Problema vitelor lui Arhimede

Problema vitelor lui Arhimede (sau problema bovinului sau problema Archimedis ) este o problemă în analiza diofantină , studiul ecuațiilor polinomiale cu soluții întregi . Atribuită lui Arhimede , problema se referă la calculul numărului de vite dintr-o turmă a zeului soarelui dintr-un set dat de restricții. Problema a fost descoperită de Gotthold Ephraim Lessing într-un manuscris grecesc care conținea un poem de patruzeci și patru de rânduri în Biblioteca Herzog August din Wolfenbüttel , Germania , în 1773. ^[1]

Problema a rămas nerezolvată câțiva ani, parțial din cauza dificultății de calcul a numărului uriaș implicat în soluție. Soluția generală a fost găsită în 1880 de Carl Ernst August Amthor (1845-1916), directorul Gymnasium zum Heiligen Kreuz (Gimnaziul Sfintei Cruci) din Dresda , Germania . ^[2] ^[3] ^[4] Folosind tabele logaritmice , el a calculat primele cifre ale celei mai mici soluții, arătând că este $7.76\times 10^{206544}$ ${\ displaystyle 7,76 \ ori 10 ^ {206544}}$ ${\ displaystyle 7,76 \ ori 10 ^ {206544}}$ vite, mult mai mult decât ar putea fi în universul observabil . ^[5] Forma zecimală este prea lungă pentru a putea fi calculată exact de oameni, dar pachetele aritmetice de precizie multiple de pe computere o pot explica în mod explicit.

Istorie

În 1769 Gotthold Ephraim Lessing a fost numit bibliotecar al Bibliotecii Herzog August din Wolfenbüttel , Germania, care conținea multe manuscrise grecești și latine. ^[6] Câțiva ani mai târziu, Lessing a publicat traduceri ale unor manuscrise cu comentarii. Printre acestea se număra un poem grecesc de patruzeci și patru de versuri, conținând o problemă aritmetică care cere cititorului să găsească numărul de vite din turma zeului soarelui. Acum este atribuit în general lui Arhimede. ^[7] ^[8]

Problemă

Problema, dintr-un rezumat al traducerilor în germană publicate de Georg Nesselmann în 1842 și de Krumbiegel în 1880, afirmă:

Calculați, prietene, numărul vitelor soarelui care pășeau odinioară pe câmpiile Siciliei , împărțit după culoare în patru turme, unul „alb” ca laptele, unul „negru”, unul „pătat” și unul „galben” . Numărul taurilor este mai mare decât numărul vacilor, iar relațiile dintre ele sunt după cum urmează:
Tauri albi $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} \ right)}$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} \ right)}$ tauri negri + tauri galbeni,
Tauri negri $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} \ right)}$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} \ right)}$ tauri pata + tauri galbeni,
Tauri Piebald $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} \ right)}$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} \ right)}$ tauri albi + tauri galbeni,
Vacile albe $=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} \ right)}$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} \ right)}$ turma neagra,
Vaci negre $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} \ right)}$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} \ right)}$ turmă dappled,
Vaci reperate $=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} \ right)}$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} \ right)}$ turmă galbenă,
Vacile galbene $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} \ right)}$ ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} \ right)}$ turmă albă.
Dacă poți da, prietene, numărul de tot felul de tauri și vaci, nu ești un novice în cifre, totuși nu poți fi considerat de mare pricepere. Luați în considerare, totuși, următoarele relații suplimentare între taurii soare:
Tauri albi + tauri negri = un număr pătrat ,
Tauri Piebald + tauri galbeni = un număr triunghiular .
Dacă ați calculat și acestea, prietene, și ați găsit numărul total de vite, bucurați-vă ca un câștigător, pentru că v-ați dovedit cel mai priceput în număr. ^[9]

Soluţie

Prima parte a problemei poate fi ușor rezolvată prin stabilirea unui sistem de ecuații liniare . Dacă numărul taurilor albi, negri, motivi și galbeni este scris ca $W, B., D.,$ ${\ displaystyle W, B, D,}$ ${\ displaystyle W, B, D,}$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ iar numărul vacilor albe, negre, pestrițe și galbene este scris ca $w, b, d,$ ${\ displaystyle w, b, d,}$ ${\ displaystyle w, b, d,}$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , problema este pur și simplu să găsim o soluție pentru:

{\begin{aligned}W&{}={\frac {5}{6}}B+Y\\B&{}={\frac {9}{20}}D+Y\\D&{}={\frac {13}{42}}W+Y\\w&{}={\frac {7}{12}}(B+b)\\b&{}={\frac {9}{20}}(D+d)\\d&{}={\frac {11}{30}}(Y+y)\\y&{}={\frac {13}{42}}(W+w)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W & {} = {\ frac {5} {6}} B + Y \\ B & {} = {\ frac {9} {20}} D + Y \\ D & {} = {\ frac {13} {42}} W + Y \\ w & {} = {\ frac {7} {12}} (B + b) \\ b & {} = {\ frac { 9} {20}} (D + d) \\ d & {} = {\ frac {11} {30}} (Y + y) \\ y & {} = {\ frac {13} {42}} (W + w) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W & {} = {\ frac {5} {6}} B + Y \\ B & {} = {\ frac {9} {20}} D + Y \\ D & {} = {\ frac {13} {42}} W + Y \\ w & {} = {\ frac {7} {12}} (B + b) \\ b & {} = {\ frac { 9} {20}} (D + d) \\ d & {} = {\ frac {11} {30}} (Y + y) \\ y & {} = {\ frac {13} {42}} (W + w) \ end {align}}}

care este un sistem de șapte ecuații cu opt necunoscute. Este nedeterminat și are soluții infinite. Minimul de numere întregi pozitive care îndeplinesc cele șapte ecuații sunt:

{\begin{aligned}B&{}=7{,}460{,}514\\W&{}=10{,}366{,}482\\D&{}=7{,}358{,}060\\Y&{}=4{,}149{,}387\\b&{}=4{,}893{,}246\\w&{}=7{,}206{,}360\\d&{}=3{,}515{,}820\\y&{}=5{,}439{,}213\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} B & {} = 7 {,} 460 {,} 514 \\ W & {} = 10 {,} 366 {,} 482 \\ D & {} = 7 {,} 358 {,} 060 \\ Y & {} = 4 {,} 149 {,} 387 \\ b & {} = 4 {,} 893 {,} 246 \\ w & {} = 7 {,} 206 { ,} 360 \\ d & {} = 3 {,} 515 {,} 820 \\ y & {} = 5 {,} 439 {,} 213 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} B & {} = 7 {,} 460 {,} 514 \\ W & {} = 10 {,} 366 {,} 482 \\ D & {} = 7 {,} 358 {,} 060 \\ Y & {} = 4 {,} 149 {,} 387 \\ b & {} = 4 {,} 893 {,} 246 \\ w & {} = 7 {,} 206 { ,} 360 \\ d & {} = 3 {,} 515 {,} 820 \\ y & {} = 5 {,} 439 {,} 213 \ end {align}}}

care reprezintă un total de 50.389.082 bovine ^[9], iar celelalte soluții sunt multipli integrali ai acestora. Rețineți că primele patru numere sunt multipli de 4657, o valoare care va apărea în mod repetat mai jos.

Soluția generală a celei de-a doua părți a problemei a fost găsită pentru prima dată de A. Amthor ^[10] în 1880. Următoarea versiune a fost descrisă de HW Lenstra, ^[5] pe baza ecuației lui Pell : soluția dată mai sus pentru prima parte a problemei trebuie înmulțită cu

n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}}\,

{\ displaystyle n = {\ frac {(w ^ {4658j} -w ^ {- 4658j}) ^ {2}} {(4657) (79072)}} \,}

{\ displaystyle n = {\ frac {(w ^ {4658j} -w ^ {- 4658j}) ^ {2}} {(4657) (79072)}} \,}

unde este

w=300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}}

{\ displaystyle w = 300426607914281713365 {\ sqrt {609}} + 84129507677858393258 {\ sqrt {7766}}}

{\ displaystyle w = 300426607914281713365 {\ sqrt {609}} + 84129507677858393258 {\ sqrt {7766}}}

și j este un număr întreg pozitiv. În mod echivalent, cvadratura w se traduce prin,

w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}}\,

{\ displaystyle w ^ {2} = u + v {\ sqrt {(609) (7766)}} \,}

{\ displaystyle w ^ {2} = u + v {\ sqrt {(609) (7766)}} \,}

unde { u , v } sunt soluțiile fundamentale ale ecuației lui Pell

u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1

{\ displaystyle u ^ {2} - (609) (7766) v ^ {2} = 1}

{\ displaystyle u ^ {2} - (609) (7766) v ^ {2} = 1}

Cea mai mică dimensiune a efectivului care ar putea satisface atât prima, cât și a doua parte a problemei este, prin urmare, dată de j = 1 și este aproximativ $7.76\times 10^{206544}$ ${\ displaystyle 7,76 \ ori 10 ^ {206544}}$ ${\ displaystyle 7,76 \ ori 10 ^ {206544}}$ (rezolvat pentru prima dată de Amthor). Calculatoarele moderne pot imprima cu ușurință toate cifrele răspunsului. Acest lucru a fost făcut pentru prima dată la Universitatea din Waterloo în 1965 de Hugh C. Williams, RA German și Charles Robert Zarnke folosind o combinație a computerelor IBM 7040 și IBM 1620. ^[11]

Ecuația Pell

Constrângerile celei de-a doua părți a problemei sunt clare și se poate furniza cu ușurință ecuația Pell reală care trebuie rezolvată. Mai întâi, cerem ca B + W să fie un pătrat sau folosind valorile de mai sus,

B+W=7{,}460{,}514k+10{,}366{,}482k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k\,

{\ displaystyle B + W = 7 {,} 460 {,} 514k + 10 {,} 366 {,} 482k = (2 ^ {2}) (3) (11) (29) (4657) k \,}

{\ displaystyle B + W = 7 {,} 460 {,} 514k + 10 {,} 366 {,} 482k = (2 ^ {2}) (3) (11) (29) (4657) k \,}

deci ar trebui să setați k = (3) (11) (29) (4657) q ² pentru un număr întreg q . Aceasta rezolvă prima condiție. Pentru al doilea, este necesar ca D + Y să fie un număr triunghiular ,

D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}

{\ displaystyle D + Y = {\ frac {t ^ {2} + t} {2}}}

{\ displaystyle D + Y = {\ frac {t ^ {2} + t} {2}}}

Rezolvarea pentru t ,

t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}

{\ displaystyle t = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {1 + 8 (D + Y)}}} {2}}}

{\ displaystyle t = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {1 + 8 (D + Y)}}} {2}}}

Înlocuirea valorii lui D + Y și k și găsirea unei valori de q ² astfel încât discriminantul acestui pătratic să fie un pătrat perfect p ² implică rezolvarea ecuației Pell ,

p^{2}-(4)(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1\,

{\ displaystyle p ^ {2} - (4) (609) (7766) (4657 ^ {2}) q ^ {2} = 1 \,}

{\ displaystyle p ^ {2} - (4) (609) (7766) (4657 ^ {2}) q ^ {2} = 1 \,}

Abordarea lui Amthor discutată în secțiunea anterioară a fost în esență găsirea celui mai mic v, astfel încât să fie integral divizibil cu 2 · 4657. Soluția fundamentală a acestei ecuații are mai mult de 100.000 de cifre.

Notă

^ ( DE , EL ) Gotthold Ephraim Lessing, Zur Geschichte und Litteratur: aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel, Zweyter Beytrag , Braunschweig, Fürstlicher Waysenhaus, 1773, pp. 421-425. Din pp. 422–423: „Denn, wie gesagt, das Problem soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worden, doch von ihm für werth erkannt seyn, daß er es den Eratosthenes geschickunget hätte, um es den Meßkünstern z. Dieses besagt die Aufschrift; ... " (Pentru că, așa cum am menționat [mai sus], problema [greacă: ΠΡΟΒΛΗΜΑ], de asemenea, dacă nu ar fi fost postulată de Arhimede [greacă: Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ], ar fi fost [de el] recunoscută ca fiind importantă l-ar fi trimis lui Eratostene [în greacă: ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ], pentru a fi examinat de către cărturari din Alexandria pentru soluție. Titlul spune acest lucru; ...) vezi pp. 423–424 (în greacă).
^ ( DE , EL , LA ) B. Krumbiegel și A. Amthor, Das Problema bovinum des Archimedes , în Zeitschrift für Mathematik und Physik :. Historisch-literarische Abtheilung [Revista pentru matematică și fizică: secțiunea istorico-literară] , vol. 25, 1880, pp. 121–136, 153–171.
^ Informații biografice despre August Amthor:
- Numele lui Amthor apare în: ( DE ) (Administrația școlii), Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz în Dresda , Dresda, Germania, K. Blochmann und Sohn, 1876, p. 31.
- o scurtă biografie a lui Amthor se află în: (EN) Isadore Singer și Edward Warren de Leon (ed.), Amthor, August (Ph.D.) în International Insurance Encyclopedia, vol. 1, New York, New York, SUA, American Encyclopedic Library Association, 1910, p. 18.
^ Problema a fost rezolvată, în mod independent, în 1895 de Adam Henry Bell, inginer civil din Hillsboro, Illinois, SUA. Vezi:
- AH Bell, Despre celebrul „Problemă a bovinelor” din Arhimede , în The Mathematical Magazine , vol. 2, 1895, pp. 163–164.
- AH Bell, „Cattle Problem” de Archimedes 251 î.Hr. , în American Mathematical Monthly , vol. 2, 1895, pp. 140–141.
- Numele lui Bell apare în: Newton Bateman și Paul Selby (ed.), Fish, Albert E. , în Historical Encyclopedia of Illinois , vol. 2, Chicago, Illinois, SUA, Munsell Publishing Co., 1918, pp. 1049-1050. ; vezi p. 1050.
- Ocupația lui Bell este descrisă în: Mansfield Merriman, The bovine problem of Archimedes , în Popular Science Monthly , vol. 67, noiembrie 1905, pp. 660-665. ; vezi p. 664.
^ ^A ^b (EN) Rezolvarea ecuației Pell (PDF), vol. 49, 2002, MR 1875156 .
^ (EN) Declarația bovinelor Arhimede pe mcs.drexel.edu. Adus pe 9 aprilie 2021 (arhivat din original la 24 ianuarie 2007) .
^ (EN) PM Fraser, Ptolemaic Alexandria, Oxford University Press , 1972.
^ (EN) A. Weil , The Number Theory, an Approach Through History, Birkhäuser, 1972.
^ ^A ^b (EN) Mansfield Merriman, The Cattle Problem of Archimedes, în Popular Science Monthly , vol. 67, 1905, pp. 660-665.
^ B. Krumbiegel, A. Amthor, Das Problema Bovinum des Archimedes , Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 25 (1880) 121–136, 153–171.
^ (EN) Harold Alkema și Kenneth McLaughlin, Unbundling Computing la Universitatea din Waterloo , pe cs.uwaterloo.ca, 2007.

Bibliografie

AH Bell, „Problema bovinelor”. De Archimedies 251 BC , în The American Mathematical Monthly , vol. 2, nr. 5, Mathematical Association of America, 1895, pp. 140–141, DOI : 10.2307 / 2968125 , JSTOR 2968125 .
Heinrich Dörrie, Problema Bovinum a lui Arhimede , în 100 Great Problems of Elementary Mathematics , Dover Publications, 1965, pp. 3-7.
HC Williams, German, RA și Zarnke, CR, Solution of the Cattle Problem of Archimedes , în Mathematics of Computation , vol. 19, nr. 92, American Mathematical Society , 1965, pp. pp . 671–674, DOI : 10.2307 / 2003954 , JSTOR 2003954 .
I. Vardi, Archimedes 'Cattle Problem , în American Mathematical Monthly , vol. 105, nr. 4, Mathematical Association of America, 1998, pp. pp . 305–319, DOI : 10.2307 / 2589706 .
G. Benson, Archimedes Poet: Generic Innovation and Mathematical Fantasy in the Cattle Problem , în Arethusa , vol. 47, nr. 2, Johns Hopkins University Press , 2014, pp. pp . 169–196, DOI : 10.1353 / are.2014.0008 .

linkuri externe

( EN ) Problema vitelor lui Arhimede , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Extindere zecimală a soluției întregi de 206545 cifre la problema vitelor lui Arhimede , la oeis.org . soluție zecimală completă la a doua problemă
( RO ) The Archimedes Number - Numberphile , pe YouTube .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ( DE , EL ) Gotthold Ephraim Lessing, Zur Geschichte und Litteratur: aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel, Zweyter Beytrag , Braunschweig, Fürstlicher Waysenhaus, 1773, pp. 421-425. Din pp. 422–423: „Denn, wie gesagt, das Problem soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worden, doch von ihm für werth erkannt seyn, daß er es den Eratosthenes geschickunget hätte, um es den Meßkünstern z. Dieses besagt die Aufschrift; ... " (Pentru că, așa cum am menționat [mai sus], problema [greacă: ΠΡΟΒΛΗΜΑ], de asemenea, dacă nu ar fi fost postulată de Arhimede [greacă: Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ], ar fi fost [de el] recunoscută ca fiind importantă l-ar fi trimis lui Eratostene [în greacă: ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ], pentru a fi examinat de către cărturari din Alexandria pentru soluție. Titlul spune acest lucru; ...) vezi pp. 423–424 (în greacă).

[2] ( DE , EL , LA ) B. Krumbiegel și A. Amthor, Das Problema bovinum des Archimedes , în Zeitschrift für Mathematik und Physik :. Historisch-literarische Abtheilung [Revista pentru matematică și fizică: secțiunea istorico-literară] , vol. 25, 1880, pp. 121–136, 153–171.

[3] Informații biografice despre August Amthor:
Numele lui Amthor apare în: ( DE ) (Administrația școlii), Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz în Dresda , Dresda, Germania, K. Blochmann und Sohn, 1876, p. 31.
o scurtă biografie a lui Amthor se află în: (EN) Isadore Singer și Edward Warren de Leon (ed.), Amthor, August (Ph.D.) în International Insurance Encyclopedia, vol. 1, New York, New York, SUA, American Encyclopedic Library Association, 1910, p. 18.

[4] Numele lui Amthor apare în: ( DE ) (Administrația școlii), Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz în Dresda , Dresda, Germania, K. Blochmann und Sohn, 1876, p. 31.

[5] scurtă biografie a lui Amthor se află în: (EN) Isadore Singer și Edward Warren de Leon (ed.), Amthor, August (Ph.D.) în International Insurance Encyclopedia, vol. 1, New York, New York, SUA, American Encyclopedic Library Association, 1910, p. 18.

[4] Problema a fost rezolvată, în mod independent, în 1895 de Adam Henry Bell, inginer civil din Hillsboro, Illinois, SUA. Vezi:
AH Bell, Despre celebrul „Problemă a bovinelor” din Arhimede , în The Mathematical Magazine , vol. 2, 1895, pp. 163–164.
AH Bell, „Cattle Problem” de Archimedes 251 î.Hr. , în American Mathematical Monthly , vol. 2, 1895, pp. 140–141.
Numele lui Bell apare în: Newton Bateman și Paul Selby (ed.), Fish, Albert E. , în Historical Encyclopedia of Illinois , vol. 2, Chicago, Illinois, SUA, Munsell Publishing Co., 1918, pp. 1049-1050. ; vezi p. 1050.
Ocupația lui Bell este descrisă în: Mansfield Merriman, The bovine problem of Archimedes , în Popular Science Monthly , vol. 67, noiembrie 1905, pp. 660-665. ; vezi p. 664.

[7] AH Bell, Despre celebrul „Problemă a bovinelor” din Arhimede , în The Mathematical Magazine , vol. 2, 1895, pp. 163–164.

[8] AH Bell, „Cattle Problem” de Archimedes 251 î.Hr. , în American Mathematical Monthly , vol. 2, 1895, pp. 140–141.

[9] Numele lui Bell apare în: Newton Bateman și Paul Selby (ed.), Fish, Albert E. , în Historical Encyclopedia of Illinois , vol. 2, Chicago, Illinois, SUA, Munsell Publishing Co., 1918, pp. 1049-1050. ; vezi p. 1050.

[10] Ocupația lui Bell este descrisă în: Mansfield Merriman, The bovine problem of Archimedes , în Popular Science Monthly , vol. 67, noiembrie 1905, pp. 660-665. ; vezi p. 664.

[Lenstra2002-5] A ^b (EN) Rezolvarea ecuației Pell (PDF), vol. 49, 2002, MR 1875156 .

[rorres-6] (EN) Declarația bovinelor Arhimede pe mcs.drexel.edu. Adus pe 9 aprilie 2021 (arhivat din original la 24 ianuarie 2007) .

[7] (EN) PM Fraser, Ptolemaic Alexandria, Oxford University Press , 1972.

[8] (EN) A. Weil , The Number Theory, an Approach Through History, Birkhäuser, 1972.

[merriman1905-9] A ^b (EN) Mansfield Merriman, The Cattle Problem of Archimedes, în Popular Science Monthly , vol. 67, 1905, pp. 660-665.

[10] B. Krumbiegel, A. Amthor, Das Problema Bovinum des Archimedes , Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 25 (1880) 121–136, 153–171.

[11] (EN) Harold Alkema și Kenneth McLaughlin, Unbundling Computing la Universitatea din Waterloo , pe cs.uwaterloo.ca, 2007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]