Ipoteza Lindelöf

În matematică, ipoteza Lindelöf este o conjectură formulată de Ernst Leonard Lindelöf în 1908 ^[1] asupra comportamentului asimptotic al funcției zeta Riemann , ζ (s), pe linia numerelor complexe cu partea reală egală cu ½. Această presupunere presupune că pentru fiecare ε > 0

\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),

{\ displaystyle \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right) = O (t ^ {\ varepsilon}),}

\ zeta \ left ({\ frac 12} + it \ right) = O (t ^ {\ varepsilon}),

pentru t care tinde spre infinit, unde O denotă simbolul lui Landau .

În prezent, ipoteza Lindelöf pare foarte departe de a fi dovedită , deși s-au făcut unele ușoare progrese în această direcție de-a lungul anilor. Cel mai cunoscut rezultat în prezent se datorează lui Huxley care a dovedit asta

\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{{\frac {32}{205}}+\varepsilon }),

{\ displaystyle \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right) = O (t ^ {{\ frac {32} {205}} + \ varepsilon}),}

\ zeta \ left ({\ frac 12} + it \ right) = O (t ^ {{{\ frac {32} {205}} + \ varepsilon}}),

pentru fiecare ε > 0. ^[2]

Legătura cu ipoteza Riemann

Ipoteza Lindelöf este strâns legată de ipoteza Riemann : de fapt în 1912 Littlewood a observat că o consecință a teoremei celor trei cercuri este că ipoteza Riemann implică ipoteza Lindelöf. Nu se știe dacă și inversul este adevărat, totuși matematicianul german Ralf Backlund a demonstrat că dacă ipoteza lui Lindelöf este adevărată, atunci, pentru fiecare T> 0 și σ> ½, numărul de zerouri ale funcției ζ (s) de mai mare partea reală a σ și partea imaginară între T și T + 1 este $o(\log T)$ ${\ displaystyle sau (\ log T)}$ $o (\ log T)$ ^[3] .

Unele consecințe

Ipoteza lui Lindelöf are multe consecințe importante, una dintre cele mai faimoase este că, dacă această presupunere ar fi adevărată atunci, denotând cu p _n al doilea număr prim, am avea că

p_{n+1}-p_{n}<p_{n}^{1/2+\epsilon }

{\ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} <p_ {n} ^ {1/2 + \ epsilon}}

p _ {{n + 1}} - p_ {n} <p_ {n} ^ {{1/2 + \ epsilon}}

pentru fiecare ε > 0 și n suficient de mare. Această implicație a fost demonstrată în 1940 de Albert Ingham .

Un alt rezultat important care poate fi dovedit a fi adevărat, dacă ipoteza lui Lindelöf este, este acela

\int _{1}^{T}\left|\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)\right|^{k}dt=O(T^{1+\varepsilon }),

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {T} \ left | \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right) \ right | ^ {k} dt = O (T ^ { 1+ \ varepsilon}),}

\ int _ {1} ^ {T} \ left | \ zeta \ left ({\ frac 12} + it \ right) \ right | ^ {k} dt = O (T ^ {{1+ \ varepsilon}}) ,

pentru fiecare ε > 0 și fiecare număr întreg k > 0 ^[4] . În acest caz, s-a dovedit și invers și, prin urmare, această condiție este echivalentă cu ipoteza Lindelöf.

Notă

^ Lindelöf, E. "Quelque remarques sur la croissance de la function ζ (s)". Taur. Știință. Matematică. 32, 341-356, 1908.
^ (EN) MN Huxley, Puncte întregi, sume exponențiale și funcția zeta Riemann, în Teoria numerelor pentru mileniu, II (Urbana, IL, 2000), AK Peters , 2002, pp. 275-190.
^ Rețineți că, dacă ipoteza Riemann este adevărată, nu ar exista un astfel de zero.
^ În prezent, acest lucru a fost dovedit doar pentru k = 1 și k = 2.

Bibliografie

( EN ) HM Edwards, Riemann's Zeta Function , Academic Press, 1974, ISBN 0-486-41740-9 .
( EN ) EC Titchmarsh, Theory of the Riemann Zeta-Function , Oxford University Press, 1987 (ediția a doua), ISBN 0-19-853369-1 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Lindelöf, E. "Quelque remarques sur la croissance de la function ζ (s)". Taur. Știință. Matematică. 32, 341-356, 1908.

[2] (EN) MN Huxley, Puncte întregi, sume exponențiale și funcția zeta Riemann, în Teoria numerelor pentru mileniu, II (Urbana, IL, 2000), AK Peters , 2002, pp. 275-190.

[3] Rețineți că, dacă ipoteza Riemann este adevărată, nu ar exista un astfel de zero.

[4] În prezent, acest lucru a fost dovedit doar pentru k = 1 și k = 2.

[1]

[2]

[3]

[4]