Filtru de trecere a benzii

Axa de frecvență a acestui grafic simbolic ar trebui să fie pe o scară logaritmică

În electronică , un filtru de trecere a benzii este un dispozitiv pasiv care permite trecerea frecvențelor într-un interval dat (așa-numita bandă de trecere ) și atenuează frecvențele din afara acestuia. De exemplu, un circuit analogic care acționează ca un filtru de trecere a benzii este un circuit RLC (o rețea electrică formată din rezistor - inductor - condensator care ia ieșirea pe rezistor). Cu toate acestea, cele mai simple filtre trece bandă poate fi , de asemenea , create prin combinarea dimensionat corespunzător trece - jos și filtru trece sus .

Filtrul ideal de trecere a benzii are o bandă de trecere perfect plană, nu are nici atenuare, nici câștig pentru frecvențele din interior și atenuează complet toate frecvențele în afara acestui interval.

În practică, niciun filtru de trecere a benzii nu este ideal. Filtrul nu atenuează complet toate frecvențele în afara benzii dorite; în special, există o regiune contiguă la banda de trecere în care frecvențele sunt atenuate, dar nu complet. În aceste regiuni (numite „roll-off”), atenuarea este exprimată în general în decibeli . De obicei, un design de filtru încearcă să mențină regiunile de derulare cât mai înguste posibil, astfel încât filtrul să acționeze ca un filtru ideal cât mai mult posibil. Pe de altă parte, cu cât aceste regiuni devin mai subțiri, cu atât banda de trecere este mai puțin plană: la un moment dat prezintă ondulații din ce în ce mai evidente. Acest efect este deosebit de pronunțat la limitele benzii de trecere, efect cunoscut sub numele de fenomenul Gibbs . ^{[ fără sursă ]}

Între frecvența de tăiere inferioară f ₁ și frecvența de tăiere superioară f ₂ a unei benzi de trecere, se află frecvența de rezonanță , la care câștigul filtrului este maxim. Banda de trecere a filtrului este pur și simplu diferența dintre f ₂ și f ₁ .

În afara domeniului electronicii și al procesării semnalului , un exemplu de filtru de trecere a benzii se găsește în domeniul meteorologiei . Este obișnuit să se filtreze datele meteo recente pe un interval de frecvență (de exemplu, cu o perioadă de 3 până la 10 zile), astfel încât numai ciclonii să rămână vizibili ca fluctuații ale datelor. ^{[ fără sursă ]}

Filtru de trecere a benzii ca o combinație între o trecere joasă și o trecere înaltă

Filtru de trecere a benzii pasive ca o combinație între o trecere joasă și o trecere înaltă.

Dacă filtrul de trecere a benzii constă dintr-o trecere joasă cu o trecere înaltă avem diagrama din figură. De sine $\mathbf {V} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {1}}$ este tensiunea transversală $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ asa de

{\frac {\mathbf {V} _{in}-\mathbf {V} _{1}}{R_{1}}}={\frac {\mathbf {V} _{1}}{\mathbf {Z} _{1}}}+{\frac {\mathbf {V} _{1}}{R_{2}+\mathbf {Z} _{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {V} _ {in} - \ mathbf {V} _ {1}} {R_ {1}}} = {\ frac {\ mathbf {V} _ {1}} { \ mathbf {Z} _ {1}}} + {\ frac {\ mathbf {V} _ {1}} {R_ {2} + \ mathbf {Z} _ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {V} _ {in} - \ mathbf {V} _ {1}} {R_ {1}}} = {\ frac {\ mathbf {V} _ {1}} { \ mathbf {Z} _ {1}}} + {\ frac {\ mathbf {V} _ {1}} {R_ {2} + \ mathbf {Z} _ {2}}}}

\mathbf {V} _{out}={\frac {R_{2}}{R_{2}+Z_{2}}}\mathbf {V} _{1}

{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {out} = {\ frac {R_ {2}} {R_ {2} + Z_ {2}}} \ mathbf {V} _ {1}}

{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {out} = {\ frac {R_ {2}} {R_ {2} + Z_ {2}}} \ mathbf {V} _ {1}}

Să calculăm acum funcția de transfer :

k(j\omega )={\frac {1}{1+{\frac {1}{j\omega R_{2}C_{2}}}}}{\frac {1}{1+j\omega R_{1}C_{1}+{\frac {j\omega C_{2}R_{1}}{1+j\omega C_{2}R_{2}}}}}

{\ displaystyle k (j \ omega) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {j \ omega R_ {2} C_ {2}}}}} {\ frac {1} {1+ j \ omega R_ {1} C_ {1} + {\ frac {j \ omega C_ {2} R_ {1}} {1 + j \ omega C_ {2} R_ {2}}}}}}

{\ displaystyle k (j \ omega) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {j \ omega R_ {2} C_ {2}}}}} {\ frac {1} {1+ j \ omega R_ {1} C_ {1} + {\ frac {j \ omega C_ {2} R_ {1}} {1 + j \ omega C_ {2} R_ {2}}}}}}

Se vede că este produsul unei treceri înalte și a unei treceri joase cu termen mixt $C_{2}R_{1}$ ${\ displaystyle C_ {2} R_ {1}}$ ${\ displaystyle C_ {2} R_ {1}}$ . De sine $R_{2}\gg R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {2} \ gg R_ {1}}$ ${\ displaystyle R_ {2} \ gg R_ {1}}$ puteți neglija termenul mixt și scrie pentru funcția de transfer:

k(j\omega )\simeq {\frac {1}{1+{\frac {1}{j\omega R_{2}C_{2}}}}}{\frac {1}{1+j\omega R_{1}C_{1}}}

{\ displaystyle k (j \ omega) \ simeq {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {j \ omega R_ {2} C_ {2}}}}} {\ frac {1} {1 + j \ omega R_ {1} C_ {1}}}}

{\ displaystyle k (j \ omega) \ simeq {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {j \ omega R_ {2} C_ {2}}}}} {\ frac {1} {1 + j \ omega R_ {1} C_ {1}}}}

Astfel vedem că dacă $\omega _{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ este frecvența de întrerupere a trecerii înalte e $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ cea a trecerii joase cu $\omega _{1}>\omega _{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}> \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}> \ omega _ {2}}$ , lățimea de bandă este dată pur și simplu de:

B_{\omega }=\omega _{1}-\omega _{2}

{\ displaystyle B _ {\ omega} = \ omega _ {1} - \ omega _ {2}}

{\ displaystyle B _ {\ omega} = \ omega _ {1} - \ omega _ {2}}

Circuitul RLC ca o trecere de bandă

Același subiect în detaliu: circuitul RLC .

Circuitul RLC este un filtru excelent de trecere a benzii în sensul că este mult mai selectiv decât trecerea de bandă ca sumă a unei treceri joase și a unei treceri înalte. În cazul unui circuit RLC în serie, există o impedanță totală dată de:

\mathbf {Z} _{serie}=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}=R+j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {series} = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ left (\ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {series} = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ left (\ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} \ right)}

Pulsatia de rezonanță a acestui circuit poate fi obținută din:

j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)=0\,\,\Rightarrow \,\,\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ displaystyle j \ left (\ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} \ right) = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1 } {\ sqrt {LC}}}}

{\ displaystyle j \ left (\ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} \ right) = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1 } {\ sqrt {LC}}}}

care corespunde frecvenței de rezonanță:

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}}

adică la frecvența în care tensiunea de ieșire este maximă; când efectele condensatorului și ale inductorului se anulează reciproc și toată tensiunea de intrare este trecută la rezistor. Lățimea de bandă se obține cu un calcul simplu:

$B_{\omega }=\omega _{2}-\omega _{1}$ ${\ displaystyle B _ {\ omega} = \ omega _ {2} - \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle B _ {\ omega} = \ omega _ {2} - \ omega _ {1}}$

În cazul în care cele două pulsații de întrerupere sunt obținute, prin definiție, atunci când semnalul de ieșire are o variație de -3dB, adică prin impunerea că amplitudinea funcției de transfer este egală cu $1/{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ .

În cazul unui circuit RLC în paralel, există o admisie totală dată de:

\mathbf {Y} _{parallelo}=G+j\omega C+{\frac {1}{j\omega L}}=G+j\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {Y} _ {parallel} = G + j \ omega C + {\ frac {1} {j \ omega L}} = G + j \ left (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {Y} _ {parallel} = G + j \ omega C + {\ frac {1} {j \ omega L}} = G + j \ left (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ right)}

Pulsarea rezonantă a acestui circuit este aceeași cu cea din serie:

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

care corespunde frecvenței de rezonanță:

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {L\cdot C}}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {L \ cdot C}}}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {L \ cdot C}}}}}

adică la frecvența în care tensiunea de ieșire este maximă; când efectele condensatorului și ale inductorului se anulează reciproc și toată tensiunea de intrare este trecută la rezistor. Lățimea de bandă se obține cu un calcul simplu:

$B_{\omega }=\omega _{2}-\omega _{1}$ ${\ displaystyle B _ {\ omega} = \ omega _ {2} - \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle B _ {\ omega} = \ omega _ {2} - \ omega _ {1}}$

În cazul în care cele două pulsații de întrerupere sunt obținute, prin definiție, atunci când semnalul de ieșire are o variație de -3dB, adică prin impunerea că amplitudinea funcției de transfer este egală cu $1/{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ .

În ambele circuite RLC, răspunsul de frecvență are un vârf pronunțat la frecvența de rezonanță, în cazul seriei RLC prin introducerea factorului de merit $Q={\frac {\omega _{0}L}{R}}$ ${\ displaystyle Q = {\ frac {\ omega _ {0} L} {R}}}$ ${\ displaystyle Q = {\ frac {\ omega _ {0} L} {R}}}$ , lățimea vârfului scade pe măsură ce Q crește, care la rândul său depinde de R și L, puteți scădea R pentru a crește Q, dar în acest caz și amplitudinea scade. De fapt, banda de acces este legată de Q prin:

B_{f}={\frac {\omega _{0}}{2\pi Q}}

{\ displaystyle B_ {f} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi Q}}}

{\ displaystyle B_ {f} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi Q}}}

si invers:

Q={\frac {\omega _{0}}{2\pi B_{f}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{2}-\omega _{1}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi B_ {f}}} = {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega _ {2} - \ omega _ { 1}}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi B_ {f}}} = {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega _ {2} - \ omega _ { 1}}}}

În cazul RLC în paralel, factorul de merit este legat de banda de trecere prin:

Q={\frac {R}{\omega _{0}L}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {R} {\ omega _ {0} L}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {R} {\ omega _ {0} L}}}

iar cele de mai sus sunt inversate, adică creșterea Q înseamnă creșterea R.

Problema filtrului de trecere a benzii este legată de câștigul în frecvențele medii unde, datorită dependenței componentelor de memorie de frecvență, câștigul în banda de trecere nu este perfect constant. Pentru a rezolva această problemă este necesar să se introducă în circuit unele elemente care compensează câștigul la frecvențe joase și înalte. (aflați mai multe) ^{[ neclar ]}