Funcția de distribuție empirică

Linia verde identifică funcția de distribuție a unei variabile aleatoare normale . Linia albastră este funcția de distribuție empirică calculată din eșantionul normal indicat în gri pe axa X.

În statistică și teoria probabilității , funcția de distribuție empirică (sau funcția empirică cumulativă sau ECDF ) este o funcție variabilă reală care reprezintă funcția de distribuție a măsurii empirice a unui eșantion . Funcția de distribuție empirică este o estimare a funcției de distribuție adevărată care a generat eșantionul și datorită teoremei Glivenko-Cantelli este posibil să se afirme că converge pentru $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ cu probabilitatea 1 la distribuția eșantionului ^[1] .

Definiție

Lasa-i sa fie $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n}}$ $X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n}$ $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile independente și distribuite identic cu aceeași funcție de distribuție $F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ . Apoi, funcția de distribuție empirică poate fi scrisă ca ^[2] ^[3] :

F_{n}(x)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}I_{[-\infty ,x]}(X_{i})

{\ displaystyle F_ {n} (x) = {1 \ over n} \ sum _ {i = 1} ^ {n} I _ {[- \ infty, x]} (X_ {i})}

{\ displaystyle F_ {n} (x) = {1 \ peste n} \ sum _ {i = 1} ^ {n} I _ {[- \ infty, x]} (X_ {i})}

unde este $I_{[-\infty ,x]}(X_{i})$ ${\ displaystyle I _ {[- \ infty, x]} (X_ {i})}$ ${\ displaystyle I _ {[- \ infty, x]} (X_ {i})}$ este funcția indicator , egală cu 1 dacă $X_{i}\leq x$ ${\ displaystyle X_ {i} \ leq x}$ ${\ displaystyle X_ {i} \ leq x}$ este egal cu 0 în caz contrar. Poate fi scris în mod echivalent în forma sa extinsă ca ^[4] :

F_{n}(x)={\begin{cases}0&x<X_{1}\\{\frac {k}{n}}&X_{k}<x<X_{k+1}\quad \forall k=1,2,...,n-1\\1&x>X_{n}\end{cases}}

{\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ begin {cases} 0 & x <X_ {1} \\ {\ frac {k} {n}} și X_ {k} <x <X_ {k + 1 } \ quad \ forall k = 1,2, ..., n-1 \\ 1 & x> X_ {n} \ end {cases}}}

{\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ begin {cases} 0 & x <X_ {1} \\ {\ frac {k} {n}} și X_ {k} <x <X_ {k + 1 } \ quad \ forall k = 1,2, ..., n-1 \\ 1 & x> X_ {n} \ end {cases}}}

Proprietate

Funcția de distribuție empirică este un estimator corect și consistent al funcției de distribuție.

Notă

^ (EN) Azeem M. Shaikh, The Glivenko-Cantelli Theorem (PDF) pe home.uchicago.edu, Universitatea din Chicago.
^ Federico M. Stefanini, Frecvențe relative și distribuții empirice , pe local.disia.unifi.it , Universitatea din Florența.
^ (EN) van der Vaart, Asymptotic statistics , Cambridge University Press, 1998, p. 265 , ISBN 0-521-78450-6 .
^ Diego Zappa și Silvia Facchinetti, Note statistice , 2013, p. 176, ISBN 9788867800506 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția de defalcare empirică

[1] (EN) Azeem M. Shaikh, The Glivenko-Cantelli Theorem (PDF) pe home.uchicago.edu, Universitatea din Chicago.

[2] Federico M. Stefanini, Frecvențe relative și distribuții empirice , pe local.disia.unifi.it , Universitatea din Florența.

[3] (EN) van der Vaart, Asymptotic statistics , Cambridge University Press, 1998, p. 265 , ISBN 0-521-78450-6 .

[4] Diego Zappa și Silvia Facchinetti, Note statistice , 2013, p. 176, ISBN 9788867800506 .

[1]

[2]

[3]

[4]