Rădăcină numerică multiplicativă

În teoria numerelor , rădăcina numerică multiplicativă (sau rădăcina digitală multiplicativă ) a unui număr natural dintr-o bază dată este un număr care se obține înmulțind cifrele acelui număr și iterând procesul până când se obține un număr dintr-o singură cifră. Dacă baza nu este specificată, înseamnă rădăcina numerică multiplicativă în baza 10 .

De exemplu, rădăcina numărului multiplicativ al 31917 este 4 , deoarece 3 · 1 · 9 · 1 · 7 = 189; 1 8 9 = 72; 7 2 = 14; 1 4 = 4. Deoarece a fost nevoie de 4 pași pentru a ajunge la rădăcina numărului multiplicativ, numărul 31917 are o persistență multiplicativă de 4.

Rădăcina numerică multiplicativă este analogul cu privire la înmulțirea rădăcinii numerice cu privire la adunare .

n	Primele numere care au n ca bază 10 rădăcină numerică multiplicativă
0	0, 10, 20, 25, 30, 40, 45, 50, 52, 54, 55, 56, 58 ^[1]
1	1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111 ^[2]
2	2, 12, 21, 26, 34, 37, 43, 62, 73, 112, 121, 126 ^[3]
3	3, 13, 31, 113, 131, 311, 1113, 1131, 1311, 3111 ^[4]
4	4, 14, 22, 27, 39, 41, 72, 89, 93, 98, 114, 122 ^[5]
5	5, 15, 35, 51, 53, 57, 75, 115, 135, 151, 153, 157 ^[6]
6	6, 16, 23, 28, 32, 44, 47, 48, 61, 68, 74, 82, 84 ^[7]
7	7, 17, 71, 117, 171, 711, 1117, 1171, 1711, 7111 ^[8]
8	8, 18, 24, 29, 36, 38, 42, 46, 49, 63, 64, 66, 67 ^[9]
9	9, 19, 33, 91, 119, 133, 191, 313, 331, 911, 1119 ^[10]

Persistența multiplicativă

De câte ori este necesar să se repete înmulțirea cifrelor se numește persistența multiplicativă a numărului. În momentul de față se cunosc, în baza 10, numere cu persistență multiplicativă variind de la 1 la 11. Dacă există cel puțin un număr cu o persistență multiplicativă mai mare de 11, acesta trebuie să fie mai mare de 10 ²³³ ^[11] . Se presupune că cel mai mare număr fără cifre 1 care are 11 ca persistență multiplicativă este 7777773333222222222222222222222. O conjectură mai largă presupune că, pentru fiecare p mai mare de 2, există întotdeauna un număr maxim fără cifre 1 cu persistență multiplicativă p .
În baza 2 , persistența maximă multiplicativă este 1. Nu cunoaștem valori maxime ale persistenței multiplicative în alte baze de numerotare; dacă, după cum s-a presupus, toate puterile de 2 2 ^m cu m > 15 conțin cel puțin o cifră 0 în baza 3 , ar rezulta că valoarea maximă pentru persistența multiplicativă în baza 3 este 3 ^[12] .
Matematicianul Paul Erdős a demonstrat că, ignorând zerourile, persistența multiplicativă a unui număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ merită cel mult

c\ln \ln n

{\ displaystyle c \ ln \ ln n}

{\ displaystyle c \ ln \ ln n}

,

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o constantă care depinde de baza de numerotare utilizată.

Conjectura lui Sloane asupra persistenței multiplicative

În 1973 , matematicianul Neil Sloane a avansat ipoteza că niciun număr nu poate avea o persistență multiplicativă mai mare decât numărul în sine. Problema este încă deschisă în ceea ce privește bazele tipice de numerotare. În ceea ce privește baza factorială , un sistem de numerotare exotic, a fost găsit în schimb un contraexemplu. Într-adevăr, în baza factorială, este posibil să se găsească numere cu o persistență multiplicativă arbitrar mare, dat fiind faptul că

n!n+\sum _{i=1}^{i-1}i!

{\ displaystyle n! n + \ sum _ {i = 1} ^ {i-1} i!}

{\ displaystyle n! n + \ sum _ {i = 1} ^ {i-1} i!}

are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ atât ca rădăcină numerică multiplicativă, cât și ca persistență multiplicativă și, prin urmare, este limita superioară a numărului necesar ^[13] .

Generalizări

Conceptul de persistență multiplicativă poate fi generalizat prin înmulțirea, în locul cifrelor în sine, a puterii lor k-a până când rezultatul este constant. Persistența față de această operație se numește „ k- persistență multiplicativă”; persistența multiplicativă normală este 1-persistența multiplicativă. Cu k > 2, iterația procedurii duce întotdeauna la 1 pentru numerele de cifre repetate și la 0 pentru toate celelalte numere.

**k -persistențe multiplicative pentru primul k**
k	k - persistența multiplicativă a primilor numere întregi
2	0, 7, 6, 6, 3, 5, 5, 4, 5, 1, ... ^[14]
3	0, 4, 5, 4, 3, 4, 4, 3, 3, 1, ... ^[15]
4	0, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 1, ... ^[16]
5	0, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 1, ... ^[17]
6	0, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, ... ^[18]
7	0, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 1, ... ^[19]
8	0, 3, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 1, ... ^[20]
9	0, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 1, ... ^[21]
10	0, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, ... ^[22]

Notă

^ (EN) secvența A034048 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A002275 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034049 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034050 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034051 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034052 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034053 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034054 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034055 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A034056 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ Phil Carmody, OEIS A003001 și un „Mesaj Zero-Length” , 23 iulie 2003.
^ Richard K. Guy , Probleme nerezolvate în teoria numerelor , ediția a II-a, New York, Springer-Verlag, 1994, pp. 262-263, ISBN 978-0-387-20860-2 .
^ Mark R. Diamond, Daniel D. Reidpath, Un contraexemplu la conjecturi de Sloane și Erdős privind persistența numerelor ( PDF ), în Journal of Recreational Mathematics , 29 (2), 1998, pp. 89-92.
^ (EN) secvența A031348 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031349 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031350 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031351 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031352 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031353 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031354 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031355 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A031356 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, rădăcină digitală multiplicativă , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) rădăcină digitală multiplicativă , în PlanetMath .
( EN ) Eric W. Weisstein, Persistența multiplicativă , în MathWorld , Wolfram Research.
(EN) Conjectura lui Sloane despre rădăcina digitală multiplicativă în PlanetMath .

Secvențe numerice

( EN ) Sequence A031347 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : baza 10 rădăcini numerice multiplicative ale primelor numere naturale
( EN ) Sequence A031346 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : persistența multiplicativă în baza 10 a primelor numere naturale
( EN ) Sequence A003001 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru fiecare n , numere mai mici cu persistență multiplicativă n
( EN ) Secvența A014553 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru fiecare n , persistența maximă multiplicativă a unui număr de n cifre
( EN ) Secvența A046148 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru fiecare n , cantitatea de n- cifre cu persistență multiplicativă maximă
( EN ) Sequence A046149 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru fiecare n , numere mai mici de n cifre cu cea mai mare persistență multiplicativă pentru acel număr de cifre
( EN ) Sequenza A046150 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru fiecare n , un număr mai mare de n cifre cu cea mai mare persistență multiplicativă cu acel număr de cifre
( EN ) Sequenza A046500 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru fiecare n , numere prime mai mici cu persistență multiplicativă n .
( EN ) Sequenza A035927 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru fiecare n , numărul de numere distincte de n cifre care nu pot fi obținute prin permutări ale cifrelor altor numere

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A034048 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[2] (EN) secvența A002275 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[3] (EN) secvența A034049 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[4] (EN) secvența A034050 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[5] (EN) secvența A034051 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[6] (EN) secvența A034052 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[7] (EN) secvența A034053 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[8] (EN) secvența A034054 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[9] (EN) secvența A034055 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[10] (EN) secvența A034056 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[11] Phil Carmody, OEIS A003001 și un „Mesaj Zero-Length” , 23 iulie 2003.

[12] Richard K. Guy , Probleme nerezolvate în teoria numerelor , ediția a II-a, New York, Springer-Verlag, 1994, pp. 262-263, ISBN 978-0-387-20860-2 .

[13] Mark R. Diamond, Daniel D. Reidpath, Un contraexemplu la conjecturi de Sloane și Erdős privind persistența numerelor ( PDF ), în Journal of Recreational Mathematics , 29 (2), 1998, pp. 89-92.

[14] (EN) secvența A031348 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[15] (EN) secvența A031349 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[16] (EN) secvența A031350 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[17] (EN) secvența A031351 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[18] (EN) secvența A031352 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[19] (EN) secvența A031353 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[20] (EN) secvența A031354 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[21] (EN) secvența A031355 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[22] (EN) secvența A031356 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]