Problema Riemann

O imagine a matematicianului Bernhard Riemann, de la care își ia numele problema Riemann

O problemă Riemann , numită după matematicianul și fizicianul german Bernhard Riemann , este o problemă de valoare inițială constând dintr-o lege de conservare și o condiție inițială constând din două stări constante separate printr-o singură discontinuitate. ^[1] Problema Riemann este deosebit de utilă pentru înțelegerea și rezolvarea sistemelor hiperbolice, cum ar fi ecuațiile Euler , deoarece unele proprietăți, cum ar fi undele de șoc și rarefacție, care pot fi analizate în contextul unei probleme Riemann, apar în mod natural în soluția lor de mai jos de caracteristici .

În analiza numerică , problemele Riemann apar în cadrul metodelor numerice ale volumelor finite : din acest motiv sunt utilizate pe scară largă în dinamica de calcul a gazelor și dinamica fluidelor , în care problemele Riemann sunt rezolvate prin intermediul unor rezolvători speciali.

Problema Riemann în dinamica gazelor

Structura problemei Riemann

De exemplu, investigăm proprietățile problemei Riemann unidimensionale aplicate dinamicii gazelor. ^[2] Se compune din legile liniarizate ale dinamicii gazelor (în care $\rho \left(x,t\right)$ ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t \ right)}$ ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t \ right)}$ Și $u\left(x,t\right)$ ${\ displaystyle u \ left (x, t \ right)}$ ${\ displaystyle u \ left (x, t \ right)}$ sunt densitatea și viteza particulelor de gaz, respectiv, $\rho _{0}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0}}$ $\ rho _ {0}$ este o valoare a densității de referință și se presupune $a\geq 0$ ${\ displaystyle a \ geq 0}$ ${\ displaystyle a \ geq 0}$ fără pierderea generalității):

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ rho _ {0} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} & = 0 \\ [8pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {a ^ {2}} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x }} & = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ rho _ {0} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} & = 0 \\ [8pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {a ^ {2}} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x }} & = 0 \ end {align}}}

însoțită de următoarea condiție inițială:

{\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=U_{L}{\text{  per }}x\leq 0\qquad {\text{e}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=U_{R}{\text{  per }}x>0{\text{.}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {L} \\ u_ {L} \ end {bmatrix}} = U_ {L} {\ text {per}} x \ leq 0 \ qquad {\ text {e}} \ qquad {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ { R} \\ u_ {R} \ end {bmatrix}} = U_ {R} {\ text {per}} x> 0 {\ text {.}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {L} \\ u_ {L} \ end {bmatrix}} = U_ {L} {\ text {per}} x \ leq 0 \ qquad {\ text {e}} \ qquad {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ { R} \\ u_ {R} \ end {bmatrix}} = U_ {R} {\ text {per}} x> 0 {\ text {.}}}

Ideea $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ separă cele două stări inițiale diferite, definite respectiv la stânga și la dreapta . Sistemul de ecuații diferențiale poate fi rescris într-o formă conservatoare:

U_{t}+A\cdot U_{x}=0

{\ displaystyle U_ {t} + A \ cdot U_ {x} = 0}

{\ displaystyle U_ {t} + A \ cdot U_ {x} = 0}

:

unde este

U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle U = {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}}, \ quad A = {\ begin {bmatrix} 0 & \ rho _ {0} \\ {\ frac {a ^ { 2}} {\ rho _ {0}}} și 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle U = {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}}, \ quad A = {\ begin {bmatrix} 0 & \ rho _ {0} \\ {\ frac {a ^ { 2}} {\ rho _ {0}}} și 0 \ end {bmatrix}}}

iar indicele indică derivarea parțială cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sau $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Valorile proprii ale matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $\lambda _{1}=-a$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = - a}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = - a}$ Și $\lambda _{2}=a$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = a}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = a}$ , reprezintă viteza de propagare a undelor din interiorul mediului. Structura problemei Riemann luată în considerare constă deci din două impulsuri care se propagă pornind de la originea sistemului de referință ( $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ), primul cu viteză egală cu $-a$ ${\ displaystyle -a}$ $-la$ , al doilea cu viteză egală cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . În plan cartezian $x-t$ ${\ displaystyle xt}$ ${\ displaystyle x-t}$ aceste unde urmează așa-numitele curbe caracteristice ale sistemului, care în acest caz sunt două linii cu o pantă egală cu $-a^{-1}$ ${\ displaystyle -a ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle -a ^ {- 1}}$ Și $a^{-1}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$ $a ^ {{- 1}}$ : $t=-x/a$ ${\ displaystyle t = -x / a}$ ${\ displaystyle t = -x / a}$ Și $t=x/a$ ${\ displaystyle t = x / a}$ ${\ displaystyle t = x / a}$ . În stânga caracteristicii $t=-x/a$ ${\ displaystyle t = -x / a}$ ${\ displaystyle t = -x / a}$ se păstrează starea inițială stângă $U_{L}$ ${\ displaystyle U_ {L}}$ ${\ displaystyle U_ {L}}$ ; în dreapta caracteristicii $t=x/a$ ${\ displaystyle t = x / a}$ ${\ displaystyle t = x / a}$ se menține starea inițială corectă $U_{R}$ ${\ displaystyle U_ {R}}$ ${\ displaystyle U_ {R}}$ . În domeniul dintre cele două caracteristici, se generează o stare necunoscută constantă $U_{\star }$ ${\ displaystyle U _ {\ star}}$ ${\ displaystyle U _ {\ star}}$ .
Vectorii proprii corespunzători $\lambda _{1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ Și $\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$ Sunt

\mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}},

{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {(1)} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} ^ {(2) } = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {(1)} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} ^ {(2) } = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}},}

iar cu privire la acestea stările inițiale pot fi descompuse: pentru o anumită valoare a $\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alfa _ {1}$ , $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ , $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ , $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ puteți scrie apoi

U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}\qquad {\text{ e }}\qquad U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.

{\ displaystyle U_ {L} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {L} \\ u_ {L} \ end {bmatrix}} = \ alpha _ {1} \ mathbf {e} ^ {(1)} + \ alpha _ {2} \ mathbf {e} ^ {(2)} \ qquad {\ text {e}} \ qquad U_ {R} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {R} \\ u_ { R} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} \ mathbf {e} ^ {(1)} + \ beta _ {2} \ mathbf {e} ^ {(2)}.}

{\ displaystyle U_ {L} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {L} \\ u_ {L} \ end {bmatrix}} = \ alpha _ {1} \ mathbf {e} ^ {(1)} + \ alpha _ {2} \ mathbf {e} ^ {(2)} \ qquad {\ text {e}} \ qquad U_ {R} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {R} \\ u_ { R} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} \ mathbf {e} ^ {(1)} + \ beta _ {2} \ mathbf {e} ^ {(2)}.}

Soluția necunoscută $U_{\star }$ ${\ displaystyle U _ {\ star}}$ ${\ displaystyle U _ {\ star}}$ în final, se obține în funcție de stările inițiale:

U_{\star }={\begin{bmatrix}\rho _{\star }\\u_{\star }\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}

{\ displaystyle U _ {\ star} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {\ star} \\ u _ {\ star} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} \ mathbf {e} ^ {(1)} + \ alpha _ {2} \ mathbf {e} ^ {(2)} = \ beta _ {1} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix }} + \ alpha _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle U _ {\ star} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {\ star} \\ u _ {\ star} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} \ mathbf {e} ^ {(1)} + \ alpha _ {2} \ mathbf {e} ^ {(2)} = \ beta _ {1} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix }} + \ alpha _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}}}

și soluția completă (constantă în bucăți) a problemei Riemann din domeniu $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ Și:

U(x,t)={\begin{bmatrix}\rho (x,t)\\u(x,t)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{\star },&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}.

{\ displaystyle U (x, t) = {\ begin {bmatrix} \ rho (x, t) \\ u (x, t) \ end {bmatrix}} = {\ begin {cases} U_ {L} și & 0 <t \ leq -x / a \\ U _ {\ star}, & 0 \ leq | x | / a <t \\ U_ {R}, și 0 <t \ leq x / a \ end {cases} }.}

{\ displaystyle U (x, t) = {\ begin {bmatrix} \ rho (x, t) \\ u (x, t) \ end {bmatrix}} = {\ begin {cases} U_ {L} și & 0 <t \ leq -x / a \\ U _ {\ star}, & 0 \ leq | x | / a <t \\ U_ {R}, și 0 <t \ leq x / a \ end {cases} }.}

Notă

^ (EN) Eleuterio F. Toro, The Riemann Problem , in Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, ediția a 3-a, Berlin, Springer, 2009, pp. 49 -50, ISBN 978-3-540-25202-3 .
^ (EN) Eleuterio F. Toro, The Riemann Problem for Linearised Gas Dynamics , in Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, ediția a 3-a, Berlin, Springer, 2009, pp. 58 -59, ISBN 978-3-540-25202-3 .

Bibliografie

( EN ) Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , ediția a III-a, Berlin, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-25202-3 .
(EN) Randall J. LeVeque, Metode de volum finit pentru probleme hiperbolice, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-00924-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Eleuterio F. Toro, The Riemann Problem , in Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, ediția a 3-a, Berlin, Springer, 2009, pp. 49 -50, ISBN 978-3-540-25202-3 .

[2] (EN) Eleuterio F. Toro, The Riemann Problem for Linearised Gas Dynamics , in Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, ediția a 3-a, Berlin, Springer, 2009, pp. 58 -59, ISBN 978-3-540-25202-3 .

[1]

[2]