Mișcare browniană geometrică

Mișcarea browniană geometrică (uneori numită mișcare browniană exponențială ) este un proces stocastic în timp continuu în care logaritmul mărimii care variază în timp urmează o mișcare browniană sau, poate mai precis, un proces Wiener . Procesul este considerat adecvat pentru modelarea unor fenomene ale piețelor financiare. În special, este utilizată în contextul stabilirii prețurilor opțiunilor , deoarece o cantitate care urmează unei mișcări browniene geometrice poate presupune doar valori mai mari decât zero, ceea ce reflectă natura prețului unui activ financiar.

Descrierea formală a procesului

Un proces stocastic urmează mișcarea browniană geometrică dacă îndeplinește următoarea ecuație diferențială stocastică (SDE):

\ dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}

{\ displaystyle \ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t}}

{\ displaystyle \ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t}}

,

unde este $\ W_{t}$ ${\ displaystyle \ W_ {t}}$ $\ W _ {{t}}$ este un proces Wiener sau mișcare browniană standard, e $\ \mu$ ${\ displaystyle \ \ mu}$ $\ \ mu$ ( deriva procentuală instantanee ) e $\ \sigma$ ${\ displaystyle \ \ sigma}$ ${\ displaystyle \ \ sigma}$ ( volatilitatea procentuală instantanee ) sunt constante reale.

Ecuația are o soluție analitică sub forma:

\ S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma (W_{t}-W_{0})\right\}

{\ displaystyle \ S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left \ {\ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) t + \ sigma (W_ {t} -W_ {0}) \ right \}}

{\ displaystyle \ S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left \ {\ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) t + \ sigma (W_ {t} -W_ {0}) \ right \}}

Variabila aleatorie $\ \ln(S_{t}/S_{0})$ ${\ displaystyle \ \ ln (S_ {t} / S_ {0})}$ ${\ displaystyle \ \ ln (S_ {t} / S_ {0})}$ are distribuție normală cu valoarea așteptată $\ \left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t$ ${\ displaystyle \ \ left (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) t}$ ${\ displaystyle \ \ left (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) t}$ și varianță $\ \sigma ^{2}t$ ${\ displaystyle \ \ sigma ^ {2} t}$ ${\ displaystyle \ \ sigma ^ {2} t}$ .

Soluția SDE

Corectitudinea soluției de mai sus poate fi verificată prin aplicarea lemei lui Itō , după cum urmează. Este $\ y_{t}=\ln S_{t}$ ${\ displaystyle \ y_ {t} = \ ln S_ {t}}$ ${\ displaystyle \ y_ {t} = \ ln S_ {t}}$ ; atâta timp cât:

\ {\frac {\partial y}{\partial t}}=0;\quad {\frac {\partial y}{\partial S}}={\frac {1}{S}};\quad {\frac {\partial ^{2}y}{\partial S^{2}}}=-{\frac {1}{S^{2}}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial y} {\ partial t}} = 0; \ quad {\ frac {\ partial y} {\ partial S}} = {\ frac {1} {S}}; \ quad {\ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial S ^ {2}}} = - {\ frac {1} {S ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial y} {\ partial t}} = 0; \ quad {\ frac {\ partial y} {\ partial S}} = {\ frac {1} {S}}; \ quad {\ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial S ^ {2}}} = - {\ frac {1} {S ^ {2}}}}

aplicând lema lui Itō avem:

\ dy=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dW_{t}

{\ displaystyle \ dy = \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) dt + \ sigma dW_ {t}}

{\ displaystyle \ dy = \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) dt + \ sigma dW_ {t}}

Prin integrarea ambilor membri ai relației de mai sus, obținem:

\ \int _{0}^{t}dy=y_{t}-y_{0}=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\int _{0}^{t}d\tau +\sigma \int _{0}^{t}dW_{\tau }=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma (W_{t}-W_{0})

{\ displaystyle \ \ int _ {0} ^ {t} dy = y_ {t} -y_ {0} = \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right ) \ int _ {0} ^ {t} d \ tau + \ sigma \ int _ {0} ^ {t} dW _ {\ tau} = \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) t + \ sigma (W_ {t} -W_ {0})}

{\ displaystyle \ \ int _ {0} ^ {t} dy = y_ {t} -y_ {0} = \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right ) \ int _ {0} ^ {t} d \ tau + \ sigma \ int _ {0} ^ {t} dW _ {\ tau} = \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) t + \ sigma (W_ {t} -W_ {0})}

Prin înlocuire $\ y_{t}=\ln S_{t}$ ${\ displaystyle \ y_ {t} = \ ln S_ {t}}$ ${\ displaystyle \ y_ {t} = \ ln S_ {t}}$ iar prin rezolvarea se caută soluția.

Bibliografie

T. Mikosch, Elementary Stochastic Calculus with Finance in View , World Scientific Publications, Singapore, 1998, ISBN 9810235437 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Mișcarea Browniană Geometrică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică