Numărul Beth

În matematică și mai precis în teoria mulțimilor , $\beth$ ${\ displaystyle \ beth}$ $\ beth$ („ beth ”), a doua literă a alfabetului ebraic , este folosită pentru a indica o anumită succesiune de numere cardinale . ^[1]

Secvența este parametrizată pe numere ordinale și definită prin inducție transfinită după cum urmează:

${\begin{cases}\beth _{0}=\aleph _{0}\\\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}\\\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\gamma }\mid \gamma \in \lambda \}\qquad con\quad \lambda \quad limite\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ beth _ {0} = \ aleph _ {0} \\\ beth _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha}} \\\ beth _ {\ lambda} = \ sup \ {\ beth _ {\ gamma} \ mid \ gamma \ in \ lambda \} \ qquad cu \ quad \ lambda \ quad limit \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ beth _ {0} = \ aleph _ {0} \\\ beth _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha}} \\\ beth _ {\ lambda} = \ sup \ {\ beth _ {\ gamma} \ mid \ gamma \ in \ lambda \} \ qquad cu \ quad \ lambda \ quad limit \ end {cases}}}$

Numerele beth și numerele aleph

Pentru regulile de aritmetică a cardinalilor, dat un cardinal $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ avem asta $2^{k}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k}}$ $2 ^ {k}$ este cardinalitatea setului de funcții din $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ în $\{0,1\}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$ $\ {0,1 \}$ , care nu este altul decât cardinalitatea lui ${\mathcal {P}}(k)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (k)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (k)}$ , ansamblul părților din $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

În lumina acestei observații, a doua „piesă” din definiția secvenței poate fi rescrisă ca:

$\beth _{\alpha +1}=\left|{\mathcal {P}}(\beth _{\alpha })\right|$ ${\ displaystyle \ beth _ {\ alpha +1} = \ left | {\ mathcal {P}} (\ beth _ {\ alpha}) \ right |}$ ${\ displaystyle \ beth _ {\ alpha +1} = \ left | {\ mathcal {P}} (\ beth _ {\ alpha}) \ right |}$

În acest moment, observăm că primele elemente ale succesiunii sunt cardinalii cei mai utilizați în matematică:

$\beth _{0}$ ${\ displaystyle \ beth _ {0}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {0}}$ este cardinalitatea numărabilului
$\beth _{1}$ ${\ displaystyle \ beth _ {1}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {1}}$ este cardinalitatea continuumului , adică a $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$
$\beth _{2}$ ${\ displaystyle \ beth _ {2}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {2}}$ este cardinalitatea lui ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R})}$ , adică „numărul” de seturi de numere reale

Întrebarea apare spontan "Sunt toți cardinalii parte a acestei succesiuni?"

Cu alte cuvinte: succesiunea numerelor $\beth$ ${\ displaystyle \ beth}$ $\ beth$ coincide cu cea a numerelor $\aleph$ ${\ displaystyle \ aleph}$ $\ aleph$ ?

Acea $\beth _{0}$ ${\ displaystyle \ beth _ {0}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {0}}$ coincide cu $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ , este adevărat prin definiție. Mergând în ordine, primul caz non-banal este deci $\beth _{1}$ ${\ displaystyle \ beth _ {1}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {1}}$ , a cărui echivalență cu $\aleph _{1}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ cu toate acestea, nu este alta decât ipoteza continuumului , care se dovedește a fi indecidabilă dacă ne bazăm pe axiomele standard ale matematicii.

În general, echivalența $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} = \ aleph _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} = \ aleph _ {\ alpha}}$ este așa-numita ipoteză generalizată a continuumului și este evident nedecidabilă, având în vedere că un caz particular al acestuia este.

Notă

^ În italiană, numele literei este bet , dar în matematică se obișnuiește să scrie beth , ca în literatura anglofonă și germanică, similar cu ceea ce se întâmplă pentru numerele aleph .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] În italiană, numele literei este bet , dar în matematică se obișnuiește să scrie beth , ca în literatura anglofonă și germanică, similar cu ceea ce se întâmplă pentru numerele aleph .

[1]