Numărul Pisot-Vijayaraghavan

În matematică , numărul Pisot-Vijayaraghavan (numit și numărul Pisot sau numărul PV ) indică un număr întreg algebric α care este real și mai mare decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , dar astfel încât elementele sale conjugate să fie mai mici decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în valoare absolută .

Dacă de exemplu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este un irațional pătratic , are un singur conjugat $\alpha '$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ $\ alfa '$ , obținut prin schimbarea semnului rădăcinii pătrate în $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ din

\alpha =a+b{\sqrt {d}}

{\ displaystyle \ alpha = a + b {\ sqrt {d}}}

{\ displaystyle \ alpha = a + b {\ sqrt {d}}}

cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ambele numere întregi sau ambele jumătate dintr-un număr impar, se obține conjugatul

\alpha '=a-b{\sqrt {d}}.

{\ displaystyle \ alpha '= ab {\ sqrt {d}}.}

{\ displaystyle \ alpha '= a-b {\ sqrt {d}}.}

În acest caz, cele două condiții sunt îndeplinite

\alpha >1,

{\ displaystyle \ alpha> 1,}

{\ displaystyle \ alpha> 1,}

-1<\alpha '<1,

{\ displaystyle -1 <\ alpha '<1,}

{\ displaystyle -1 <\ alpha '<1,}

care sunt mulțumiți de numărul de aur $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Avem într-adevăr

\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}>1,

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}> 1,}

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}> 1,}

\phi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\phi }}.

{\ displaystyle \ phi '= {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} = {\ frac {-1} {\ phi}}.}

{\ displaystyle \ phi '= {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} = {\ frac {-1} {\ phi}}.}

În cazul în care conjugatele nu sunt mai mari decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , iar una dintre ele are valoarea absolută exact $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , numărul se numește numărul Salem .

Caracteristicile generale pentru numerele Pisot au fost studiate inițial de GH Hardy în raport cu o problemă de aproximare diofantină . Munca sa a fost continuată de Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 noiembrie 1902 - 20 aprilie 1955 ), un matematician indian din regiunea Madras care s-a mutat la mijlocul anilor 1920 pentru a lucra cu Hardy. Aceleași condiții apar și în unele probleme din seria Fourier și au fost studiate de Charles Pisot . Numele utilizat în mod obișnuit pentru a face referire la aceste numere provine de la ambii autori.

Numerele Pisot-Vijayaraghavan pot fi utilizate pentru a genera cvasi-numere întregi : puterea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -sima unui număr de Pisot „abordează un număr întreg” la tendința de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ catre infinit. De exemplu, ia în considerare puterile lui $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ : avem $\phi ^{21}=24476,0000409$ ${\ displaystyle \ phi ^ {21} = 24476,0000409}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {21} = 24476,0000409}$ , iar efectul poate fi și mai pronunțat pentru numerele Pisot-Vijayaraghavan generate de ecuații de grad superior.

Această proprietate derivă din faptul că pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ suma puterilor n-sime ale unui întreg algebric $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar conjugatele sale sunt un număr întreg. De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un număr Pisot, puterile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -sime al celorlalți conjugați tind să $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care tinde spre infinit.

Cel mai mic număr Pisot-Vijayaraghavan este adevărata rădăcină a ecuației $x^{3}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {3} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {3} -x-1}$ : acest număr (aproximativ 1.324718) este cunoscut și ca număr plastic . „Numărul de argint” este în schimb soluția pozitivă a ecuației de gradul doi

x^{2}-2x-1=0,

{\ displaystyle x ^ {2} -2x-1 = 0,}

{\ displaystyle x ^ {2} -2x-1 = 0,}

egal cu numărul irațional algebric $1+{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$ ^[1] .

Există infinite numere Pisot-Vijayaraghavan: punctul minim de acumulare este raportul auriu $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618033$ ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 1.618033}$ ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 1.618033}$ .

Tabelul numerelor Pisot

Iată cele 38 de numere Pisot mai mici de 1.618, în ordine crescătoare.

#	Valoare	Rădăcina ...
1	1.3247179572447460260	$x^{3}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {3} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {3} -x-1}$
2	1.3802775690976141157	$x^{4}-x^{3}-1$ ${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -1}$
3	1.4432687912703731076	$x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x ^ {2} -1}$
4	1.4655712318767680267	$x^{3}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -1}$
5	1.5015948035390873664	$x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} + x ^ {2} -1}$
6	1.5341577449142669154	$x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
7	1.5452156497327552432	$x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} + x ^ {2} -1}$
8	1.5617520677202972947	$x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1$ ${\ displaystyle x ^ {6} -2x ^ {5} + x ^ {4} -x ^ {2} + x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {6} -2x ^ {5} + x ^ {4} -x ^ {2} + x-1}$
9	1.5701473121960543629	$x^{5}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
10	1.5736789683935169887	$x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} + x ^ {2} -1}$
11	1.5900053739013639252	$x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
12	1.5911843056671025063	$x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} + x ^ {2} -1}$
13	1.6013473337876367242	$x^{7}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
14	1.6017558616969832557	$x^{10}-x^{9}-x^{8}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} + x ^ {2} -1}$
15	1.6079827279282011499	$x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
16	1.6081283851873869594	$x^{11}-x^{10}-x^{9}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} + x ^ {2} -1}$
17	1.6119303965641198198	$x^{9}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
18	1.6119834212464921559	$x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} + x ^ {2} -1}$
19	1.6143068232571485146	$x^{11}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {11} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {11} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
20	1.6143264149391271041	$x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} + x ^ {2} -1}$
21	1.6157492027552106107	$x^{11}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
22	1.6157565175408433755	$x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {14} -x ^ {13} -x ^ {12} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {14} -x ^ {13} -x ^ {12} + x ^ {2} -1}$
23	1.6166296843945727036	$x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {13} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {13} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
24	1.6166324353879050082	$x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {13} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {13} + x ^ {2} -1}$
25	1.6171692963550925635	$x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
26	1.6171703361720168476	$x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {16} -x ^ {15} -x ^ {14} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {16} -x ^ {15} -x ^ {14} + x ^ {2} -1}$
27	1.6175009054313240144	$x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {15} -x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {15} -x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
28	1.6175012998129095573	$x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {17} -x ^ {16} -x ^ {15} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {17} -x ^ {16} -x ^ {15} + x ^ {2} -1}$
29	1.6177050699575566445	$x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
30	1.6177052198884550971	$x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {18} -x ^ {17} -x ^ {16} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {18} -x ^ {17} -x ^ {16} + x ^ {2} -1}$
31	1.6178309287889738637	$x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {17} -x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {17} -x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
32	1.6178309858778122988	$x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {19} -x ^ {18} -x ^ {17} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {19} -x ^ {18} -x ^ {17} + x ^ {2} -1}$
33	1.6179085817671650120	$x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {17} -x ^ {16} -x ^ {14} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {17} -x ^ {16} -x ^ {14} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
34	1.6179086035278053858	$x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {20} -x ^ {19} -x ^ {18} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {20} -x ^ {19} -x ^ {18} + x ^ {2} -1}$
35	1.6179565199535642392	$x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ ${\ displaystyle x ^ {19} -x ^ {17} -x ^ {16} -x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ ${\ displaystyle x ^ {19} -x ^ {17} -x ^ {16} -x ^ {15} -x ^ {14} -x ^ {13} -x ^ {12} -x ^ {11} -x ^ {10} -x ^ {9} -x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
36	1.6179565282539765702	$x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {21} -x ^ {20} -x ^ {19} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {21} -x ^ {20} -x ^ {19} + x ^ {2} -1}$
37	1.6179861253852491516	$x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {19} -x ^ {18} -x ^ {16} -x ^ {14} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {19} -x ^ {18} -x ^ {16} -x ^ {14} -x ^ {12} -x ^ {10} -x ^ {8} -x ^ {6} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
38	1.6179861285528618287	$x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {22} -x ^ {21} -x ^ {20} + x ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {22} -x ^ {21} -x ^ {20} + x ^ {2} -1}$