Set inductiv (logică)

În logica matematică și mai precis în teoria mulțimilor , un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se numește inductiv sau apodictic ^[1] dacă satisface axioma infinitului

$\varnothing \in X$ ${\ displaystyle \ varnothing \ în X}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ în X}$
$x\in X\Rightarrow x\cup \{x\}\in X$ ${\ displaystyle x \ in X \ Rightarrow x \ cup \ {x \} \ in X}$ ${\ displaystyle x \ in X \ Rightarrow x \ cup \ {x \} \ in X}$

Cu alte cuvinte, conform definiției succesorului pentru construcția standard (datorită lui John von Neumann ) a numerelor naturale , dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un astfel de set atunci $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conține mulțimea numerelor naturale $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ adică avem de fapt că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conține ca element setul gol și fiind închis de succesor avem și care conține, de asemenea $1,2,...$ ${\ displaystyle 1,2, ...}$ ${\ displaystyle 1,2, ...}$ ca elemente.

Existența seturilor inductive

Conceptul de set inductiv joacă un rol fundamental în teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel ; de fapt, axioma infinitului , necesară pentru a garanta existența unor mulțimi infinite în fiecare model al teoriei, corespunde exact următoarei propoziții:

Există un set inductiv.

Această axiomă, pe lângă asigurarea, apodictică, a întregului $\mathbb {N} =\{0,1,2,...\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, ... \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, ... \}}$ de numere naturale există, ne permite să dovedim că $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ este un model de Peano . ^[2] Construcția standard a numerelor naturale în ZF este:

Cel mai mic set inductiv , adică intersecția tuturor seturilor inductive .

Observăm că, deși mulțimile inductive formează o clasă adecvată (adică mulțimea mulțimilor inductive nu există), aceasta este o definiție validă; de fapt știm - din axioma menționată recent - că un astfel de set apodictic sau inductiv $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ există. Prin urmare $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ poate fi apoi stabilit în mod formal după cum urmează:

$\mathbb {N} =\{x\in X\mid \forall Y{\text{induttivo}},Y\subset X,x\in Y)\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {x \ în X \ mid \ forall Y {\ text {inductive}}, Y \ subset X, x \ in Y) \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {x \ în X \ mid \ forall Y {\ text {inductive}}, Y \ subset X, x \ in Y) \}}$

Etimologie

Inductivul provine, după cum puteți ghici cu ușurință, din inducție . Principiul inducției pe $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ de fapt nu este alta decât următoarea afirmație:

De sine $U\subset \mathbb {N}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {N}}$ este inductiv atunci $U=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle U = \ mathbb {N}}$ $U = {\ mathbb N}$

Notă

^ Luca Barbieri Viale, Ce este un număr? , Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043 .
^ op. cit. pentru o demonstrație

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Luca Barbieri Viale, Ce este un număr? , Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043 .

[2] . cit. pentru o demonstrație

[1]

[2]