Număr fericit

Un număr fericit este definit de următorul proces: începând cu orice număr întreg pozitiv , înlocuiți numărul cu suma pătratelor cifrelor sale și repetați procesul până când obțineți 1 (unde iterațiile ulterioare vor duce întotdeauna la 1) sau introduceți un ciclu care nu include niciodată 1. Numerele pentru care acest proces dă 1 sunt numere fericite , în timp ce cele care nu dau niciodată 1 sunt numere nefericite . Numerele fericite sunt infinite; este de fapt evident că, de exemplu, toate puterile a 10 sunt numere fericite. Numerele fericite nu au o densitate asimptotică definită; aceasta înseamnă că pe măsură ce n crește, procentul numerelor fericite de la 1 la n nu tinde spre o valoare constantă, dar continuă să fluctueze într-un interval de valori. Densitatea inferioară este mai mică de 12%, iar cea superioară mai mare de 18% ^[1]

Definiție formală

Având un număr $n=n_{0}$ ${\ displaystyle n = n_ {0}}$ $n = n_ {0}$ , definiți o secvență $n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ , $n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ , ... unde este $n_{i+1}$ ${\ displaystyle n_ {i + 1}}$ $n _ {{i + 1}}$ este suma pătratelor cifrelor lui $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ . Atunci $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este fericit dacă și numai dacă această secvență duce la 1.

Dacă un număr este fericit, atunci toate numerele din secvența sa sunt fericite; dacă un număr este nefericit, toate numerele din secvența sa sunt nefericite.

De exemplu, 7 este fericit, iar secvența asociată este:

7 ² = 49

4 ² + 9 ² = 97

9 ² + 7 ² = 130

1 ² + 3 ² + 0 ² = 10

1 ² + 0 ² = 1.

Numerele fericite mai mici sunt

1 , 7 , 10 , 13 , 19 , 23 , 28 , 31 , 32 , 44 , 49 , 68 , 70 , 79 , 82 , 86 , 91 , 94 , 97 , 100 , 103 , 109 , 129 , 130 , 133 , 139 , 167 , 176 , 188 , 190 , 192 , 193 , 203 , 208 , 219 , 226 , 230 , 236 , 239 , 262 , 263 , 280 , 291 , 293 , 301 , 302 , 310 , 313 , 319 , 320 , 326 , 329 , 331 , 338 , 356 , 362 , 365 , 367 , 368 , 376 , 379 , 383 , 386 , 391 , 392 , 397 , 404 , 409 , 440 , 446 , 464 , 469 , 478 , 487 , 490 , 496 . ^[2]

Comportamentul secvenței

De sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ el nu este fericit, deci secvența lui nu se termină cu 1. Ceea ce se întâmplă este că secvența intră în buclă

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pentru a înțelege acest fapt, rețineți mai întâi că dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ cifre, atunci suma pătratelor cifrelor sale este cel mult $81m$ ${\ displaystyle 81m}$ $81m$ . Din $m=4$ ${\ displaystyle m = 4}$ $m = 4$ pe,

n\geq 10^{m-1}>81m

{\ displaystyle n \ geq 10 ^ {m-1}> 81m}

n \ geq 10 ^ {{m-1}}> 81m

prin urmare, orice număr mai mare de 1.000 devine din ce în ce mai mic în timpul procesului. Odată ajuns sub numărul 1.000, numărul pentru care suma pătratelor cifrelor sale este mai mare este 999, iar rezultatul este de 3 ori 81 sau 243.

În intervalul de la 100 la 243, numărul 199 produce următoarea valoare cea mai mare, 163.
În intervalul de la 100 la 163, numărul 159 produce următoarea cea mai mare valoare, 107.
În intervalul de la 100 la 107, numărul 107 produce următoarea valoare cea mai mare, 50.

Privind mai atent la intervalele [244.999], [164.243], [108.163] și [100.107], observăm că orice număr mai mare de 99 devine strict mai mic în timpul acestui proces. Deci, indiferent cu ce număr începeți, obțineți întotdeauna un număr mai mic de 100. Cercetări ample au arătat că fiecare număr din intervalul [1.99] este fie fericit, fie intră în ciclul de mai sus.

Fericit mai întâi

Un prim fericit este un număr fericit care este, de asemenea, prim . Primii mici sunt fericiți

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 ^[3]

Rețineți că toate numerele prime din formă $10^{n}+3$ ${\ displaystyle 10 ^ {n} +3}$ $10 ^ {n} +3$ Și $10^{n}+9$ ${\ displaystyle 10 ^ {n} +9}$ $10 ^ {n} +9$ sunt fericiți.

În iunie 2007 , cel mai mare prim fericit cunoscut (care este și al doisprezecelea cel mai mare prim cunoscut) este 4847 × 2 ^3321063 + 1. Extinderea sa zecimală are 999.744 cifre. Acest număr a fost descoperit în 2005 de Richard Hassler ca parte a proiectului de calcul distribuit Seventeen sau Bust ^[4] , în timp ce Jens K. Andersen l-a identificat ca fiind cel mai mare prim fericit cunoscut în iunie 2007.

Numere fericite în alte baze

Definiția unui număr fericit depinde de reprezentarea zecimală (adică baza 10) a numerelor. Definiția poate fi extinsă și la alte baze .

Pentru a reprezenta numerele în alte baze, un indiciu este utilizat în dreapta numărului pentru a indica baza. De exemplu, $100_{2}$ ${\ displaystyle 100_ {2}}$ $100_ {2}$ reprezintă numărul 4 și

123_{5}=1\cdot 5^{2}+2\cdot 5+3=38

{\ displaystyle 123_ {5} = 1 \ cdot 5 ^ {2} +2 \ cdot 5 + 3 = 38}

123_ {5} = 1 \ cdot 5 ^ {2} +2 \ cdot 5 + 3 = 38

.

Prin urmare, este ușor să deducem că există numere fericite pentru orice bază. Cu titlu de exemplu, numerele

1_{b},10_{b},100_{b},1000_{b},...

{\ displaystyle 1_ {b}, 10_ {b}, 100_ {b}, 1000_ {b}, ...}

1_ {b}, 10_ {b}, 100_ {b}, 1000_ {b}, ...

toți sunt fericiți, pentru orice bază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Cu un raționament similar celui ilustrat doar pentru numerele zecimale fericite, se poate arăta că numerele nefericite în bază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ conduc la cicluri de numere mai mici decât $1000_{b}$ ${\ displaystyle 1000_ {b}}$ $1000_ {b}$ . Puteți profita de faptul că dacă $n<1000_{b}$ ${\ displaystyle n <1000_ {b}}$ $n <1000_ {b}$ , apoi suma pătratelor cifrelor din bază- $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este mai mic sau egal cu

3(b-1)^{2}

{\ displaystyle 3 (b-1) ^ {2}}

3 (b-1) ^ {2}

care se poate dovedi a fi mai mică de $b^{3}$ ${\ displaystyle b ^ {3}}$ $b ^ {3}$ . Aceasta arată că odată ce secvența a atins un număr mai mic decât $1000_{b}$ ${\ displaystyle 1000_ {b}}$ $1000_ {b}$ , rămâne dedesubt $1000_{b}$ ${\ displaystyle 1000_ {b}}$ $1000_ {b}$ , și, prin urmare, fie intră în ciclu, fie ajunge la 1.

În baza 2, toate numerele sunt fericite. Toate numerele binare mai mari de 1000 _{2 se} reduc la valori egale sau mai mici de 1000 ₂ și toate aceste numere sunt fericite: Cele patru secvențe afișate conțin toate numerele mai mici decât $1000_{2}$ ${\ displaystyle 1000_ {2}}$ $1000_ {2}$ :

111_{2}\rightarrow 11_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1

{\ displaystyle 111_ {2} \ rightarrow 11_ {2} \ rightarrow 10_ {2} \ rightarrow 1}

111_ {2} \ rightarrow 11_ {2} \ rightarrow 10_ {2} \ rightarrow 1

110_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1

{\ displaystyle 110_ {2} \ rightarrow 10_ {2} \ rightarrow 1}

110_ {2} \ rightarrow 10_ {2} \ rightarrow 1

101_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1

{\ displaystyle 101_ {2} \ rightarrow 10_ {2} \ rightarrow 1}

101_ {2} \ rightarrow 10_ {2} \ rightarrow 1

100_{2}\rightarrow 1

{\ displaystyle 100_ {2} \ rightarrow 1}

100_ {2} \ rightarrow 1

Deoarece toate secvențele se termină cu valoarea 1, concluzionăm că toate numerele de bază 2 sunt fericite. Acest lucru face din baza 2 o bază fericită .

Singurele baze fericite cunoscute sunt 2 și 4, deși pot exista altele.

Notă

^ Justin Gilmer, Despre densitatea numerelor fericite , în Numere întregi , vol. 13, n. 2, 2011.
^ (EN) secvența A007770 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A035497 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ primes.utm.com , primegrid

Bibliografie

(EN) Walter Schneider, Mathews: Happy Numbers .
(EN) Eric W. Weisstein, Happy Number în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Happy Numbers la The Math Forum

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Justin Gilmer, Despre densitatea numerelor fericite , în Numere întregi , vol. 13, n. 2, 2011.

[2] (EN) secvența A007770 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[3] (EN) secvența A035497 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[4] rimes.utm.com , primegrid

[1]

[2]

[3]

[4]