Permanent (matematică)

În matematică , permanentul unei matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , de elemente $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ este definit ca

\operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma _{i}},

{\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i \ sigma _ {i}},}

{\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i \ sigma _ {i}},}

unde este $\sigma _{i}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ $\ sigma _ {i}$ reprezintă o permutare , adică un element al grupului simetric $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ . Definiția amintește definiția foarte similară a determinantului : există aceleași addende, dar cu singura diferență că în determinant sunt unii cu semnul plus și alții cu semnul minus, în permanent sunt toți cu semnul plus. De fapt, ca și acesta din urmă, permanentul este un caz particular de imanent , o operație mai generală pe matricile de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Spre deosebire de determinant, permanentul nu are o simplă interpretare geometrică. Este utilizat în principal în combinatorică și în studiul bosonilor .

Proprietate

Considerând permanentul ca o funcție ale cărei argumente sunt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori, este o aplicație multiliniară și este simetrică.

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice pătrată de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ avem:

$\operatorname {perm} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A)}$ este invariant sub permutări arbitrare de rânduri sau coloane de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ;
înmulțind un rând sau o coloană cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru o urcare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ permanentul este, de asemenea, înmulțit cu $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ;
$\operatorname {perm} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A)}$ este invariant în ceea ce privește transpunerea , adică $\operatorname {perm} (A^{T})=\operatorname {perm} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A ^ {T}) = \ operatorname {perm} (A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A ^ {T}) = \ operatorname {perm} (A)}$ .

De sine $A=(a_{ij})$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ Și $B=(b_{ij})$ ${\ displaystyle B = (b_ {ij})}$ ${\ displaystyle B = (b_ {ij})}$ sunt matrici pătrate de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de

\operatorname {perm} (A+B)=\sum _{I,J}\operatorname {perm} (a_{ij})_{i\in I,j\in J}\operatorname {perm} (b_{ij})_{i\in {\bar {I}},j\in {\bar {J}}},

{\ displaystyle \ operatorname {perm} (A + B) = \ sum _ {I, J} \ operatorname {perm} (a_ {ij}) _ {i \ in I, j \ in J} \ operatorname {perm} (b_ {ij}) _ {i \ in {\ bar {I}}, j \ in {\ bar {J}}},}

{\ displaystyle \ operatorname {perm} (A + B) = \ sum _ {I, J} \ operatorname {perm} (a_ {ij}) _ {i \ in I, j \ in J} \ operatorname {perm} (b_ {ij}) _ {i \ in {\ bar {I}}, j \ in {\ bar {J}}},}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ sunt subseturi de $\{1,2,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$ $\ {1,2, \ ldots, n \}$ care au aceeași cardinalitate și ${\bar {I}}$ ${\ displaystyle {\ bar {I}}}$ ${\ bar {I}}$ Și ${\bar {J}}$ ${\ displaystyle {\ bar {J}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {J}}}$ sunt complementele respective din acel set.

Pe de altă parte, proprietatea multiplicativă a determinantului nu este satisfăcută de permanent. De exemplu:

4=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\neq \operatorname {perm} \left(\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\right)=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}2&2\\2&2\end{matrix}}\right)=8.

{\ displaystyle 4 = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ neq \ operatorname {perm} \ left (\ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ right) = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \ end {matrix}} \ right) = 8.}

{\ displaystyle 4 = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ neq \ operatorname {perm} \ left (\ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ right) = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \ end {matrix}} \ right) = 8.}

Pentru calculul permanentului este valabilă o formulă similară cu dezvoltarea Laplace a determinantului, în care toate semnele minorilor sunt pozitive. De exemplu, dezvoltând următoarea matrice de-a lungul primei coloane pe care o avem

{\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+2\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+\ 3\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)=\\&=1(1)+2(1)+3(1)+4(1)=10,\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) & = 1 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) +2 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) + \ 3 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end { matrix}} \ right) +4 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ dreapta) = \\ & = 1 (1) +2 (1) +3 (1) + 4 (1) = 10, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) & = 1 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) +2 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) + \ 3 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end { matrix}} \ right) +4 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ dreapta) = \\ & = 1 (1) +2 (1) +3 (1) + 4 (1) = 10, \ end {align}}}

în timp ce ne dezvoltăm cu privire la ultima linie pe care o avem

{\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)+0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&0&0\\3&1&0\end{matrix}}\right)+\ 0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&0\end{matrix}}\right)+1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&1\end{matrix}}\right)=\\&=4(1)+0+0+1(6)=10.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) & = 4 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ right) +0 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \ \ 3 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ right) + \ 0 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \ end { matrix}} \ right) +1 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ dreapta) = \\ & = 4 (1) + 0 + 0 + 1 (6) = 10. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) & = 4 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ right) +0 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \ \ 3 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ right) + \ 0 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \ end { matrix}} \ right) +1 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ dreapta) = \\ & = 4 (1) + 0 + 0 + 1 (6) = 10. \ end {align}}}

Aplicații

Același subiect în detaliu: a doua cuantificare .

În mecanica cuantică , în multe sisteme de bosoni , permanentul poate fi utilizat pentru a determina o stare complet simetrică care descrie o anumită configurație a sistemului, într-un mod care este complet analog cu determinantul Slater pentru multe sisteme de fermioni .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică