Ierarhia Von Neumann

În teoria mulțimilor , folosim termenul de ierarhie Von Neumann pentru a indica o anumită succesiune parametrizată cu numere ordinale și este definită prin recursivitate după cum urmează:

${\begin{cases}V_{0}=\emptyset \\V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })\\V_{\lambda }=\bigcup _{\gamma \in \lambda }V_{\gamma }\qquad {\text{con }}\lambda {\text{ limite}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} V_ {0} = \ emptyset \\ V _ {\ alpha +1} = {\ mathcal {P}} (V _ {\ alpha}) \\ V _ {\ lambda} = \ bigcup _ {\ gamma \ in \ lambda} V _ {\ gamma} \ qquad {\ text {cu}} \ lambda {\ text {limit}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} V_ {0} = \ emptyset \\ V _ {\ alpha +1} = {\ mathcal {P}} (V _ {\ alpha}) \\ V _ {\ lambda} = \ bigcup _ {\ gamma \ in \ lambda} V _ {\ gamma} \ qquad {\ text {cu}} \ lambda {\ text {limit}} \ end {cases}}}$

(Cu ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal {P}} (A)$ se înseamnă ansamblul părților din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ).

Observăm că în timp ce ni se dă orice ordinal $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ avem asta $V_{\alpha }$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ este un întreg, uniunea

$VN=\bigcup _{\alpha {\text{ ordinale}}}V_{\alpha }$ ${\ displaystyle VN = \ bigcup _ {\ alpha {\ text {ordinal}}} V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle VN = \ bigcup _ {\ alpha {\ text {ordinal}}} V _ {\ alpha}}$

nu este un set, ci o clasă proprie, de fapt există în mod clar o funcție de clasă $F:ORD\rightarrow VN$ ${\ displaystyle F: ORD \ rightarrow VN}$ ${\ displaystyle F: ORD \ rightarrow VN}$ injectat dar ca. $SAU R. D.$ ${\ displaystyle ORD}$ $ORD$ este o clasă adecvată, atunci imaginea injectivă a unei clase adecvate este o clasă adecvată.

Proprietate

Următoarele fapte sunt valabile:

$x\in y\in V_{\alpha }\Rightarrow \quad \exists \quad \beta \in \alpha {\text{ tale che }}x\in V_{\beta }$ ${\ displaystyle x \ in y \ in V _ {\ alpha} \ Rightarrow \ quad \ există \ quad \ beta \ in \ alpha {\ text {astfel încât}} x \ in V _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle x \ in y \ in V _ {\ alpha} \ Rightarrow \ quad \ există \ quad \ beta \ in \ alpha {\ text {astfel încât}} x \ in V _ {\ beta}}$
$\beta \leq \alpha \Rightarrow V_{\beta }\subseteq V_{\alpha }$ ${\ displaystyle \ beta \ leq \ alpha \ Rightarrow V _ {\ beta} \ subseteq V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ beta \ leq \ alpha \ Rightarrow V _ {\ beta} \ subseteq V _ {\ alpha}}$
$\alpha \subseteq V_{\alpha }{\text{ ma }}\alpha \notin V_{\alpha }$ ${\ displaystyle \ alpha \ subseteq V _ {\ alpha} {\ text {ma}} \ alpha \ notin V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ subseteq V _ {\ alpha} {\ text {ma}} \ alpha \ notin V _ {\ alpha}}$

Ierarhia Von Neumann și axioma fundamentală

Ierarhia lui Von Neumann își asumă un interes special dacă se ia în considerare axioma fundației , de fapt următoarele fapte sunt dovedite în ZFC \ (Foundation Axiom):

${\text{Assioma di Fondazione}}\Leftrightarrow VN=V$ ${\ displaystyle {\ text {Foundation Axiom}} \ Leftrightarrow VN = V}$ ${\ displaystyle {\ text {Foundation Axiom}} \ Leftrightarrow VN = V}$

Reprezentarea grafică a ierarhiei lui Von Neumann: rețineți că unirea întregii ierarhii arată ca un „V”.

Cu alte cuvinte, dacă se consideră că axioma fundației este adevărată, se obține $VN=V$ ${\ displaystyle VN = V}$ ${\ displaystyle VN = V}$ (amintiți-vă că cu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ denotăm clasa adecvată a tuturor seturilor.

Este interesant de observat că alegerea scrisorii $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pentru a desemna această clasă și, prin urmare, și pentru a indica diferitele seturi ale ierarhiei, aceasta derivă din reprezentarea grafică din lateral.

Această reprezentare ne permite, de asemenea, să subliniem relația strânsă dintre ierarhia Von Neumann și conceptele de seturi și clase în sine : presupunând de fapt să desenăm unele colecții de obiecte pe grafic, mulțimile vor fi întotdeauna limitate de un element al ierarhiei, clasele vor fi toate și doar colecțiile care „străpung” întreaga ierarhie în sus.

Ierarhia Von Neumann și numărul beth

Fie α ordinal, atunci:

$|V_{\alpha }|={\begin{cases}^{\alpha }2=\underbrace {2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot }}}}} _{\alpha \ volte}\qquad \quad se\quad \alpha \in \omega \\\beth _{\alpha -\omega }\qquad \qquad \quad se\quad \omega \leqslant \alpha \quad \land \quad \alpha \in \omega ^{2}\\\beth _{\alpha }\qquad \qquad \qquad se\quad \alpha \geqslant \omega ^{2}\end{cases}}$ ${\ displaystyle | V _ {\ alpha} | = {\ begin {cases} ^ {\ alpha} 2 = \ underbrace {2 ^ {2 ^ {2 ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} { \ alpha \ times} \ qquad \ quad if \ quad \ alpha \ in \ omega \\\ beth _ {\ alpha - \ omega} \ qquad \ qquad \ quad if \ quad \ omega \ leqslant \ alpha \ quad \ land \ quad \ alpha \ in \ omega ^ {2} \\\ beth _ {\ alpha} \ qquad \ qquad \ qquad se \ quad \ alpha \ geqslant \ omega ^ {2} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle | V _ {\ alpha} | = {\ begin {cases} ^ {\ alpha} 2 = \ underbrace {2 ^ {2 ^ {2 ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} { \ alpha \ times} \ qquad \ quad if \ quad \ alpha \ in \ omega \\\ beth _ {\ alpha - \ omega} \ qquad \ qquad \ quad if \ quad \ omega \ leqslant \ alpha \ quad \ land \ quad \ alpha \ in \ omega ^ {2} \\\ beth _ {\ alpha} \ qquad \ qquad \ qquad se \ quad \ alpha \ geqslant \ omega ^ {2} \ end {cases}}}$

cu $^{\alpha }2$ ${\ displaystyle ^ {\ alpha} 2}$ ${\ displaystyle ^ {\ alpha} 2}$ tetracția de 2 e $\beth _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ beth _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {\ alpha}}$ numărul beth asociat cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .

Modele ZF

Orice element al ierarhiei lui Von Neumann, așa cum este definit, respectă majoritatea axiomelor teoriei mulțimilor Zermelo - Fraenkel . De exemplu, va fi închis prin uniune , va conține setul gol (cu excepția $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ ) ...

Prin urmare, s-ar putea spera să găsim unul sau mai multe elemente ale ierarhiei care sunt modele ale ZF, adică să facă adevărate toate axiomele. Este interesant să examinăm câteva cazuri particulare:

$V_{\omega }$ ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$ nu respectă axioma infinitului ; de fapt, deși $V_{\omega }$ ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$ în sine este infinit, toate elementele sale sunt finite. Se arată cu ușurință că $V_{\omega }$ ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$ respectă toate celelalte axiome: $V_{\omega }\vDash ZF\setminus \{{\text{AI}}\}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega} \ vDash ZF \ setminus \ {{\ text {AI}} \}}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega} \ vDash ZF \ setminus \ {{\ text {AI}} \}}$ .
dat oricărui ordinal succesor $\alpha =\beta +1$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta +1}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta +1}$ , $V_{\alpha }$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ nu va respecta, printre altele, axioma cuplului : într-adevăr $V_{\alpha }$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ va conține $V_{\beta }$ ${\ displaystyle V _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle V _ {\ beta}}$ dar nu singletul $\{V_{\beta }\}$ ${\ displaystyle \ {V _ {\ beta} \}}$ ${\ displaystyle \ {V _ {\ beta} \}}$ , care nu este altul decât cuplul $\{V_{\beta },V_{\beta }\}$ ${\ displaystyle \ {V _ {\ beta}, V _ {\ beta} \}}$ ${\ displaystyle \ {V _ {\ beta}, V _ {\ beta} \}}$
$V_{\omega +\omega }$ ${\ displaystyle V _ {\ omega + \ omega}}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega + \ omega}}$ respectă axioma infinitului (conține $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ ) și axioma cuplului (într-adevăr $\omega +\omega$ ${\ displaystyle \ omega + \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega + \ omega}$ este un ordinal limită, cel mai mic după $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ ), dar nu și axioma de înlocuire ; de fapt putem defini pe fiecare $n\in \omega$ ${\ displaystyle n \ in \ omega}$ ${\ displaystyle n \ in \ omega}$ functia:

f(n)=\omega +n

{\ displaystyle f (n) = \ omega + n}

{\ displaystyle f (n) = \ omega + n}

Deși funcția este bine definită

\forall n\in \omega

{\ displaystyle \ forall n \ in \ omega}

{\ displaystyle \ forall n \ in \ omega}

, imaginea lui

\omega

{\ displaystyle \ omega}

\omega

prin această funcție ar fi

\{\omega +1,\omega +2,\omega +3,\omega +4\dots \}=\omega +\omega

{\ displaystyle \ {\ omega +1, \ omega +2, \ omega +3, \ omega +4 \ dots \} = \ omega + \ omega}

{\ displaystyle \ {\ omega +1, \ omega +2, \ omega +3, \ omega +4 \ dots \} = \ omega + \ omega}

, care nu este un element al

V_{\omega +\omega }

{\ displaystyle V _ {\ omega + \ omega}}

{\ displaystyle V _ {\ omega + \ omega}}

(deși este un subset al acestuia).

În cele din urmă, se arată că un cardinal inaccesibil (mai mare decât $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ ) este astfel încât $V_{\alpha }$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$ este un model pentru ZF; faptul că existența lor este indecidabilă în interiorul ZF este în concordanță cu a doua teoremă de incompletitudine a lui Gödel , care afirmă că o teorie suficient de puternică nu își poate dovedi propria consistență și, prin urmare, un model pentru ZF nu poate fi găsit în ZF în sine.

Bibliografie

FR Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic & the Foundations of Mathematics - Vol 76), 1974.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică