Paradoxul lui Grand Hotel al lui Hilbert

Grand Hotel este un paradox celebru paradox inventat de matematicianul David Hilbert pentru a arăta unele caracteristici ale conceptului de infinit , iar diferențele dintre operațiuni cu finite și infinite seturi .

Paradoxul

Hilbert își imaginează un hotel cu camere infinite, toate ocupate și afirmă că, indiferent de numărul altor oaspeți care sosesc, va fi întotdeauna posibil să-i găzduiți pe toți, chiar dacă numărul lor este infinit, atâta timp cât acesta poate fi numărat .

În cazul simplu, ajunge un singur oaspete nou. Hotelierul inteligent va muta toți clienții în camera alăturată (oaspete de la 1 la 2, oaspete de la 2 la 3 etc.); în acest fel, chiar dacă hotelul era plin, este încă posibil, fiind infinit, să găzduiți noul oaspete.

Un caz mai puțin intuitiv este atunci când sosesc nenumărați oaspeți noi. Ar fi posibil să procedăm așa cum s-a văzut mai sus, dar doar deranjând oaspeții de nenumărate ori (deja nerăbdător de la mutarea anterioară): atunci Hilbert susține că soluția este pur și simplu să mutăm fiecare oaspete din cameră cu un număr dublu comparativ cu cea actuală (de la 1 la 2, de la 2 la 4 etc.), lăsând noilor oaspeți toate camerele cu numere impare, care sunt ele însele infinite, rezolvând astfel problema. Prin urmare, oaspeții sunt stabiliți cu toții, chiar dacă hotelul era plin.

Și mai dificil: există hoteluri infinite cu camere infinite, toate complet rezervate. Toate hotelurile se închid, cu excepția unuia. Toți oaspeții vor să rămână în singurul hotel rămas deschis. Ar fi posibil să procedăm ca până acum, dar numai deranjând oaspeții de nenumărate ori. Un mod alternativ, pe de altă parte, este de a atribui fiecărei persoane o pereche de numere ( n , m ) în care n indică hotelul de origine și m camera relativă. Oaspeții sunt apoi etichetați astfel:

${\begin{array}{ccccc}(1,1)&(1,2)&\cdots &(1,m)&\cdots \\(2,1)&(2,2)&\cdots &(2,m)&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\(n,1)&(n,2)&\cdots &(n,m)&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccc} (1,1) & (1,2) & \ cdots & (1, m) & \ cdots \\ (2,1) & (2,2) & \ cdots & (2, m) & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ (n, 1) & (n, 2) & \ cdots & (n, m) & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \ end {array}}}$ ${\ begin {array} {ccccc} (1,1) & (1,2) & \ cdots & (1, m) & \ cdots \\ (2,1) & (2,2) & \ cdots & ( 2, m) & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ (n, 1) & (n, 2) & \ cdots & (n, m) & \ cdots \\ \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \ end {array}}$

În acest moment este suficient să atribuiți noile camere oaspeților în conformitate cu un criteriu ordonat, de exemplu prin diagonale:

${\begin{array}{ccccccc}(1,1)\rightarrow 1;&(2,1)\rightarrow 2;&(1,2)\rightarrow 3;&(3,1)\rightarrow 4;&(2,2)\rightarrow 5;&(1,3)\rightarrow 6;&\ldots \end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccccc} (1,1) \ rightarrow 1; & (2,1) \ rightarrow 2; & (1,2) \ rightarrow 3; & (3,1) \ rightarrow 4 ; & (2,2) \ rightarrow 5; & (1,3) \ rightarrow 6; & \ ldots \ end {array}}}$ ${\ begin {array} {ccccccc} (1,1) \ rightarrow 1; & (2,1) \ rightarrow 2; & (1,2) \ rightarrow 3; & (3,1) \ rightarrow 4; & ( 2,2) \ rightarrow 5; & (1,3) \ rightarrow 6; & \ ldots \ end {array}}$

Acest paradox, în ciuda faptului că a fost destul de elementar, a contribuit, la vremea respectivă, la matematicieni, și astăzi la laic, la înțelegerea diferenței profunde și substanțiale dintre mulțimile finite și infinite, deschizând ușile la majoritatea ramurilor moderne ale aritmeticii moderne: non -analiza standard și transfinită pe toate.

Povești

Există câteva povești care propun o versiune narativă a paradoxului. Unul dintre acestea este „Hotelul extraordinar” al matematicianului rus Naum Yakovlevich Vilenkin ^[1] (deși deseori atribuit în mod eronat lui Stanisław Lem ). Există, de asemenea, o versiune a lui Ian Stewart . În povestea lui Vilenkin se propune aranjarea oaspeților în funcție de pătratele matricei descrise mai sus, adică în camera 1 oaspetele este plasat cu n = 1 și m = 1 (adică oaspetele rămâne acolo unde este); în camera 2, oaspetele hotelului 1 stă în camera 2 ( m = 1 și n = 2) și apoi în camera 3 oaspetele m = 2 și n = 2 (hotel 2 camera 2), în camera 4 oaspetele a hotelului 2 și a camerei 1 adică m = 2, n = 1 și apoi continuăm să numărăm prin asocierea numerelor 5, 6, 7, 8 și 9 cu perechile ( m , n ) respectiv în această ordine (1, 3 ), (2,3), (3,3), (3,2) și (3,1) și așa mai departe cu următoarele pătrate (pentru numerele 10, 11 etc.). În poveste, Lem propune următoarele formule pentru a calcula numărul camerei: dacă m < n , atunci numărul camerei este n ² - m + 1 în timp ce dacă este m ≥ n , atunci numărul camerei este ( m - 1) ² + n . În acest fel, în poveste, reușește să găzduiască oaspeți infiniti ai hotelurilor infinite într-un singur hotel cu camere infinite, deja toate ocupate!

Paradoxul hotelului infinit este , de asemenea , găsite în cartea „Infinitul“ , de John Barrow David în capitolul III , intitulat „Bine ați venit la Hotel Infinit“, și a fost preluat în spectacol infinitati de către Barrow și Luca Ronconi . ^[2] ^[3]

Notă

^ (EN) Naum Yakovlevich Vilenkin, Povestiri despre seturi , tradus de Scripta Technica, Academic Press, 1968, pp. 4 -15, ISBN 978-0-12-721951-6 .
^ Repertoriul Piccolo Teatro , pe archivi.piccoloteatro.org . Adus pe 2 aprilie 2021 .
^ Marcello Norberth, Il Piccolo e il Politecnico pentru "Infinities", la 19 ani de la debut , pe piccoloteatro.org . Adus la 2 aprilie 2021 (Arhivat din original la 5 martie 2021) .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Hilbert's Grand Hotel Paradox

linkuri externe

Infinities arată video

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Naum Yakovlevich Vilenkin, Povestiri despre seturi , tradus de Scripta Technica, Academic Press, 1968, pp. 4 -15, ISBN 978-0-12-721951-6 .

[2] Repertoriul Piccolo Teatro , pe archivi.piccoloteatro.org . Adus pe 2 aprilie 2021 .

[3] Marcello Norberth, Il Piccolo e il Politecnico pentru "Infinities", la 19 ani de la debut , pe piccoloteatro.org . Adus la 2 aprilie 2021 (Arhivat din original la 5 martie 2021) .

[1]

[2]

[3]