}$ devine $Z(Z-1)$ ${\ displaystyle Z (Z-1)}$ ${\ displaystyle Z (Z-1)}$ , și valoarea $a_{C}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ poate fi calculat aproximativ din ecuația de mai sus știind că:

R=r_{0}A^{\frac {1}{3}}

{\ displaystyle R = r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}

{\ displaystyle R = r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}

Q=Ze\

{\ displaystyle Q = Ze \}

{\ displaystyle Q = Ze \}

Z^{2}=Z(Z-1)\

{\ displaystyle Z ^ {2} = Z (Z-1) \}

{\ displaystyle Z ^ {2} = Z (Z-1) \}

Înlocuind:

E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {(Ze)^{2}}{(r_{0}A^{\frac {1}{3}})}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}={\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}=a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}

{\ displaystyle E = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {Q ^ {2}} { R}} = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {(Ze) ^ {2}} {(r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}})}} = {\ frac {3e ^ {2} Z ^ {2}} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0 } A ^ {\ frac {1} {3}}}} = {\ frac {3e ^ {2} Z (Z-1)} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}} = a_ {C} {\ frac {Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}}}

{\ displaystyle E = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {Q ^ {2}} { R}} = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {(Ze) ^ {2}} {(r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}})}}} = {\ frac {3e ^ {2} Z ^ {2}} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0 } A ^ {\ frac {1} {3}}}} = {\ frac {3e ^ {2} Z (Z-1)} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}} = a_ {C} {\ frac {Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}}}

Energia potențială a distribuției sarcinii este:

$E={\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}$ ${\ displaystyle E = {\ frac {3e ^ {2} Z (Z-1)} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}}$ ${\ displaystyle E = {\ frac {3e ^ {2} Z (Z-1)} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}}$

constanta Coulomb este în schimb

a_{C}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}

{\ displaystyle a_ {C} = {\ frac {3e ^ {2}} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0}}}}

{\ displaystyle a_ {C} = {\ frac {3e ^ {2}} {20 \ pi \ varepsilon _ {0} r_ {0}}}}

în timp ce structura fină este constantă $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ dă valoarea de $a_{C}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ :

a_{C}={\frac {3}{5}}\left({\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}\right)

{\ displaystyle a_ {C} = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {\ hbar c \ alpha} {r_ {0}}} \ right)}

{\ displaystyle a_ {C} = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {\ hbar c \ alpha} {r_ {0}}} \ right)}

unde este $r_{0}A^{1/3}$ ${\ displaystyle r_ {0} A ^ {1/3}}$ ${\ displaystyle r_ {0} A ^ {1/3}}$ este raza nucleului, dată $r_{0}$ ${\ displaystyle r_ {0}}$ $r_ {0}$ = 1,25 fm . Aceasta oferă o valoare teoretică de 0,691 MeV ad $a_{C}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ , aproape de valoarea măsurată.

Termen asimetric

Termenul

a_{A}{\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}

{\ displaystyle a_ {A} {\ frac {(A-2Z) ^ {2}} {A}}}

{\ displaystyle a_ {A} {\ frac {(A-2Z) ^ {2}} {A}}}

este cunoscut ca un termen asimetric . Principiul de excludere al lui Pauli afirmă că o stare cuantică nu poate fi ocupată de mai mult de doi fermioni ; la un anumit nivel de energie, în plus, există un număr finit de stări cuantice disponibile pentru particule: aceasta implică faptul că dacă adăugăm particule la un nucleu, acestea vor ocupa niveluri de energie din ce în ce mai ridicate, crescând energia totală a nucleului și scăzând, după o anumită valoare a lui A , energia de legare.

Protonii și neutronii, fiind diferite tipuri de particule, ocupă stări cuantice diferite, care intuitiv pot fi văzute ca două vase, una pentru protoni și cealaltă pentru neutroni: de exemplu, dacă există mult mai mulți neutroni decât protoni, unii dintre neutroni vor ocupă un nivel de energie mai ridicat în vasul lor decât protonii. Dacă s-ar putea transforma unii neutroni în exces în protoni, transferându-i astfel în vasul acestuia din urmă, energia ar scădea semnificativ. Dezechilibrul dintre numerele celor două tipuri de nucleoni determină, prin urmare, un exces de energie și aceasta este baza termenului asimetric.

Folosind modelul Fermi, energia cinetică totală este

E_{k}={3 \over 5}(N_{p}{\varepsilon _{F}}_{p}+N_{n}{\varepsilon _{F}}_{n})

{\ displaystyle E_ {k} = {3 \ peste 5} (N_ {p} {\ varepsilon _ {F}} _ {p} + N_ {n} {\ varepsilon _ {F}} _ {n})}

{\ displaystyle E_ {k} = {3 \ peste 5} (N_ {p} {\ varepsilon _ {F}} _ {p} + N_ {n} {\ varepsilon _ {F}} _ {n})}

unde este $N_{p}$ ${\ displaystyle N_ {p}}$ $N_ {p}$ și $N_{n}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ sunt numărul de protoni și neutroni, în timp ce ${\varepsilon _{F}}_{p}$ ${\ displaystyle {\ varepsilon _ {F}} _ {p}}$ ${\ displaystyle {\ varepsilon _ {F}} _ {p}}$ și ${\varepsilon _{F}}_{n}$ ${\ displaystyle {\ varepsilon _ {F}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ varepsilon _ {F}} _ {n}}$ sunt energiile lor Fermi. Deoarece aceste energii sunt proporționale cu ${N_{p}}^{2/3}$ ${\ displaystyle {N_ {p}} ^ {2/3}}$ ${\ displaystyle {N_ {p}} ^ {2/3}}$ Și ${N_{n}}^{2/3}$ ${\ displaystyle {N_ {n}} ^ {2/3}}$ ${\ displaystyle {N_ {n}} ^ {2/3}}$ , asa de:

E_{k}=C(N_{p}^{5/3}+N_{n}^{5/3})

{\ displaystyle E_ {k} = C (N_ {p} ^ {5/3} + N_ {n} ^ {5/3})}

{\ displaystyle E_ {k} = C (N_ {p} ^ {5/3} + N_ {n} ^ {5/3})}

cu constantă C. Dezvoltarea diferenței $N_{n}-N_{p}$ ${\ displaystyle N_ {n} -N_ {p}}$ ${\ displaystyle N_ {n} -N_ {p}}$ Și:

E_{k}={C \over 2^{2/3}}\left((N_{p}+N_{n})^{5/3}+{5 \over 9}{(N_{n}-N_{p})^{2} \over (N_{p}+N_{n})^{1/3}}\right)+O((N_{n}-N_{p})^{2})

{\ displaystyle E_ {k} = {C \ over 2 ^ {2/3}} \ left ((N_ {p} + N_ {n}) ^ {5/3} + {5 \ over 9} {(N_ {n} -N_ {p}) ^ {2} \ over (N_ {p} + N_ {n}) ^ {1/3}} \ right) + O ((N_ {n} -N_ {p}) ^ {2})}

{\ displaystyle E_ {k} = {C \ over 2 ^ {2/3}} \ left ((N_ {p} + N_ {n}) ^ {5/3} + {5 \ over 9} {(N_ {n} -N_ {p}) ^ {2} \ over (N_ {p} + N_ {n}) ^ {1/3}} \ right) + O ((N_ {n} -N_ {p}) ^ {2})}

La prima ordine de expansiune energia cinetică este energia Fermi $\varepsilon _{F}\equiv {\varepsilon _{F}}_{p}={\varepsilon _{F}}_{n}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {F} \ equiv {\ varepsilon _ {F}} _ {p} = {\ varepsilon _ {F}} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {F} \ equiv {\ varepsilon _ {F}} _ {p} = {\ varepsilon _ {F}} _ {n}}$ înmulțit cu ${3 \over 5}(N_{p}+N_{n})^{2/3}$ ${\ displaystyle {3 \ peste 5} (N_ {p} + N_ {n}) ^ {2/3}}$ ${\ displaystyle {3 \ peste 5} (N_ {p} + N_ {n}) ^ {2/3}}$ .
Se obține astfel:

E_{k}={3 \over 5}\varepsilon _{F}(N_{p}+N_{n})^{2/3}+{1 \over 3}\varepsilon _{F}{(N_{n}-N_{p})^{2} \over (N_{p}+N_{n})}+O((N_{n}-N_{p})^{4})={3 \over 5}\varepsilon _{F}A+{1 \over 3}\varepsilon _{F}{(A-2Z)^{2} \over A}+O((A-2Z)^{4})

{\ displaystyle E_ {k} = {3 \ over 5} \ varepsilon _ {F} (N_ {p} + N_ {n}) ^ {2/3} + {1 \ over 3} \ varepsilon _ {F} {(N_ {n} -N_ {p}) ^ {2} \ over (N_ {p} + N_ {n})} + O ((N_ {n} -N_ {p}) ^ {4}) = {3 \ over 5} \ varepsilon _ {F} A + {1 \ over 3} \ varepsilon _ {F} {(A-2Z) ^ {2} \ over A} + O ((A-2Z) ^ { 4})}

{\ displaystyle E_ {k} = {3 \ over 5} \ varepsilon _ {F} (N_ {p} + N_ {n}) ^ {2/3} + {1 \ over 3} \ varepsilon _ {F} {(N_ {n} -N_ {p}) ^ {2} \ over (N_ {p} + N_ {n})} + O ((N_ {n} -N_ {p}) ^ {4}) = {3 \ over 5} \ varepsilon _ {F} A + {1 \ over 3} \ varepsilon _ {F} {(A-2Z) ^ {2} \ over A} + O ((A-2Z) ^ { 4})}

Primul termen contribuie la termenul de volum descris anterior, al doilea termen este opusul termenului asimetric. $\varepsilon _{F}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {F}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {F}}$ este 38 MeV , deci, calculând $a_{A}$ ${\ displaystyle a_ {A}}$ ${\ displaystyle a_ {A}}$ din cea anterioară se obține doar jumătate din valoarea măsurată. Discrepanța dintre cele două valori se datorează faptului că nucleonii nu sunt distribuiți uniform în întregul nucleu, dar funcțiile lor de undă se suprapun asigurând o energie mare de legare, ceea ce duce la protoni și neutroni având același număr. spin), crescând intensitatea asimetriei dintre ele.

Termen de cuplare

Termenul $\delta (A,Z)$ ${\ displaystyle \ delta (A, Z)}$ ${\ displaystyle \ delta (A, Z)}$ se numește termen de cuplare și descrie efectul spinului nucleonilor. Este dat de:

\delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&Z,N{\mbox{ pari}}(A{\mbox{ pari }})\\0&A{\mbox{ dispari}}\\-\delta _{0}&Z,N{\mbox{ dispari }}(A{\mbox{ pari}})\end{cases}}

{\ displaystyle \ delta (A, Z) = {\ begin {cases} + \ delta _ {0} & Z, N {\ mbox {even}} (A {\ mbox {even}}) \\ 0 & A {\ mbox {odd}} \\ - \ delta _ {0} & Z, N {\ mbox {odd}} (A {\ mbox {even}}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ delta (A, Z) = {\ begin {cases} + \ delta _ {0} & Z, N {\ mbox {even}} (A {\ mbox {even}}) \\ 0 & A {\ mbox {odd}} \\ - \ delta _ {0} & Z, N {\ mbox {odd}} (A {\ mbox {even}}) \ end {cases}}}

unde este

\delta _{0}={\frac {a_{P}}{A^{3/4}}}

{\ displaystyle \ delta _ {0} = {\ frac {a_ {P}} {A ^ {3/4}}}}

{\ displaystyle \ delta _ {0} = {\ frac {a_ {P}} {A ^ {3/4}}}}

Datorită principiului de excludere Pauli, nucleul are mai puțină energie dacă numărul de protoni cu spin "sus" este egal cu numărul de protoni cu spin "jos" și același lucru este valabil și pentru neutroni. Prin urmare, numai dacă Z și N sunt egali, atât protoni cât și neutroni au același număr de particule cu rotire „în sus” și „în jos”. Acest lucru explică de ce majoritatea nucleelor naturale sunt de la egal la egal.

Factorul $A^{-3/4}$ ${\ displaystyle A ^ {- 3/4}}$ ${\ displaystyle A ^ {- 3/4}}$ derivă din faptul că doi nucleoni cu spin identic au energie de legare mai mare, așa cum s-a menționat anterior pentru termenul asimetric, iar acest lucru duce nucleonii să se împerecheze formând perechi de spin opus.

Măsurarea coeficienților

Coeficienții au fost măsurați prin potrivirea datelor experimentale ale măsurătorilor de masă de bază. Valoarea acestora se modifică în funcție de metoda utilizată; mai jos sunt rezultatele conform metodei celor mai mici pătrate , măsura Wapstra-Springer și cea a lui James William Rohlf-Wiley, în care unitatea de măsură este MeV:

	Metoda celor mai mici pătrate	Wapstra ^[1]	Rohlf ^[2]
$a_{V}$ ${\ displaystyle a_ {V}}$ ${\ displaystyle a_ {V}}$	15.8	14.1	15,75
$a_{S}$ ${\ displaystyle a_ {S}}$ ${\ displaystyle a_ {S}}$	18.3	13	17.8
$a_{C}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$	0,714	0,595	0,711
$a_{A}$ ${\ displaystyle a_ {A}}$ ${\ displaystyle a_ {A}}$	23.2	19	23.7
$a_{P}$ ${\ displaystyle a_ {P}}$ ${\ displaystyle a_ {P}}$	12	n / A	n / A
$\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ (uniform-egal)	n / A	-33,5	+11,18
$\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ (impar-impar)	n / A	+33,5	-11.18
$\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ (chiar ciudat)	n / A	0	0

Notă

^ Masele atomice ale nucleilor , AH Wapstra, Springer, 1958
^ Fizica modernă de la a la Z0 , James William Rohlf, Wiley, 1994

Bibliografie

R. Freedman, H. Young (2004), University Physics with Modern Physics , a XI-a ediție internațională, Sears și Zemansky, 1633-4. ISBN 0-8053-8768-4 .
SELiverhant (1960), Introducere elementară la fizica reactorului nuclear , John Wiley & Sons, 58-62.
RADIOCHIMIE ȘI CHIMIE NUCLEARĂ , Gregory Choppin, Jan-Olov Liljenzin și Jan Rydberg, ediția a III-a, 2002, capitolul despre stabilitatea nucleară ^{[ link rupt ]} ( PDF )