Indicele Malmquist

Indicii Malmquist sunt o serie de numere de indice utilizate în analiza productivității în economie pentru a măsura modificările volumelor de ieșire și de intrare și a productivității totale a factorilor și care împărtășesc faptul că sunt construite pe baza funcțiilor distanță de intrare și ieșire .

Indicele de ieșire Malmquist

Indicând cu $\ {d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )}$ ${\ displaystyle \ {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}}$ ${\ displaystyle \ {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}}$ funcția distanței de ieșire definită pe baza tehnologiei predominante la momentul t, o funcție a vectorului de intrare x și a vectorului de ieșire q , indicele de ieșire Malmquist este definit ca:

\ Q_{o}(s,t)=\left({\frac {d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\cdot {\frac {d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{s})}}\right)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle \ Q_ {o} (s, t) = \ left ({\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t} )} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ { s})}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle \ Q_ {o} (s, t) = \ left ({\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t} )} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ { s})}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

unde este $\ \mathbf {x} _{i}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} _ {i}}$ este vectorul de intrări observat la timp adică $\ \mathbf {q} _{i}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {i}}$ vectorul ieșirilor la momentul i.

Prin urmare, indicele constituie media geometrică a două posibile specificații diferite ale indicilor de ieșire pe baza funcțiilor de distanță.

Un indice generic de ieșire bazat pe funcții de distanță ar putea fi de fapt definit ca:

\ Q_{o}(s,t)={\frac {d_{o}^{\ i}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ i}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} _{s})}}

{\ displaystyle \ Q_ {o} (s, t) = {\ frac {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q} _ {s})}}}

{\ displaystyle \ Q_ {o} (s, t) = {\ frac {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q} _ {s})}}}

unde tehnologia i este orice tehnologie de ieșire convențională și x este orice vector de intrare.

Deoarece indicele astfel definit este independent de alegerea vectorului de intrare dacă și numai dacă tehnologia este omotetică de ieșire și independentă de alegerea tehnologiei dacă și numai dacă progresul tehnic este neutru la ieșirea lui Hicks (Färe și Primont, 1995), în caz general indicele va depinde de ambii factori.

Deoarece cea mai naturală alegere pare să cadă pe tehnologiile predominante și pe intrările observate într-una din cele două perioade (sot) și nu există un motiv a priori pentru a alege una peste alta, luăm o medie geometrică a celor două.

Proprietățile indexului de ieșire Malmquist

Indicele de ieșire Malmquist îndeplinește următoarele proprietăți, toate fiind strâns legate de proprietățile funcției distanței de ieșire:

monotonie ;
omogenitate liniară în ceea ce privește rezultatele: $\ \mathbf {q} _{t}=\lambda \mathbf {q} _{s}\Rightarrow Q_{o}(s,t)=\lambda$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {t} = \ lambda \ mathbf {q} _ {s} \ Rightarrow Q_ {o} (s, t) = \ lambda}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {t} = \ lambda \ mathbf {q} _ {s} \ Rightarrow Q_ {o} (s, t) = \ lambda}$
invarianță în ceea ce privește multiplicarea scalară a rezultatelor: $\ Q_{o}(\mathbf {q} _{s},\mathbf {q} _{t},\mathbf {x} )=Q_{o}(\lambda \mathbf {q} _{s},\lambda \mathbf {q} _{t},\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ Q_ {o} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x}) = Q_ {o} (\ lambda \ mathbf {q} _ { s}, \ lambda \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ Q_ {o} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x}) = Q_ {o} (\ lambda \ mathbf {q} _ { s}, \ lambda \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x})}$

Indicele de intrare Malmquist

În mod similar cu ceea ce s-a făcut pentru ieșiri, indicând cu $\ d_{i}^{\ t}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}$ funcția distanței de intrare definită pe baza tehnologiei predominante la momentul t, o funcție a vectorului de intrare x și a vectorului de ieșire q , indicele de intrare Malmquist este definit ca:

\ Q_{i}(s,t)=\left({\frac {d_{i}^{\ s}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{s})}{d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\cdot {\frac {d_{i}^{\ t}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{t})}}\right)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle \ Q_ {i} (s, t) = \ left ({\ frac {d_ {i} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {s} )} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ { t})}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle \ Q_ {i} (s, t) = \ left ({\ frac {d_ {i} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {s} )} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ { t})}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

unde este $\ \mathbf {x} _{i}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} _ {i}}$ este vectorul de intrări observat la timp adică $\ \mathbf {q} _{i}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {i}}$ vectorul ieșirilor la momentul i.

Și aici indicele este media geometrică a două posibile specificații diferite ale indicilor de intrare pe baza funcțiilor de distanță.

Un indice generic de intrare bazat pe funcții de distanță poate fi definit ca:

\ Q_{i}(s,t)={\frac {d_{o}^{\ i}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} )}{d_{o}^{\ i}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} )}}

{\ displaystyle \ Q_ {i} (s, t) = {\ frac {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q})} {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q})}}}

{\ displaystyle \ Q_ {i} (s, t) = {\ frac {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q})} {d_ {o} ^ {\ i} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q})}}}

unde tehnologia i este orice tehnologie convențională de intrare și q este orice vector de ieșire.

Deoarece indicele astfel definit este independent de alegerea vectorului de ieșire dacă și numai dacă tehnologia este intrare omotetică și independentă de alegerea tehnologiei dacă și numai dacă progresul tehnic este neutru de intrare Hicks (Färe și Primont, 1995), în caz general indicele va depinde de ambii factori.

Prin urmare, luăm o medie geometrică a indicilor calculați cu tehnologiile predominante și a rezultatelor observate în ambele perioade considerate (setate).

Proprietățile indicelui de intrare Malmquist

Indicele de intrare Malmquist îndeplinește următoarele proprietăți, toate fiind strâns legate de proprietățile funcției de distanță de intrare:

monotonie ;
omogenitate liniară în raport cu intrările: $\ \mathbf {x} _{t}=\lambda \mathbf {x} _{s}\Rightarrow Q_{i}(s,t)=\lambda$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} _ {t} = \ lambda \ mathbf {x} _ {s} \ Rightarrow Q_ {i} (s, t) = \ lambda}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} _ {t} = \ lambda \ mathbf {x} _ {s} \ Rightarrow Q_ {i} (s, t) = \ lambda}$
invarianță în ceea ce privește multiplicarea scalară a intrărilor: $\ Q_{i}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} )=Q_{i}(\lambda \mathbf {x} _{s},\lambda \mathbf {x} _{t},\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ Q_ {i} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q}) = Q_ {i} (\ lambda \ mathbf {x} _ { s}, \ lambda \ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ Q_ {i} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q}) = Q_ {i} (\ lambda \ mathbf {x} _ { s}, \ lambda \ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q})}$

Indicele de productivitate Malmquist

Indicele de productivitate TFP al lui Malmquist (sau indexul Malmquist), indicele de productivitate englezesc Malmquist (sau indicele Malmquist TFP), a fost introdus pentru prima dată de Caves, Christensen și Diewert (1982) și este un indice al productivității factorului total bazat pe funcțiile la distanță.

Deoarece există funcții de distanță de intrare și ieșire, care, cu excepția cazului în care tehnologia are reveniri constante la scară , diferă în general, este posibil să se definească doi indici Malmquist diferiți, unul orientat spre ieșire și unul orientat spre intrare .

Indicele de productivitate Malmquist pe baza producției

Indicele de productivitate Malmquist bazat pe rezultat (indicele TFP Malmquist orientat spre ieșire) este definit ca:

\ m_{o}(\mathbf {q} _{s},\mathbf {q} _{t},\mathbf {x} _{s},\mathbf {x} _{t})=\left({\frac {d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\cdot {\frac {d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\right)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle \ m_ {o} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}) = \ left ({\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf { q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}}}

{\ displaystyle \ m_ {o} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}) = \ left ({\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf { q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}}}

Și aici indicele constituie o medie geometrică de doi indici posibili, unul bazat pe tehnologia predominantă în perioada s și celălalt bazat pe cel predominant în perioada t.

O formulare alternativă a indexului este:

\ m_{o}(\mathbf {q} _{s},\mathbf {q} _{t},\mathbf {x} _{s},\mathbf {x} _{t})={\frac {d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\left({\frac {d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}}\cdot {\frac {d_{o}^{\ s}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}{d_{o}^{\ t}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\right)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle \ m_ {o} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}) = {\ frac {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x } _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ left ({\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})}} cdot {\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf { q} _ {s})}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle \ m_ {o} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}) = {\ frac {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x } _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ left ({\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})}} cdot {\ frac {d_ {o} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})} {d_ {o} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf { q} _ {s})}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

În cazul în care primul termen surprinde modificarea eficienței tehnice relative a firmei (modificarea distanței față de frontiera eficientă de producție a perioadei relevante), în timp ce termenul dintre paranteze surprinde progresul tehnic , modificarea frontierei de producție .

Trebuie remarcat faptul că indexul nu surprinde așa-numita eficiență a scării , adică nu surprinde îmbunătățirile care pot fi obținute prin schimbarea scalei de producție. Cu toate acestea, în cazul în care prezența economiilor de scară poate fi exclusă și, prin urmare, se presupune o tehnologie cu reveniri constante la scară , orice scară este „eficientă” și defectul menționat anterior nu are consecințe.

Indicele de productivitate Malmquist bazat pe intrări

Indicele de productivitate al Malmquist bazat pe intrări (indicele TFP Malmquist orientat spre intrare) este definit ca:

\ m_{i}(\mathbf {q} _{s},\mathbf {q} _{t},\mathbf {x} _{s},\mathbf {x} _{t})=\left({\frac {d_{i}^{\ s}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{i}^{\ s}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\cdot {\frac {d_{i}^{\ t}(\mathbf {x} _{t},\mathbf {q} _{t})}{d_{i}^{\ t}(\mathbf {x} _{s},\mathbf {q} _{s})}}\right)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle \ m_ {i} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}) = \ left ({\ frac {d_ {i} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {i} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf { q} _ {t})} {d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}}}

{\ displaystyle \ m_ {i} (\ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {q} _ {t}, \ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {x} _ {t}) = \ left ({\ frac {d_ {i} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf {q} _ {t})} {d_ {i} ^ {\ s} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ cdot {\ frac {d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {t}, \ mathbf { q} _ {t})} {d_ {i} ^ {\ t} (\ mathbf {x} _ {s}, \ mathbf {q} _ {s})}} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}}}

Ceea ce s-a spus despre indicele de productivitate bazat pe rezultate se aplică și celor bazate pe intrări.

În cele din urmă, trebuie remarcat faptul că, excluzând cazul în care tehnologia predominantă în cele două perioade prezintă reveniri constante la scară, adică CRS (care înseamnă Retur constant la scară ), cei doi indici nu vor coincide în general.

Bibliografie

Balk, BM (1998), Indici de preț, cantitate și productivitate industrială: teoria micro-economică și o aplicație , Kluwer Academic Publishers, Boston;
Caves, DW, Christensen LR și Diewert, WE (1982), "The Economic Theory of Index Numbers and the Measurement of Input, Output and Productivity", Econometrica , 50, 1393-1414;
Coelli, TJ, Rao, DSP, O'Donnell, CJ și Battese, GE (2004), An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis , Springer;
Färe, R. și Primont, D. (1995), Multi-Output Production and Duality: Theory and Applications , Kluwer Academic Publishers, Boston;
OECD (2001), Măsurarea productivității , Manualul OECD;

Elemente conexe

Funcția de distanță

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie