Invariant dinamic

În mecanica rațională , invariantul dinamic este o mărime scalară caracteristică actului de mișcare al unui corp rigid și merită:

$I_{D(t)}=\mathbf {R} _{(t)}\cdot \mathbf {M} _{(t)}$ ${\ displaystyle I_ {D (t)} = \ mathbf {R} _ {(t)} \ cdot \ mathbf {M} _ {(t)}}$ $I _ {{D (t)}} = {\ mathbf {R}} _ {{(t)}} \ cdot {\ mathbf {M}} _ {{(t)}}$

Invarianța sa derivă din relația dintre momentul mecanic M și forța F rezultată pe un corp rigid și din proprietățile produsului mixt :

\mathbf {R} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'} +\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \times \mathbf {r} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'}

{\ displaystyle \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {M} = \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {M '} + \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R} \ times \ mathbf {r} = \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {M '}}

{\ mathbf {R}} \ cdot {\ mathbf {M}} = {\ mathbf {R}} \ cdot {\ mathbf {M '}} + {\ mathbf {R}} \ cdot {\ mathbf {R} } \ times {\ mathbf {r}} = {\ mathbf {R}} \ cdot {\ mathbf {M '}}

,

De fapt, această demonstrație arată că I _D este unic pentru toate punctele corpului rigid, în timp ce în general nu rămâne constant în timpul mișcării.

Când invariantul scalar este zero, sistemul dinamic este echivalent cu o forță pură, dacă momentul rezultat este zero sau cei doi vectori sunt perpendiculari , sau cu un cuplu pur, dacă forța rezultată este zero.

Definiție

Date

\mathbf {M} _{P}=\sum _{i=1}^{N}\left(A_{i}-P\right)\times \mathbf {u} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (A_ {i} -P \ right) \ times \ mathbf {u} _ {i}}

{\ mathbf {M}} _ {P} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ left (A_ {i} -P \ right) \ times {\ mathbf {u}} _ {i }

unde este $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ sunt punctele de aplicare a vectorilor $\mathbf {u} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ mathbf {u}} _ {i}$ , Și

\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {u} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {R} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {u} _ {i}}

{\ mathbf {R}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {\ mathbf {u}} _ {i}

invariantul scalar este definit ca

I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =M_{P}R\cos \theta

{\ displaystyle I = \ mathbf {M} _ {P} \ cdot \ mathbf {R} = M_ {P} R \ cos \ theta}

I = {\ mathbf {M}} _ {P} \ cdot {\ mathbf {R}} = M_ {P} R \ cos \ theta

cu $M_{P}$ ${\ displaystyle M_ {P}}$ $M_ {P}$ modul de $\mathbf {M} _{P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P}}$ ${\ mathbf {M}} _ {P}$ , $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ modul de $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ și θ valoarea unghiului dintre $\mathbf {M} _{P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P}}$ ${\ mathbf {M}} _ {P}$ Și $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ .

Echivalența între momentele de poli diferiți

Termenul invariant se datorează faptului că nu depinde de polul ales, adică

I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R}

{\ displaystyle I = \ mathbf {M} _ {P} \ cdot \ mathbf {R} = \ mathbf {M} _ {Q} \ cdot \ mathbf {R}}

I = {\ mathbf {M}} _ {P} \ cdot {\ mathbf {R}} = {\ mathbf {M}} _ {Q} \ cdot {\ mathbf {R}}

cu P și Q poli diferiți.

Demonstrație

Pentru teoria echivalenței, este dat momentul unui pol Q $\mathbf {M} _{P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P}}$ ${\ mathbf {M}} _ {P}$ , contează

\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {M} _{P}+\left(P-Q\right)\times \mathbf {R}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {Q} = \ mathbf {M} _ {P} + \ left (PQ \ right) \ times \ mathbf {R}}

{\ mathbf {M}} _ {Q} = {\ mathbf {M}} _ {P} + \ left (P-Q \ right) \ times {\ mathbf {R}}

multiplicând scalarul cu $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ ambii membri îl înțeleg

\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \cdot \mathbf {R}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {Q} \ cdot \ mathbf {R} = \ mathbf {M} _ {P} \ cdot \ mathbf {R} + \ left (PQ \ right) \ times \ mathbf {R } \ cdot \ mathbf {R}}

{\ mathbf {M}} _ {Q} \ cdot {\ mathbf {R}} = {\ mathbf {M}} _ {P} \ cdot {\ mathbf {R}} + \ left (PQ \ right) \ ori {\ mathbf {R}} \ cdot {\ mathbf {R}}

exploatând proprietatea ciclică a produsului mixt relația devine

\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\cdot \mathbf {R} \times \mathbf {R}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {Q} \ cdot \ mathbf {R} = \ mathbf {M} _ {P} \ cdot \ mathbf {R} + \ left (PQ \ right) \ cdot \ mathbf {R } \ times \ mathbf {R}}

{\ mathbf {M}} _ {Q} \ cdot {\ mathbf {R}} = {\ mathbf {M}} _ {P} \ cdot {\ mathbf {R}} + \ left (PQ \ right) \ cdot {\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {R}}

dar

\mathbf {R} \times \mathbf {R} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} = \ mathbf {0}}

{\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {R}} = {\ mathbf {0}}

deoarece $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ este paralel cu sine și, prin urmare

\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =I

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {Q} \ cdot \ mathbf {R} = \ mathbf {M} _ {P} \ cdot \ mathbf {R} = I}

{\ mathbf {M}} _ {Q} \ cdot {\ mathbf {R}} = {\ mathbf {M}} _ {P} \ cdot {\ mathbf {R}} = I

Utilizarea invariantului scalar

Căutați axa centrală

Din valoarea pe care o presupune invariantul scalar este posibilă derivarea axei centrale (locusul polilor momentului minim) al sistemului vector sau, în absența acestuia, cel puțin un pol de moment minim sau zero. Presupunând un sistem vector rezultat $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ diferit de zero, astfel încât R> 0 , pot fi obținute următoarele cazuri:

$THE$ $=$ $0$ {\ displaystyle I = 0} $I = 0$
- $\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P} = \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf {M}} _ {P} = {\ mathbf {0}}$ : atunci P aparține axei centrale, care este linia dreaptă care trece prin P paralel cu $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$
- $\mathbf {M} _{P}\perp \mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P} \ perp \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {M}} _ {P} \ perp {\ mathbf {R}}$ : atunci există un pol Q de moment zero. Intr-adevar:

\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{Q}=\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\mathbf {R} \times \left[\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \right]=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {R} \ times \ mathbf {M} _ {Q} = \ mathbf {R} \ times \ mathbf {M} _ {P} + \ mathbf {R} \ times \ left [\ left ( PQ \ right) \ times \ mathbf {R} \ right] = \ mathbf {0}}

{\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {M}} _ {Q} = {\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {M}} _ {P} + {\ mathbf {R}} \ times \ left [\ left (PQ \ right) \ times {\ mathbf {R}} \ right] = {\ mathbf {0}}

\Rightarrow \mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\left(P-Q\right)-\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ mathbf {R} \ times \ mathbf {M} _ {P} + \ left (\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R} \ right) \ left (PQ \ right) - \ left [\ mathbf {R} \ cdot \ left (PQ \ right) \ right] \ mathbf {R} = \ mathbf {0}}

\ Rightarrow {\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {M}} _ {P} + \ left ({\ mathbf {R}} \ cdot {\ mathbf {R}} \ right) \ left (PQ \ dreapta) - \ left [{\ mathbf {R}} \ cdot \ left (PQ \ right) \ right] {\ mathbf {R}} = {\ mathbf {0}}

dar

\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ left [\ mathbf {R} \ cdot \ left (PQ \ right) \ right] \ mathbf {R} = \ mathbf {0}}

\ left [{\ mathbf {R}} \ cdot \ left (P-Q \ right) \ right] {\ mathbf {R}} = {\ mathbf {0}}

, și apoi

\Leftrightarrow \left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}}

{\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (QP \ right) = {\ frac {\ mathbf {R} \ times \ mathbf {M} _ {P}} {R ^ {2}}}}

\ Leftrightarrow \ left (Q-P \ right) = {\ frac {{\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {M}} _ {P}} {R ^ {2}}}

$THE$ $\neq$ $0$ {\ displaystyle I \ neq 0} $I \ neq 0$
- $I=M_{P}R\cos \theta$ ${\ displaystyle I = M_ {P} R \ cos \ theta}$ $I = M_ {P} R \ cos \ theta$ : atunci momentul $\mathbf {M} _{P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P}}$ ${\ mathbf {M}} _ {P}$ este minim când rezultatul este paralel cu momentul în sine. Intr-adevar:

\Rightarrow M_{P}={\frac {I}{R\cos \theta }}={\frac {1}{R}}{\frac {\left|I\right|}{\left|\cos \theta \right|}}

{\ displaystyle \ Rightarrow M_ {P} = {\ frac {I} {R \ cos \ theta}} = {\ frac {1} {R}} {\ frac {\ left | I \ right |} {\ left | \ cos \ theta \ right |}}}

\ Rightarrow M_ {P} = {\ frac {I} {R \ cos \ theta}} = {\ frac {1} {R}} {\ frac {\ left | I \ right |} {\ left | \ cos \ theta \ right |}}

M_{P}

{\ displaystyle M_ {P}}

M_ {P}

este minim

\Leftrightarrow \cos \theta =1\Leftrightarrow \theta _{1}=0,\theta _{2}=\pi \Leftrightarrow \mathbf {M} _{P}//\mathbf {R}

{\ displaystyle \ Leftrightarrow \ cos \ theta = 1 \ Leftrightarrow \ theta _ {1} = 0, \ theta _ {2} = \ pi \ Leftrightarrow \ mathbf {M} _ {P} // \ mathbf {R}}

\ Leftrightarrow \ cos \ theta = 1 \ Leftrightarrow \ theta _ {1} = 0, \ theta _ {2} = \ pi \ Leftrightarrow {\ mathbf {M}} _ {P} // {\ mathbf {R}}

Reductibilitatea maximă a unui sistem de vectori aplicați

Invariantul scalar indică posibilitatea reducerii numărului de componente ale unui sistem vectorial dat la o cantitate minimă a unui sistem echivalent cu acesta. Următoarele cazuri apar:

$THE$ $=$ $0$ {\ displaystyle I = 0} $I = 0$
- $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {0}, \ mathbf {M} _ {P} = \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf {R}} = {\ mathbf {0}}, {\ mathbf {M}} _ {P} = {\ mathbf {0}}$ : sistemul este echilibrat , adică echivalent cu un vector nul aplicat în orice punct
- $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {0}, \ mathbf {M} _ {P} \ neq \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf {R}} = {\ mathbf {0}}, {\ mathbf {M}} _ {P} \ neq {\ mathbf {0}}$ : sistemul este echivalent cu o pereche de moment $\mathbf {M} _{P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {P}}$ ${\ mathbf {M}} _ {P}$
- $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} \ neq \ mathbf {0}, \ mathbf {M} _ {P} = \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf {R}} \ neq {\ mathbf {0}}, {\ mathbf {M}} _ {P} = {\ mathbf {0}}$ : sistemul este echivalent cu vectorul $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ aplicat în polul P aparținând axei centrale
- $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \Rightarrow \mathbf {R} \perp \mathbf {M} _{P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} \ neq \ mathbf {0}, \ mathbf {M} _ {P} \ neq \ mathbf {0} \ Rightarrow \ mathbf {R} \ perp \ mathbf {M} _ {P} }$ ${\ mathbf {R}} \ neq {\ mathbf {0}}, {\ mathbf {M}} _ {P} \ neq {\ mathbf {0}} \ Rightarrow {\ mathbf {R}} \ perp {\ mathbf {M}} _ {P}$ : apoi există un stâlp $Q:\left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}},\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle Q: \ left (QP \ right) = {\ frac {\ mathbf {R} \ times \ mathbf {M} _ {P}} {R ^ {2}}}, \ mathbf {M} _ { Q} = \ mathbf {0}}$ $Q: \ left (QP \ right) = {\ frac {{\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {M}} _ {P}} {R ^ {2}}}, {\ mathbf {M} } _ {Q} = {\ mathbf {0}}$ . Sistemul este echivalent cu vectorul $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ aplicat în Q aparținând axei centrale
$I\neq 0$ ${\ displaystyle I \ neq 0}$ $I \ neq 0$