Funcția de distanță

Funcția la distanță , care poate fi definită cu referire la intrări și ieșiri, în economia producției este o funcție care asociază fiecărei combinații de intrări (ieșiri) contracția proporțională minimă (expansiune maximă) a aceluiași posibil cu tehnologia de producție neschimbată.

Conceptul funcției la distanță a fost introdus de Malmquist și Shepard, independent unul de celălalt, la începutul anilor 1950, deși a început să fie folosit doar în teoria producției relativ recent.

Funcția distanței de intrare

Având în vedere un set de cerințe de intrare L ( q ), adică setul de combinații de intrări ( x ) în procesele potențial activabile pentru producerea de q , funcția distanței de intrare este dată de:

d_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )=\max\{\rho :\rho ^{-1}\mathbf {x} \in L(\mathbf {q} )\}

{\ displaystyle d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = \ max \ {\ rho: \ rho ^ {- 1} \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q}) \}}

{\ displaystyle d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = \ max \ {\ rho: \ rho ^ {- 1} \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q}) \}}

(1)

Pentru ca (1) să dea naștere unei funcții este necesar să presupunem că tehnologia este convențională de intrare , adică dă naștere unui set de cerințe de intrare convenționale pentru fiecare combinație de ieșiri potențial producibile ( $\mathbf {q} \in Q$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ în Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ în Q}$ ).

Figura 1: Set de cerințe de intrare convenționale și funcția de distanță de intrare

Un set de cerințe de intrare este definit ca fiind convențional atunci când este:

regulat , adică:
- $\ L(\mathbf {q} )\neq \varnothing$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q}) \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q}) \ neq \ varnothing}$ ; ^[1]
- $\ L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q})}$ este un set închis în $\ \mathbb {R} _{+}^{n}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ; ^[2]
- de sine $\ \mathbf {0} \in L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {0} \ în L (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {0} \ în L (\ mathbf {q})}$ , asa de $\ \mathbf {q} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} = \ mathbf {0}}$ . ^[3]
monoton : $\mathbf {x} \in L(\mathbf {q} ),\ \mathbf {x} \geq \mathbf {x'} \Rightarrow \mathbf {x'} \in L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q}), \ \ mathbf {x} \ geq \ mathbf {x '} \ Rightarrow \ mathbf {x'} \ în L (\ mathbf {q} )}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q}), \ \ mathbf {x} \ geq \ mathbf {x '} \ Rightarrow \ mathbf {x'} \ în L (\ mathbf {q} )}}$ ;
convex : $\forall \ \mathbf {x} ,\mathbf {x'} \in L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ forall \ \ mathbf {x}, \ mathbf {x '} \ în L (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ forall \ \ mathbf {x}, \ mathbf {x '} \ în L (\ mathbf {q})}$ Și $\lambda \in [0,1]$ ${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$ avem asta $\left(\lambda \mathbf {x} +(1-\lambda )\mathbf {x'} \right)\in L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ left (\ lambda \ mathbf {x} + (1- \ lambda) \ mathbf {x '} \ right) \ în L (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ left (\ lambda \ mathbf {x} + (1- \ lambda) \ mathbf {x '} \ right) \ în L (\ mathbf {q})}$ .

Geometric, având în vedere combinația de intrare x pentru producerea de q , imaginați-vă reprezentarea grafică a razei de ieșire de la originea care trece prin x . Pentru ipoteza intrării-convenționalității tehnologiei, această rază va trece frontiera L ( q ) într-un punct eficient din punct de vedere tehnic x * ^{[ neclar ]} unde intrările sunt combinate în proporțiile lor originale. Prin urmare, va exista un scalar pozitiv ρ dat de raportul dintre modulul vectorului original de intrare x și cel al combinației eficiente din punct de vedere tehnic x * .

Figura 1 prezintă un exemplu în cazul a două intrări (x și y). Distanța combinației A de la margine va fi apoi egală cu:

\rho ={\frac {OA}{OB}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {OA} {OB}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {OA} {OB}}}

Prin urmare, distanța este o măsură a ineficienței relative a procesului adoptat.

Proprietățile funcției de distanță de intrare

Funcția de distanță de intrare $\ d_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}$ se bucură de următoarele proprietăți:

este nedescrescând în x și nescrescând în q ;
este liniar omogen în x ;
este concav în x și cvasi-concav în q ;
de sine $\mathbf {x} \in L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q})}$ asa de $\ d_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )\geq 1$ ${\ displaystyle \ d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) \ geq 1}$ ${\ displaystyle \ d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) \ geq 1}$ ;
de sine $\ d_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )=1$ ${\ displaystyle \ d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = 1}$ ${\ displaystyle \ d_ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = 1}$ atunci x aparține frontierei de producție , adică izoquantului asociat cu q .

Funcția distanței de ieșire

Având în vedere un set de producție Q ( x ), adică setul de combinații de ieșire ( q ) în procesele potențial activate cu factorii x , funcția distanței de ieșire este dată de:

d_{o}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )=\min\{\delta :\delta ^{-1}\mathbf {q} \in Q(\mathbf {x} )\}

{\ displaystyle d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = \ min \ {\ delta: \ delta ^ {- 1} \ mathbf {q} \ în Q (\ mathbf {x}) \}}

{\ displaystyle d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = \ min \ {\ delta: \ delta ^ {- 1} \ mathbf {q} \ în Q (\ mathbf {x}) \}}

(1)

Se presupune că tehnologia este de ieșire-convențională , adică dă naștere unui set de producție pentru care dețin următoarele proprietăți:

$\ \mathbf {0} \in Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {0} \ în Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {0} \ în Q (\ mathbf {x})}$ ;
$\ Q(\mathbf {0} )=\{\mathbf {0} \}$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {0}) = \ {\ mathbf {0} \}}$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {0}) = \ {\ mathbf {0} \}}$ ;
$\ Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ este monoton : $\mathbf {q} \in Q(\mathbf {x} ),\ \mathbf {q} \geq \mathbf {q'} \Rightarrow \mathbf {q'} \in Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in Q (\ mathbf {x}), \ \ mathbf {q} \ geq \ mathbf {q '} \ Rightarrow \ mathbf {q'} \ in Q (\ mathbf {x} )}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in Q (\ mathbf {x}), \ \ mathbf {q} \ geq \ mathbf {q '} \ Rightarrow \ mathbf {q'} \ in Q (\ mathbf {x} )}}$ ;
$\ Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ este un set închis în $\ \mathbb {R} _{+}^{n}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ;
$\ Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ este limitat;
$\ Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ Q (\ mathbf {x})}$ este convex : $\forall \ \mathbf {q} ,\mathbf {q'} \in Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ forall \ \ mathbf {q}, \ mathbf {q '} \ în Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ forall \ \ mathbf {q}, \ mathbf {q '} \ în Q (\ mathbf {x})}$ Și $\lambda \in [0,1]$ ${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$ avem asta $\left(\lambda \mathbf {q} +(1-\lambda )\mathbf {q'} \right)\in Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ left (\ lambda \ mathbf {q} + (1- \ lambda) \ mathbf {q '} \ right) \ în Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ left (\ lambda \ mathbf {q} + (1- \ lambda) \ mathbf {q '} \ right) \ în Q (\ mathbf {x})}$ .

Figura 2: Set de producție și funcția distanței de ieșire

Geometric, având în vedere combinația de ieșire q produsă cu x , imaginați-vă trasarea razei de ieșire de la originea care trece prin q . Pentru ipoteza ieșirii-convenționalității tehnologiei, această rază va trece frontiera Q ( x ) într-un punct q * eficient din punct de vedere tehnic, unde ieșirile sunt combinate în proporțiile originale. Prin urmare, va exista un scalar pozitiv δ dat de raportul dintre modulul vectorului original de ieșire q și cel al combinației eficiente din punct de vedere tehnic q * .

Figura 2 prezintă un exemplu în cazul a două ieșiri (x și y). Distanța combinației B de la margine va fi apoi egală cu:

\delta ={\frac {OB}{OP}}

{\ displaystyle \ delta = {\ frac {OB} {OP}}}

{\ displaystyle \ delta = {\ frac {OB} {OP}}}

Proprietățile funcției distanței de ieșire

Funcția distanței de ieșire $\ d_{o}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q})}$ se bucură de următoarele proprietăți:

$\ \forall \ \mathbf {x} \geq \mathbf {0} ,\ d_{o}(\mathbf {x} ,\mathbf {0} )=0$ ${\ displaystyle \ \ forall \ \ mathbf {x} \ geq \ mathbf {0}, \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {0}) = 0}$ ${\ displaystyle \ \ forall \ \ mathbf {x} \ geq \ mathbf {0}, \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {0}) = 0}$
este nedescrescând în q și nescrescând în x ;
este liniar omogen în q ;
este convex în q și cvasiconvex în x ;
de sine $\ \mathbf {q} \in Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} \ în Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} \ în Q (\ mathbf {x})}$ asa de $\ d_{o}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )\leq 1$ ${\ displaystyle \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) \ leq 1}$ ;
de sine $\ d_{o}(\mathbf {x} ,\mathbf {q} )=1$ ${\ displaystyle \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = 1}$ ${\ displaystyle \ d_ {o} (\ mathbf {x}, \ mathbf {q}) = 1}$ atunci q aparține frontierei de producție .

Notă

^ Acest lucru, cunoscut și sub numele de ipoteza productivității , necesită cel puțin un proces care utilizează o intrare și dă naștere la cel puțin o ieșire pozitivă;
^ Se spune că o mulțime S este închisă dacă conține toate punctele sale de acumulare . x este punctul de acumulare al lui S și numai dacă există cel puțin în vecinătatea unui punct x aparținând lui S excluzând x însuși. Prin urmare, un punct izolat nu este un punct de acumulare. Pentru ca condiția în cauză să fie satisfăcută, este, prin urmare, suficient ca mulțimea L ( q ) să fie alcătuită dintr-un număr finit de combinații de intrare sau dintr-un număr infinit de combinații izolate . În acest caz, de fapt, mulțimea L ( q ) nu conține puncte de acumulare și, prin urmare, este închisă. Dacă atunci presupunem existența punctelor de acumulare în mulțimea L ( q ), presupunând că acestea fac parte din L ( q ) „facilitează analiza fără a impune restricții semnificative din punct de vedere economic” (Tani, 1986, p.18 ).
^ Această presupunere este, de asemenea, cunoscută sub numele de inexistența Țării Curvei , deoarece dictează că producerea unor rezultate necesită întotdeauna o intrare.

Bibliografie

Chambers, RG (1988), Analiza producției aplicate: o abordare duală , Cambridge University Press, New York;
Malmquist, S. (1953), "Index Numbers and Indifference Surfaces ", Trabajos de Estatistica , 4, 209-242;
Shepard, RW (1953), Cost și funcție de producție , Princeton University Press, Princeton;
Tani, P. (1986), Analiza microeconomică a producției , La Nuova Italia Scientifica, Roma;

Elemente conexe

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie

[nota_produttività-1] Acest lucru, cunoscut și sub numele de ipoteza productivității , necesită cel puțin un proces care utilizează o intrare și dă naștere la cel puțin o ieșire pozitivă;

[nota_chiuso-2] Se spune că o mulțime S este închisă dacă conține toate punctele sale de acumulare . x este punctul de acumulare al lui S și numai dacă există cel puțin în vecinătatea unui punct x aparținând lui S excluzând x însuși. Prin urmare, un punct izolat nu este un punct de acumulare. Pentru ca condiția în cauză să fie satisfăcută, este, prin urmare, suficient ca mulțimea L ( q ) să fie alcătuită dintr-un număr finit de combinații de intrare sau dintr-un număr infinit de combinații izolate . În acest caz, de fapt, mulțimea L ( q ) nu conține puncte de acumulare și, prin urmare, este închisă. Dacă atunci presupunem existența punctelor de acumulare în mulțimea L ( q ), presupunând că acestea fac parte din L ( q ) „facilitează analiza fără a impune restricții semnificative din punct de vedere economic” (Tani, 1986, p.18 ).

[nota_cuccagna-3] Această presupunere este, de asemenea, cunoscută sub numele de inexistența Țării Curvei , deoarece dictează că producerea unor rezultate necesită întotdeauna o intrare.

[1]

[2]

[3]