Graficul existențial

Un grafic existențial este un tip de notație vizuală sau diagramatică pentru expresii logice, propus de Charles Sanders Peirce , care a scris prima sa lucrare despre grafice logice în 1882 și a continuat să dezvolte metoda până la moartea sa în 1914 ^[1] .

Graficele

Peirce a propus trei sisteme de grafice existențiale:

• alfa , izomorfă la logica propozițională și algebră booleană cu două elemente;
• beta , logică izomorfă până la ordinea întâi cu identitate, cu toate formulele închise;
• gamma , (aproape) izomorfă spre logica modală normală.

Cuiburi alfa în beta și gamma . Sistemul beta nu se amplasează în gama , deoarece logica modală cuantificată este mai generală decât cea propusă de Peirce.

Alfa

Sintaxa este:

• Pagina goală;
• Litere simple sau propoziții scrise oriunde pe pagină;

Diagramele alfa

• Orice grafic poate fi închis printr-o curbă simplă închisă numită tăiere sau sep . O tăietură poate fi goală. Tăieturile se pot cuibări și concatena după bunul plac, dar nu trebuie să se intersecteze niciodată.

Orice parte bine formată a unui grafic este un subgraf .

Semantica este:

• Pagina goală denotă adevărul ;
• Litere, propoziții, subgrafe și grafice întregi pot fi adevărate sau false ;
• Încadrarea unui subgraf cu o tăietură este echivalentă cu negația logică sau complementarea booleană. Prin urmare, o tăietură goală denotă Fals ;
• Toate subgrafele dintr-o anumită tăietură sunt legate în mod tacit.

Deci, graficele alfa sunt o notație minimalistă pentru logica propozițională, bazată pe adecvarea expresivă a lui And and Not . Grafele alfa reprezintă o simplificare radicală a algebrei booleene cu două elemente și a conectivelor logice .

Adâncimea unui obiect este numărul de tăieturi care îl înconjoară.

Reguli de inferență :

• Insert: Orice subgraf poate fi inserat într-o adâncime impară.
• Ștergere - Orice subgraf cu o adâncime uniformă poate fi șters.

Reguli de echivalență :

• Double Cut - Câteva tăieturi fără nimic între ele pot fi desenate în jurul oricărui subgraf. În mod similar, două tăieturi imbricate pot fi șterse fără nimic între ele. Această regulă este echivalentă cu involuția booleană.
• Iterare / Deiterare: Pentru a înțelege această regulă, cel mai bine este să vizualizați o diagramă ca o structură de copac cu noduri și strămoși. Orice subgraf P din nodul n poate fi copiat pe orice nod în funcție de n . În mod similar, orice subgraf P din nodul n poate fi șters dacă există o copie a lui P într-un nod ancestral la n (adică, un anumit nod n depinde de). Pentru o regulă echivalentă într-un context algebric, vezi C2 în Legile formei lui George Spencer-Brown (Londra, Allen și Unwin, 1969).

O dovadă manipulează un grafic dintr-o serie de pași, fiecare pas fiind justificat de una dintre regulile precedente. Dacă o diagramă poate fi redusă prin treceri la pagina goală sau o tăietură goală este ceea ce se numește acum tautologie (sau complementul acesteia). Graficele care nu pot fi simplificate dincolo de un anumit punct sunt analoage cu formulele satisfăcătoare ale logicii de ordinul întâi.

Beta

Peirce a scris predicate funcționale folosind propoziții intuitive în limba engleză; notația standard a logicii contemporane, majuscule latine, poate fi de asemenea utilizată. Un punct afirmă existența unui individ în domeniul discursului. Mai multe instanțe ale aceluiași obiect sunt conectate printr-o linie, numită „linie de identitate”. Nu există variabile literale sau cuantificatori în sensul logicii de ordinul întâi. O linie de identitate care leagă două sau mai multe predicate poate fi citită ca o afirmație că predicatele au o variabilă comună. Prezența liniilor de identitate necesită modificarea regulilor de echivalență alfa .

Graficele beta pot fi citite ca un sistem în care toate formulele trebuie considerate închise, deoarece toate variabilele sunt cuantificate implicit. Dacă partea „superficială” a unei linii de identitate are o adâncime pare (impar), variabila asociată este cuantificată tacit existențial (universal).

Zeman (1964) a fost primul care a observat că graficele beta sunt izomorfe până la logica de ordinul întâi cu egalitate. Cu toate acestea, literatura secundară, în special Roberts (1973) și Shin (2002), nu sunt de acord cu privire la modul în care este acest lucru. Scrierile lui Peirce nu abordează această întrebare, deoarece logica de prim ordin a fost clar articulată pentru prima dată la doar câțiva ani după moartea sa, în prima ediție din 1928 a lui David Hilbert și a lui Wilhelm Ackermann Principiile logicii matematice .

Gamă

Un al doilea tip de curbă simplă închisă se adaugă la sintaxa alfa , scrisă folosind o linie întreruptă în loc de una solidă. Peirce a propus reguli pentru acest al doilea stil de tăiere, care poate fi citit ca operator primar unar al logicii modale.

Zeman (1964) a fost primul care a observat că modificările directe la regulile graficului gamma produc bine-cunoscutele logici modale S4 și S5. Deci, graficele gamma pot fi citite ca o formă particulară a logicii modale normale. Această descoperire a lui Zeman a rămas ignorată.

Rolul lui Peirce

Charles Sanders Peirce

Graficele existențiale sunt un produs curios al lui CS Peirce, logicianul / matematicianul care a fondat o ramură importantă a semioticii. Logica grafică a lui Peirce este doar unul dintre multele sale succese în logică și matematică. Într-o serie de articole începând din 1867 și culminând cu articolul său clasic din 1885 ^[2] , Peirce a dezvoltat o mare parte din algebra booleană cu două elemente, calcul propozițional, cuantificare și calcul predicat și o teorie rudimentară a mulțimilor. Teoreticienii modelului consideră că Peirce este primul de acest fel; a extins și algebra de relații a lui Augustus De Morgan .

Evoluția teoriei semiotice a lui Peirce l-a determinat să se îndoiască de valoarea logicii formulată folosind notația lineară convențională și să prefere logica și matematica să fie notate în două (sau chiar trei) dimensiuni. Opera sa a depășit diagramele Euler și revizuirea lor în anii 1880 ai lui John Venn . Begriffsschrift (1879) al lui Gottlob Frege a folosit, de asemenea, o notație bidimensională pentru logică, dar foarte diferită de cea a lui Peirce.

Prima lucrare publicată de Peirce despre logica grafică (retipărită în vol. 3 din lucrările sale colectate ) a propus un sistem dual (efectiv) pentru graficele alfa existențiale, numite grafice de entitate. Curând a abandonat acest formalism în favoarea graficelor existențiale. În 1911 Victoria, Lady Welby i-a arătat graficele existențiale lui Charles Kay Ogden, care a înțeles că acestea ar putea fi util combinate cu rezultatele lui Welby într-o „formă mai puțin abstractă” ^[3] . Mai mult, au atras puțină atenție în timpul vieții sale și au fost invariabil denigrați sau ignorați după moartea sa ", până la tezele de doctorat ale lui Roberts (1964) și Zeman (1964).

Notă

Bibliografie

• ( EN ) The Collected Papers of CS Peirce , 1931-35. Paginile 320-470 din vol. 4 constituie locus citandum pentru graficele existențiale. Disponibil online 4372-417 Arhivat la 5 ianuarie 2009 la Internet Archive . și 4.418-529 .
• ( EN ) CS Peirce, Raționamentul și logica lucrurilor. Ketner, KL, Hilary Putnam (eds.), Harvard University Press, 1992.
• (EN) Semiotic and Significs: Correspondence between CS Peirce and Victoria Lady Welby. CS Hardwick (ed.), Lubbock TX: Texas Tech University Press, 2001.
• (EN) Don D. Roberts, The Existential Graphs of Charles S. Peirce, Haga, Mouton, 1973.
• ( EN ) Shin, Sun-Joo, The Iconic Logic of Peirce's Graphs , MIT Press, 2002.
• ( EN ) JJ Zeman, The Graphical Logic of CS Peirce , teză nepublicată, Universitatea din Chicago, 1964
• ( EN ) JJ Zeman, "Un sistem de cuantificare implicită", Journal of Symbolic Logic , 32, 1967, pp. 480-504.

Elemente conexe

• Grafic conceptual
• Algebra booleană

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Graficul existențial