Mișcare armonică parametrică

Mișcarea armonică parametrică este mișcarea descrisă de un oscilator parametric, o mișcare armonică amortizată care este excitată parametric: adică ai cărei parametri, adică frecvențe, oscilează la rândul lor în timp cu aceeași perioadă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ (întotdeauna nu depinde de starea oscilatorului).

Trebuie să fie clar de la început că amplificarea parametrică a excitației diferă de forțare , chiar și în efectele de rezonanță .

Ecuația sa de mișcare va fi în continuare liniară în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

{\ddot {x}}+\omega _{S}(t){\dot {x}}+\omega _{N}(t)^{2}x=0.

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {S} (t) {\ dot {x}} + \ omega _ {N} (t) ^ {2} x = 0.}

{\ ddot x} + \ omega _ {S} (t) {\ dot x} + \ omega _ {N} (t) ^ {2} x = 0.

De asemenea, putem spune de la început că analiza lui Floquet arată că, dacă parametrii unei ecuații diferențiale de ordinul doi variază periodic, soluțiile trebuie să varieze sinusoidal sau exponențial.

Un oscilator parametric mecanic simplu provine dintr-un pendul simplu excitat, așa cum, de exemplu, intuitiv face un copil pe un leagăn : schimbarea periodică a centrului de masă (dar oscilația pe leagăn nu este menținută și / sau amplificată prin deplasarea masei centrale : este în schimb o consecință a conservării impulsului unghiular ) determină în cele din urmă extinderea unei oscilații anterioare a sistemului (care poate fi obținută de exemplu, cu o forță) prin schimbarea momentului său de inerție, deci a frecvenței de rezonanță. Făcând acest lucru pornind de la starea de liniște, totuși, nu ajung nicăieri. ^[1] ^[2]

Ele sunt utilizate în ingineria electrică ca amplificatoare, numite paramps , exploatând , de asemenea, forțarea, ca și în mixere , interferând constructiv cu un semnal local puternic de la un alt oscilator de acționare . Un oscilator parametric simplu aici este un circuit LC, de exemplu, cu un condensator variabil sinusoidal, în timp ce unul real este întotdeauna amortizat de o anumită rezistență electrică ( circuit RLC ), motiv practic pentru care nu ne vom ocupa de mișcarea parametrică simplă. Mecanismul este după cum urmează: un condensator este încărcat mai întâi până când tensiunea sa este egală cu cea a unui semnal de intrare slab, apoi capacitatea sa C este redusă, indiferent dacă este vorba de plăci paralele prin simpla deplasare a acestora sau pentru o diodă varicap mai comună prin aplicarea unei variabile DC tensiune la acesta.în timp cu un alt oscilator „pompă”. Conform definiției capacității, atunci tensiunea pe condensator va crește, iar semnalul de ieșire rezultat va conține frecvențe care sunt sume sau diferențe ale semnalelor de intrare (f1) și semnalului pompat (f2): (f1 + f2) și ( f1 - f2). Prin urmare, un paramp are nevoie de următoarele conexiuni: una pentru „comun” sau „ masă ”, una pentru alimentarea pompei, una pentru extragerea ieșirii și poate o a patra pentru polarizarea acesteia. Un amplificator parametric are nevoie apoi de un al cincilea port pentru a fi amplificat intrarea semnalului. Deoarece un varicap are doar două conexiuni, acesta poate face parte doar dintr-un circuit LC cu patru vectori proprii cu nodurile de pe conexiuni. Acest lucru poate fi implementat ca un convertor curent-tensiune , un tub de undă călător sau prin intermediul unui circulator . În cele din urmă, în electronica cu microunde există un oscilator bazat pe ghid de undă / YAG .

Ele au fost, de asemenea, dezvoltate ca amplificatoare optice cu zgomot redus , în special în gama de frecvență a microundelor și a undelor radio . Zgomotul termic este minimizat, deoarece o reactanță non-rezistivă variază. O altă utilizare obișnuită este conversia de frecvență, de exemplu de la frecvențe audio la radio sau pentru a converti o undă optică laser în unde de frecvență mai mică.

Istorie

Faraday în 1831 a fost primul care a observat fenomenul, în câmpul mecanic văzând oscilații ale unei frecvențe excitate de efectul forțelor cu frecvență dublă, în valurile unui pahar de vin încântat să „joace”. ^[3] Melde în 1859 a generat oscilații parametrice acustice într-un șir prin utilizarea unui diapazon pentru a varia periodic tensiunea la dublul frecvenței de rezonanță a șirului. ^[4] Au fost în cele din urmă tratate mai întâi ca un fenomen general de John William Strutt Rayleigh în anii 1883 - 1887 , ale căror foi sunt încă aproape lizibile astăzi. ^[5] ^[6] ^[7]

Amplificatoarele parametrice electronice (paramps) au început să fie utilizate în anii 1913 - 1915 pentru telefonia radio de la Berlin la Viena și Moscova și au fost crezute în 1916 de Ernst Alexanderson că vor avea un anumit viitor. ^[8] Parampurile timpurii au variat inductanțele , dar de atunci au fost dezvoltate alte metode, de exemplu, diode varicap , tuburi de clistron , joncțiuni Josephson și metode optice menționate mai sus. Parampurile au fost utilizate în mod obișnuit din cauza zgomotului redus ^[9] : de fapt, un condensator variabil adaugă foarte puțin zgomot semnalului. Pentru o lungă perioadă de timp nimeni nu și-a putut atinge curba de zgomot sau curenții de intrare mici. Cu toate acestea, amplificatoarele parametrice au devenit învechite odată cu apariția HEMT și MESFET , configurațiile alese în amplificatoarele moderne cu zgomot redus .

Bob Pease a scris în EDN că primul amplificator parametric de succes din lume (amplificatorul de punte varicap Philbrick P2) a folosit 4 varicaps în intrarea sa. ^[10] ^[11]

Mișcare armonică parametrică amortizată

Mișcarea armonică parametrică amortizată este mișcarea unui oscilator parametric neforțat de forțe externe. Să începem să rezumăm cele două frecvențe cu o schimbare de variabile:

q(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{D(t)}x(t)

{\ displaystyle q (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {D (t)} x (t)}

q (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ e ^ {{D (t)}} x (t)

unde este $D(t)$ ${\ displaystyle D (t)}$ $D (t)$ este o integrală în timp a amortizării :

D(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\int ^{t}d\tau \ \omega _{S}(\tau ).

{\ displaystyle D (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {2}} \ int ^ {t} d \ tau \ \ omega _ {S} ( \ tau).}

D (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {\ frac {1} {2}} \ int ^ {{t}} d \ tau \ \ omega _ {S} (\ tau).

Prin urmare, ecuația poate fi rescrisă:

{\ddot {q}}+\Omega ^{2}(t)q=0

{\ displaystyle {\ ddot {q}} + \ Omega ^ {2} (t) q = 0}

{\ ddot q} + \ Omega ^ {{2}} (t) q = 0

Unde este pulsația transformată

\Omega ^{2}(t)=\omega _{N}^{2}(t)-{\frac {{\dot {\omega }}_{S}}{2}}-{\frac {1}{4}}\omega _{S}^{2}.

{\ displaystyle \ Omega ^ {2} (t) = \ omega _ {N} ^ {2} (t) - {\ frac {{\ dot {\ omega}} _ {S}} {2}} - { \ frac {1} {4}} \ omega _ {S} ^ {2}.}

\ Omega ^ {{2}} (t) = \ omega _ {N} ^ {{2}} (t) - {\ frac {{\ dot \ omega} _ {S}} {2}} - {\ frac {1} {4}} \ omega _ {S} ^ {{2}}.

În general, frecvența și perturbările de amortizare sunt relativ mici

\omega _{S}(t)=\omega _{0}\left[b+g(t)\right]

{\ displaystyle \ omega _ {S} (t) = \ omega _ {0} \ left [b + g (t) \ right]}

\ omega _ {S} (t) = \ omega _ {{0}} \ left [b + g (t) \ right]

\omega _{N}^{2}(t)=\omega _{0}^{2}\left[1+h(t)\right]

{\ displaystyle \ omega _ {N} ^ {2} (t) = \ omega _ {0} ^ {2} \ left [1 + h (t) \ right]}

\ omega _ {N} ^ {2} (t) = \ omega _ {{0}} ^ {{2}} \ left [1 + h (t) \ right]

unde este $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {{0}}$ Și $b\omega _{0}$ ${\ displaystyle b \ omega _ {0}}$ $b \ omega _ {{0}}$ sunt constante: respectiv, frecvența de pompare și amortizarea mediată în timp. Pulsatia transformată poate fi rescrisă după cum urmează:

\Omega ^{2}(t)=\omega _{NS}^{2}\left[1+f(t)\right],

{\ displaystyle \ Omega ^ {2} (t) = \ omega _ {NS} ^ {2} \ left [1 + f (t) \ right],}

\ Omega ^ {{2}} (t) = \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ left [1 + f (t) \ right],

unde este $\omega _{NS}$ ${\ displaystyle \ omega _ {NS}}$ $\ omega _ {{NS}}$ este frecvența naturală a oscilatorului armonic amortizat

\omega _{NS}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)

{\ displaystyle \ omega _ {NS} ^ {2} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {b ^ {2}} {4}} \ dreapta)}

\ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {{2}} \ left (1- { \ frac {b ^ {{2}}} {4}} \ right)

Și

\omega _{NS}^{2}f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left\{h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}\left({\frac {dg}{dt}}\right)-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right\}.

{\ displaystyle \ omega _ {NS} ^ {2} f (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {2} \ left \ {h (t ) - {\ frac {1} {2 \ omega _ {0}}} \ left ({\ frac {dg} {dt}} \ right) - {\ frac {b} {2}} g (t) - {\ frac {1} {4}} g ^ {2} (t) \ right \}.}

\ omega _ {{NS}} ^ {{2}} f (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {{2}} \ left \ {h (t) - {\ frac {1} {2 \ omega _ {0}}} \ left ({\ frac {dg} {dt}} \ right) - {\ frac {b} {2}} g (t) - {\ frac {1} {4}} g ^ {{2}} (t) \ right \}.

Deci, ecuația noastră transformată poate fi rescrisă din nou:

{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{NS}^{2}q=-\omega _{NS}^{2}f(t)q

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} q} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {NS} ^ {2} q = - \ omega _ {NS} ^ {2} f (t) q}

{\ frac {d ^ {{2}} q} {dt ^ {{2}}}} + \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} q = - \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} f (t) q

Acesta este un exemplu de ecuație Hill . De sine $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ este o undă sinusoidală simplă, ecuația se numește ecuația Mathieu . Reprezintă un oscilator armonic amortizat (ca un filtru de trecere a benzii ) acționat de o excitație (parametrică) $-\omega _{NS}^{2}f(t)q$ ${\ displaystyle - \ omega _ {NS} ^ {2} f (t) q}$ $- \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} f (t) q$ proporțional cu răspunsul dvs. $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Rețineți că variațiile independente $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ Și $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ în amortizare și, respectiv, în frecvența rezonantă, pot fi combinate într-o singură funcție de forțare $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ . Concluzia este că orice formă de excitație parametrică poate fi realizată variind atât frecvența rezonantă, cât și amortizarea, sau ambele.

Soluția ecuației transformate

Asuma ca $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ este sinusoidal și mai precis:

f(t)=f_{0}\sin 2\omega _{P}t

{\ displaystyle f (t) = f_ {0} \ sin 2 \ omega _ {P} t}

f (t) = f _ {{0}} \ sin 2 \ omega _ {P} t

Unde frecvența de pompare $2\pi \omega _{P}\approx 2\pi \omega _{NS}$ ${\ displaystyle 2 \ pi \ omega _ {P} \ approx 2 \ pi \ omega _ {NS}}$ $2 \ pi \ omega _ {P} \ approx 2 \ pi \ omega _ {{NS}}$ dar nu trebuie să se potrivească exact cu el. Soluția $q(t)$ ${\ displaystyle q (t)}$ $q (t)$ din ecuația noastră transformată se poate scrie:

q(t)=A(t)\cos \omega _{P}t+B(t)\sin \omega _{P}t

{\ displaystyle q (t) = A (t) \ cos \ omega _ {P} t + B (t) \ sin \ omega _ {P} t}

q (t) = A (t) \ cos \ omega _ {P} t + B (t) \ sin \ omega _ {P} t

unde am luat în calcul componentele care variază rapid ( $\cos \omega _{P}t$ ${\ displaystyle \ cos \ omega _ {P} t}$ $\ cos \ omega _ {P} t$ Și $\sin \omega _{P}t$ ${\ displaystyle \ sin \ omega _ {P} t}$ $\ sin \ omega _ {P} t$ ) pentru a izola amplitudini care variază lent $A(t)$ ${\ displaystyle A (t)}$ $A (t)$ Și $B(t)$ ${\ displaystyle B (t)}$ $B (t)$ . Aceasta corespunde metodei de variație a parametrului Laplace .

Înlocuind această soluție în ecuația transformată și păstrând doar termenii de ordinul întâi $f_{0}\ll 1$ ${\ displaystyle f_ {0} \ ll 1}$ $f _ {{0}} \ ll 1$ ajungem la două ecuații cuplate

2\omega _{P}{\frac {dA}{dt}}=\left({\frac {f_{0}}{2}}\right)\omega _{NS}^{2}A-\left(\omega _{P}^{2}-\omega _{NS}^{2}\right)B

{\ displaystyle 2 \ omega _ {P} {\ frac {dA} {dt}} = \ left ({\ frac {f_ {0}} {2}} \ right) \ omega _ {NS} ^ {2} A- \ left (\ omega _ {P} ^ {2} - \ omega _ {NS} ^ {2} \ right) B}

2 \ omega _ {P} {\ frac {dA} {dt}} = \ left ({\ frac {f _ {{0}}} {2}} \ right) \ omega _ {{NS}} ^ { {2}} A- \ left (\ omega _ {P} ^ {{2}} - \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ right) B

2\omega _{P}{\frac {dB}{dt}}=-\left({\frac {f_{0}}{2}}\right)\omega _{NS}^{2}B+\left(\omega _{P}^{2}-\omega _{NS}^{2}\right)A

{\ displaystyle 2 \ omega _ {P} {\ frac {dB} {dt}} = - \ left ({\ frac {f_ {0}} {2}} \ right) \ omega _ {NS} ^ {2 } B + \ left (\ omega _ {P} ^ {2} - \ omega _ {NS} ^ {2} \ right) A}

2 \ omega _ {P} {\ frac {dB} {dt}} = - \ left ({\ frac {f _ {{0}}} {2}} \ right) \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} B + \ left (\ omega _ {P} ^ {{2}} - \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ right) A

Le putem decupla și rezolva cu o schimbare de variabilă

A(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ r(t)\cos \theta (t)

{\ displaystyle A (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ r (t) \ cos \ theta (t)}

A (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ r (t) \ cos \ theta (t)

B(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ r(t)\sin \theta (t)

{\ displaystyle B (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ r (t) \ sin \ theta (t)}

B (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ r (t) \ sin \ theta (t)

ceea ce duce la ecuație

{\frac {dr}{dt}}=\left(\alpha _{\mathrm {max} }\cos 2\theta \right)r

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = \ left (\ alpha _ {\ mathrm {max}} \ cos 2 \ theta \ right) r}

{\ frac {dr} {dt}} = \ left (\ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ cos 2 \ theta \ right) r

{\frac {d\theta }{dt}}=-\alpha _{\mathrm {max} }\left[\sin 2\theta -\sin 2\theta _{\mathrm {eq} }\right]

{\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {dt}} = - \ alpha _ {\ mathrm {max}} \ left [\ sin 2 \ theta - \ sin 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}} \ dreapta]}

{\ frac {d \ theta} {dt}} = - \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ left [\ sin 2 \ theta - \ sin 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq }}}} \ dreapta]

unde am definit pentru concizie

\alpha _{\mathrm {max} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {f_{0}\omega _{NS}^{2}}{4\omega _{P}}}

{\ displaystyle \ alpha _ {\ mathrm {max}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {f_ {0} \ omega _ {NS} ^ {2}} {4 \ omega _ {P}}}}

\ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {\ frac {f _ {{0}} \ omega _ {{NS} } ^ {{2}}} {4 \ omega _ {P}}}

\sin 2\theta _{\mathrm {eq} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {2}{f_{0}}}\right)\varepsilon

{\ displaystyle \ sin 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ left ({\ frac {2} {f_ {0}}} \ right ) \ varepsilon}

\ sin 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ left ({\ frac {2} {f _ {{0 }}}} \ right) \ varepsilon

și schimbarea de fază

\varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{P}^{2}-\omega _{NS}^{2}}{\omega _{NS}^{2}}}

{\ displaystyle \ varepsilon \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ omega _ {P} ^ {2} - \ omega _ {NS} ^ {2}} {\ omega _ {NS} ^ {2}}}}

\ varepsilon \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {\ frac {\ omega _ {P} ^ {{2}} - \ omega _ {{NS}} ^ {{2} }} {\ omega _ {{NS}} ^ {{2}}}}

Ecuația din $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ nu depinde de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , și liniarizarea în apropierea poziției sale de echilibru $\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ arată că $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ descompune exponențial la echilibrul său

\theta (t)=\theta _{\mathrm {eq} }+\left(\theta _{0}-\theta _{\mathrm {eq} }\right)e^{-2\alpha t}

{\ displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {\ mathrm {eq}} + \ left (\ theta _ {0} - \ theta _ {\ mathrm {eq}} \ right) e ^ {- 2 \ alpha t}}

\ theta (t) = \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} + \ left (\ theta _ {{0}} - \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} right) e ^ {{- 2 \ alpha t}}

unde constanta de descompunere

$\alpha \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha _{\mathrm {max} }\cos 2\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ displaystyle \ alpha \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ alpha _ {\ mathrm {max}} \ cos 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ alpha \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ cos 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}} }$ .

Cu alte cuvinte, faza oscilatorului parametric îngheață la semnalul forțat $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ .

Prin plasare $\theta (t)=\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta (t) = \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ (de exemplu, presupunând că faza a fost blocată), ecuația în $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ devine:

{\frac {dr}{dt}}=\alpha r

{\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = \ alpha r}

{\ frac {dr} {dt}} = \ alpha r

a cărei soluție este $r(t)=r_{0}e^{\alpha t}$ ${\ displaystyle r (t) = r_ {0} e ^ {\ alpha t}}$ $r (t) = r _ {{0}} e ^ {{\ alpha t}}$ ; amplitudinea oscilației $q(t)$ ${\ displaystyle q (t)}$ $q (t)$ divergă exponențial. Oricum, lățimea $R(t)$ ${\ displaystyle R (t)}$ $R (t)$ corespunzător variabilei $x\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ qe^{-D(t)}$ ${\ displaystyle x \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ qe ^ {- D (t)}}$ $x \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ qe ^ {{- D (t)}}$ netransformat nu diferă

R(t)=r(t)e^{-D(t)}=r_{0}e^{\alpha t-D(t)}

{\ displaystyle R (t) = r (t) e ^ {- D (t)} = r_ {0} e ^ {\ alpha tD (t)}}

R (t) = r (t) e ^ {{- D (t)}} = r _ {{0}} e ^ {{\ alpha t-D (t)}}

Lățimea $R(t)$ ${\ displaystyle R (t)}$ $R (t)$ diverg, se descompune sau rămâne constant, în funcție de care, respectiv $\alpha t$ ${\ displaystyle \ alpha t}$ $\ alfa t$ este mai mare decât, mai mică sau egală cu $D(t)$ ${\ displaystyle D (t)}$ $D (t)$ .

Rata maximă de amplificare apare atunci când $\omega _{P}=\omega _{NS}$ ${\ displaystyle \ omega _ {P} = \ omega _ {NS}}$ $\ omega _ {P} = \ omega _ {{NS}}$ . La această frecvență, faza de echilibru $\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ este nul, ceea ce înseamnă că $\cos 2\theta _{\mathrm {eq} }=1$ ${\ displaystyle \ cos 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}} = 1}$ $\ cos 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} = 1$ și $\alpha =\alpha _{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {\ mathrm {max}}}$ $\ alpha = \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}}$ . Variabil $\omega _{P}$ ${\ displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ din $\omega _{NS}$ ${\ displaystyle \ omega _ {NS}}$ $\ omega _ {{NS}}$ , $\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ te îndepărtează de la zero și de la $\alpha <\alpha _{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle \ alpha <\ alpha _ {\ mathrm {max}}}$ $\ alpha <\ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}}$ , astfel amplitudinea crește mai încet. Pentru abateri suficient de mari de $\omega _{P}$ ${\ displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ , constanta de descompunere $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ poate deveni pur imaginar din moment ce:

\alpha =\alpha _{\mathrm {max} }{\sqrt {1-\left({\frac {2}{f_{0}}}\right)^{2}\varepsilon ^{2}}}

{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {\ mathrm {max}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2} {f_ {0}}} \ right) ^ {2} \ varepsilon ^ {2 }}}}

\ alpha = \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2} {f _ {{0}}}} \ right) ^ {{2} } \ varepsilon ^ {{2}}}}

Dacă schimbarea de fază $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ depășește $f_{0}/2$ ${\ displaystyle f_ {0} / 2}$ $f _ {{0}} / 2$ , $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ devine pur imaginar e $q(t)$ ${\ displaystyle q (t)}$ $q (t)$ variază sinusoidal. Folosind definiția defazării $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , frecvența de forțare $2\omega _{P}$ ${\ displaystyle 2 \ omega _ {P}}$ $2 \ omega _ {P}$ trebuie să fie între $2\omega _{NS}{\sqrt {1-{\frac {f_{0}}{2}}}}$ ${\ displaystyle 2 \ omega _ {NS} {\ sqrt {1 - {\ frac {f_ {0}} {2}}}}}$ $2 \ omega _ {{NS}} {\ sqrt {1 - {\ frac {f _ {{0}}} {2}}}}$ Și $2\omega _{NS}{\sqrt {1+{\frac {f_{0}}{2}}}}$ ${\ displaystyle 2 \ omega _ {NS} {\ sqrt {1 + {\ frac {f_ {0}} {2}}}}}$ $2 \ omega _ {{NS}} {\ sqrt {1 + {\ frac {f _ {{0}}} {2}}}}$ pentru a realiza creșterea exponențială a $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Dezvoltarea rădăcinilor din seriile binomiale arată că distribuția frecvențelor de forțare care are ca rezultat creșterea exponențială $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este aproximativ $\omega _{NS}f_{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {NS} f_ {0}}$ $\ omega _ {{NS}} f _ {{0}}$ .

Rezonanță parametrică

O derivare intuitivă va fi dată cu următoarea subsecțiune. Consider că $q(t)=A\cos \omega _{P}t$ ${\ displaystyle q (t) = A \ cos \ omega _ {P} t}$ $q (t) = A \ cos \ omega _ {P} t$ are deja o oscilație în frecvență $\omega _{P}$ ${\ displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ și acea forțare $f(t)=f_{0}\sin 2\omega _{P}t$ ${\ displaystyle f (t) = f_ {0} \ sin 2 \ omega _ {P} t}$ $f (t) = f _ {{0}} \ sin 2 \ omega _ {P} t$ au frecvență dublă și o amplitudine mică $f_{0}\ll 1$ ${\ displaystyle f_ {0} \ ll 1}$ $f _ {{0}} \ ll 1$ . Aplicarea unei identități trigonometrice pentru produsele de sinusoide, produsul lor $q(t)f(t)$ ${\ displaystyle q (t) f (t)}$ $q (t) f (t)$ produce două semnale de ghidare, unul la frecvență $\omega _{P}$ ${\ displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ iar cealaltă la frecvență $3\omega _{P}$ ${\ displaystyle 3 \ omega _ {P}}$ $3 \ omega _ {P}$ :

f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A\left(\sin \omega _{P}t+\sin 3\omega _{P}t\right)

{\ displaystyle f (t) q (t) = {\ frac {f_ {0}} {2}} A \ left (\ sin \ omega _ {P} t + \ sin 3 \ omega _ {P} t \ dreapta)}

f (t) q (t) = {\ frac {f _ {{0}}} {2}} A \ left (\ sin \ omega _ {P} t + \ sin 3 \ omega _ {P} t \ dreapta)

Fiind în afara rezonanței, semnalul $3\omega _{P}$ ${\ displaystyle 3 \ omega _ {P}}$ $3 \ omega _ {P}$ este redus și poate fi inițial trecut cu vederea. Dimpotrivă, semnalul $\omega _{P}$ ${\ displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ este în rezonanță, servește pentru amplificarea $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ și este proporțional cu lățimea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Prin urmare, amplitudinea $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ crește exponențial dacă nu este inițial nimic.

Exprimat în spațiul Fourier, multiplicare $f(t)q(t)$ ${\ displaystyle f (t) q (t)}$ $f (t) q (t)$ este o convoluție a transformatelor lor Fourier ${\tilde {F}}(\omega )$ ${\ displaystyle {\ tilde {F}} (\ omega)}$ ${\ tilde {F}} (\ omega)$ Și ${\tilde {Q}}(\omega )$ ${\ displaystyle {\ tilde {Q}} (\ omega)}$ ${\ tilde {Q}} (\ omega)$ . Feedback-ul pozitiv se declanșează ca componentă $+2\omega _{P}$ ${\ displaystyle +2 \ omega _ {P}}$ $+2 \ omega _ {P}$ din $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ convertește componenta $-\omega _{P}$ ${\ displaystyle - \ omega _ {P}}$ $- \ omega _ {P}$ din $q(t)$ ${\ displaystyle q (t)}$ $q (t)$ într-un semnal de ghidare a $+\omega _{P}$ ${\ displaystyle + \ omega _ {P}}$ $+ \ omega _ {P}$ și invers (schimbă semnele). Aceasta explică de ce frecvența de forțare trebuie să fie aproape de valoare $2\omega _{NS}$ ${\ displaystyle 2 \ omega _ {NS}}$ $2 \ omega _ {{NS}}$ , de două ori frecvența oscilatorului armonic forțat. Forțarea la o frecvență semnificativ diferită nu ar cupla (adică ar provoca feedback reciproc pozitiv) între componente $-\omega _{P}$ ${\ displaystyle - \ omega _ {P}}$ $- \ omega _ {P}$ Și $+\omega _{P}$ ${\ displaystyle + \ omega _ {P}}$ $+ \ omega _ {P}$ din $q(t)$ ${\ displaystyle q (t)}$ $q (t)$ .

Prin urmare, considerabil dacă parametrii variază cu dublă frecvență în comparație cu cea naturală $-\omega _{N}S$ ${\ displaystyle - \ omega _ {N} S}$ $- \ omega _ {N} S$ al oscilatorului, faza oscilatorului se leagă de variația parametrică și absoarbe energia la o rată proporțională cu energia pe care o are deja. În mod ideal, adică fără un mecanism de amortizare care să compenseze legătura cu acesta $\omega _{S}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ , amplitudinea oscilației ar crește exponențial exact ca în mișcarea armonică forțată . În orice caz, dacă amplitudinea inițială este zero, rămâne așa; acest lucru îl deosebește de rezonanța armonică în care amplitudinea crește liniar în timp, fără legături cu starea inițială.

Pentru amplitudini mici și prin liniarizare, stabilitatea soluției periodice este dată de:

${\ddot {u}}+(a+B\cos t)u=0\$ ${\ displaystyle {\ ddot {u}} + (a + B \ cos t) u = 0 \}$ ${\ ddot {u}} + (a + B \ cos t) u = 0 \$

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este o oarecare perturbare din soluția periodică. Aici termenul $B\ \cos(t)$ ${\ displaystyle B \ \ cos (t)}$ $B \ \ cos (t)$ acționează ca o „ sursă de energie ” și se consideră că excită parametric sistemul. Ecuația lui Mathieu descrie multe alte sisteme fizice în termenii unei excitații parametrice.

Mișcare armonică parametrică amortizată forțată la frecvența de rezonanță principală

Ecuația oscilatorului parametric poate fi extinsă prin adăugarea unei accelerații forțate externe $a_{F}(t)$ ${\ displaystyle a_ {F} (t)}$ $a_ {F} (t)$ :

{\ddot {x}}+\omega _{S}(t){\dot {x}}+\omega _{N}^{2}(t)x=a_{F}(t).

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {S} (t) {\ dot {x}} + \ omega _ {N} ^ {2} (t) x = a_ {F} (t) .}

{\ ddot x} + \ omega _ {S} (t) {\ dot x} + \ omega _ {N} ^ {{2}} (t) x = a_ {F} (t).

Să presupunem că amortizarea $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este suficient de puternic încât, în absența forțării $a_{F}$ ${\ displaystyle a_ {F}}$ $a_ {F}$ , amplitudinea oscilațiilor parametrice nu diferă, adică aceea $\alpha t<D$ ${\ displaystyle \ alpha t <D}$ $\ alpha t <D$ . În această situație, pomparea parametrică acționează pentru a reduce amortizarea efectivă a sistemului. Pentru a ilustra acest lucru, luați în considerare constanta de amortizare $\omega _{S}(t)=\omega _{0}b$ ${\ displaystyle \ omega _ {S} (t) = \ omega _ {0} b}$ $\ omega _ {S} (t) = \ omega _ {0} b$ și presupunem că forțarea externă este la frecvența rezonantă principală $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ , asa de $a_{F}(t)=a_{F0}\sin \omega _{0}t$ ${\ displaystyle a_ {F} (t) = a_ {F0} \ sin \ omega _ {0} t}$ $a_ {F} (t) = a _ {{F0}} \ sin \ omega _ {0} t$ . Ecuația devine

{\ddot {x}}+b\omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=a_{F0}\sin \omega _{0}t

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + b \ omega _ {0} {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ left [1 + h_ {0} \ sin 2 \ omega _ {0} t \ right] x = a_ {F0} \ sin \ omega _ {0} t}

{\ ddot x} + b \ omega _ {0} {\ dot x} + \ omega _ {0} ^ {{2}} \ left [1 + h _ {{0}} \ sin 2 \ omega _ { 0} t \ right] x = a _ {{F0}} \ sin \ omega _ {0} t

a cărei soluție este aproximativ

x(t)={\frac {2a_{F0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t.

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {2a_ {F0}} {\ omega _ {0} ^ {2} \ left (2b-h_ {0} \ right)}} \ cos \ omega _ {0} t.}

x (t) = {\ frac {2a _ {{F0}}} {\ omega _ {0} ^ {{2}} \ left (2b-h _ {{0}} \ right)}} \ cos \ omega _ {0} t.

Cand $h_{0}$ ${\ displaystyle h_ {0}}$ $h _ {{0}}$ se apropie de prag $2b$ ${\ displaystyle 2b}$ $2b$ , amplitudinea divergă. Cand $h\geq 2b$ ${\ displaystyle h \ geq 2b}$ $h \ geq 2b$ , sistemul intră în rezonanță parametrică și amplitudinea începe să crească exponențial, chiar și în absența unei accelerații de conducere $a_{F}(t)$ ${\ displaystyle a_ {F} (t)}$ $a_ {F} (t)$ .

Notă

^ Două moduri de a conduce leagănul unui copil: Copie arhivată , la grinnell.edu . Adus la 27 noiembrie 2011 (arhivat din original la 9 decembrie 2011) . .
^ WB Case (1996) "The pumping of a swing from the standing position", American Journal of Physics , voi. 64, paginile 215-220.
^ Faraday, M. (1831) "Pe o clasă particulară de figuri acustice; și pe anumite forme asumate de un grup de particule pe suprafețe vibrante elastice", Philosophical Transactions of the Royal Society (Londra) , vol. 121, paginile 299-318.
^ Melde, F. (1859) "Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers" [Despre excitația valurilor staționare pe o coardă], Annalen der Physik und Chemie (Ser. 2), vol. 109, paginile 193-215.
^ Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1883) „Despre vibrații menținute”, Revista Filozofică , vol. 15, paginile 229-235.
^ Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1887) „Cu privire la menținerea vibrațiilor prin forțe de dublă frecvență și la propagarea undelor printr-un mediu dotat cu structură periodică”, Revista Filozofică , vol. 24, paginile 145-159.
^ Strutt, JW (Lord Rayleigh) Theory of Sound , 2a ed. (NY, NY: Dover, 1945), vol. 1, paginile 81-85.
^ Alexanderson, Ernst FW (aprilie 1916) „Un amplificator magnetic pentru telefonia audio” Proceedings of the Institute of Radio Engineers , vol. 4, paginile 101-149.
^ Oct, Henry W. (1988). "Tehnici de reducere a zgomotului în sistemele electronice", al 2-lea. ed., New York: John Wiley & Sons, Inc., pagina 229.
^ Bob Pease (7 noiembrie 1991) "Pease Porridge: oricum sunt toate aceste lucruri de profit?" Design electronic , pagina 115.
^ Bob Pease, "Capitolul 9: Povestea P2 (Primul amplificator operațional cu succes în stare solidă cu curenți de intrare picoampere)" în Analog Circuit Design: Art, Science, and Personalities , Jim Williams, ed. (Londra: Butterworth-Heinemann, 1991), paginile 67-78; vezi în special pagina 69.

Bibliografie

Kühn L. (1914) Elektrotech. Z. , 35 , 816-819.
Mumford WW. (1960) „Câteva note despre istoria traductoarelor parametrice”, Proceedings of the Institute of Radio Engineers , 48 , 848-853.
Pungs L. DRGM Nr. 588 822 (24 octombrie 1913); DRP nr. 281440 (1913); Elektrotech. Z. , 44 , 78-81 (1923?); Proc. IRE , 49 , 378 (1961).

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

( EN ) Elmer, Franz-Josef, „ Rezonanță parametrică ”. unibas.ch, 20 iulie 1998.
( EN ) Cooper, Jeffery, " Rezonanță parametrică în ecuații de undă cu potențial periodic. Arhivat 21 februarie 2005 la Internet Archive . ". SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volumul 31, Numărul 4, pp. 821–835. Societatea pentru matematică industrială și aplicată, 2000.
( EN ) „ Pendul ghidat: rezonanță parametrică ”. phys.cmu.edu (Demonstrarea mecanicii clasice . Oscilațiile de rezonanță apar într-un pendul simplu prin variația periodică a lungimii sale.)

Portalul Electromagnetismului

Portal mecanic

[1] Două moduri de a conduce leagănul unui copil: Copie arhivată , la grinnell.edu . Adus la 27 noiembrie 2011 (arhivat din original la 9 decembrie 2011) . .

[2] WB Case (1996) "The pumping of a swing from the standing position", American Journal of Physics , voi. 64, paginile 215-220.

[3] Faraday, M. (1831) "Pe o clasă particulară de figuri acustice; și pe anumite forme asumate de un grup de particule pe suprafețe vibrante elastice", Philosophical Transactions of the Royal Society (Londra) , vol. 121, paginile 299-318.

[4] Melde, F. (1859) "Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers" [Despre excitația valurilor staționare pe o coardă], Annalen der Physik und Chemie (Ser. 2), vol. 109, paginile 193-215.

[5] Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1883) „Despre vibrații menținute”, Revista Filozofică , vol. 15, paginile 229-235.

[6] Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1887) „Cu privire la menținerea vibrațiilor prin forțe de dublă frecvență și la propagarea undelor printr-un mediu dotat cu structură periodică”, Revista Filozofică , vol. 24, paginile 145-159.

[7] Strutt, JW (Lord Rayleigh) Theory of Sound , 2a ed. (NY, NY: Dover, 1945), vol. 1, paginile 81-85.

[8] Alexanderson, Ernst FW (aprilie 1916) „Un amplificator magnetic pentru telefonia audio” Proceedings of the Institute of Radio Engineers , vol. 4, paginile 101-149.

[9] Oct, Henry W. (1988). "Tehnici de reducere a zgomotului în sistemele electronice", al 2-lea. ed., New York: John Wiley & Sons, Inc., pagina 229.

[10] Bob Pease (7 noiembrie 1991) "Pease Porridge: oricum sunt toate aceste lucruri de profit?" Design electronic , pagina 115.

[11] Bob Pease, "Capitolul 9: Povestea P2 (Primul amplificator operațional cu succes în stare solidă cu curenți de intrare picoampere)" în Analog Circuit Design: Art, Science, and Personalities , Jim Williams, ed. (Londra: Butterworth-Heinemann, 1991), paginile 67-78; vezi în special pagina 69.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]