Mișcare de rulare pură

Exemplu de mișcare de rulare pură a unei roți. Punctul de contact instantaneu O are viteza zero.

În fizica clasică, mișcarea de rulare pură este una în care un corp rigid se rostogolește fără a aluneca. Rotația are loc în jurul punctului de contact instantaneu care are viteză zero. Roata care a avut o importanță fundamentală în dezvoltarea societății moderne în condiții normale de lucru este bine descrisă de acest tip de bicicletă. În mod normal, puterea statică de frecare este cea care asigură imobilitatea punctului de contact, observăm că după un timp infinitesimal punctul de contact devine un punct aproape de infinitesimal și așa mai departe.

Forța fricțiunii statice nu se lucrează, dar cu toate acestea, datorită deformării punctului de contact, există o disipare a energiei, un astfel de efect este cuantificat prin „ frecare de rulare ”. Dar, în orice caz, această formă de disipare a energiei este de obicei mult mai mică decât ar fi dacă punctul de contact ar fi târât. În consecință, este necesară mult mai puțină energie pentru a menține mișcarea de rulare pură decât este necesară pentru a face obiectele să se târască.

Cicloida (în roșu) este traiectoria oricărui punct de pe suprafața unui corp în timpul mișcării sale de rulare pură.

Pentru a avea o mișcare de rulare pură, obiectul ar trebui să fie axial simetric, chiar dacă nu este necesar. Secțiunea corpului rigid este în general un cerc, de aceea avem de obicei de-a face cu cilindrii sau sferele.

Un punct de pe orice suprafață în timpul traiectoriei mișcării de rulare pură are ca cicloid .

Aplicații

Majoritatea mijloacelor de transport moderne folosesc roțile și apoi exploatează mișcarea pură de rulare pentru deplasare. Trebuie evitat derapajul, altfel pierzi controlul asupra vehiculului cu consecințe practice grave. Se întâmplă să alunece dacă drumul este acoperit cu zăpadă, nisip sau ulei sau când se face o curbă la viteză mare sau când se face o frânare bruscă sau o accelerare bruscă: adică atunci când forța statică de frecare nu reușește să ancoreze punctul de contact la sol.

Una dintre principalele aplicații ale mișcării de rulare este utilizarea rulmenților cu bile . În mod normal, acestea sunt sfere metalice încapsulate între două inele care se pot roti independent între ele. În multe mecanisme, inelul interior este integral cu axa fixă. Deci, inelul interior este fix, iar cel exterior este liber să se miște cu puțină frecare . Aproape toate motoarele (precum cele ale ventilatoarelor, burghielor sau sculelor electrice în general) au rulmenți cu bile. Fricțiunea depinde de calitatea rulmenților cu bile și de ungerea acestora.

În societățile primitive, platformele plate sprijinite pe cilindrii de lemn au fost folosite pentru transportul obiectelor grele, ceea ce a permis, cu repoziționarea continuă a buștenilor pe partea din față, în aceasta a fost posibil să se efectueze transport liniar pe distanțe mari. Evident, în societatea modernă se folosesc sisteme mai simple și mai eficiente.

Dinamica

Indicăm cu ${\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec R$ purtătorul care își are originea în centrul de masă al corpului rigid C și celălalt capăt până la punctul instantaneu de contact O cu suprafața de sprijin. Viteza unghiulară ${\vec {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ este un vector normal la planul care conține secțiunea cercului, care provine din centrul de masă. În mișcarea corpurilor rigide este întotdeauna posibil să se descrie mișcarea oricărui punct ca fiind combinația mișcării de translație a centrului de masă și a rotației în jurul unei axe care trece prin centrul de masă. Prin urmare, în special, viteza punctului de contact este descrisă de relația:

{\vec {v}}_{O}={\vec {v}}_{C}+{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {O} = {\ vec {v}} _ {C} + {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {O} = {\ vec {v}} _ {C} + {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

Impunând că această viteză este zero, avem:

{\vec {v}}_{C}=-{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {C} = - {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {C} = - {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

Deci, dacă corpul se deplasează spre dreapta, ca în figură, rotația este în sensul acelor de ceasornic. În modul atunci

v_{C}=\omega R

{\ displaystyle v_ {C} = \ omega R}

{\ displaystyle v_ {C} = \ omega R}

adică în mișcarea de rulare pură există o relație foarte precisă între viteza centrului de masă și viteza unghiulară (care nu depinde de alegerea polului). Prin urmare, dacă viteza centrului de masă se schimbă în timp, adică mișcarea este accelerată, viteza unghiulară trebuie să facă același lucru, deci și:

|a_{C}|=|\alpha |\ R

{\ displaystyle | a_ {C} | = | \ alpha | \ R}

{\ displaystyle | a_ {C} | = | \ alpha | \ R}

după ce a indicat cu $a_{C}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ ${\ displaystyle a_ {C}}$ accelerarea centrului de masă și cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ accelerația unghiulară.

Putere

Spus $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ viteza unghiulară instantanee mișcarea la punctul de contact este doar o mișcare de rotație și dacă momentul de inerție al corpului în jurul punctului de contact este $I_{o}$ ${\ displaystyle I_ {o}}$ ${\ displaystyle I_ {o}}$ Energia cinetică se aplică prin rotație:

E_{K}={\frac {1}{2}}I_{o}\omega ^{2}

{\ displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I_ {o} \ omega ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I_ {o} \ omega ^ {2}}

Dacă corpul rigid este simetric axial, cu masă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și distanța dintre punctul de contact și centrul de masă egală cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , Pentru teorema axei paralele cu raportul care se leagă $I_{o}$ ${\ displaystyle I_ {o}}$ ${\ displaystyle I_ {o}}$ iar momentul paralel de inerție care trece prin centrul de masă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și:

I_{o}=I+MR^{2}

{\ displaystyle I_ {o} = I + MR ^ {2}}

{\ displaystyle I_ {o} = I + MR ^ {2}}

Așa că pot scrie și:

E_{K}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\omega ^{2}R^{2}

{\ displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ omega ^ {2} R ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ omega ^ {2} R ^ {2}}

Dar, în mișcare de rulare pură, avem asta $\omega ^{2}R^{2}=v_{C}^{2}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} R ^ {2} = v_ {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} R ^ {2} = v_ {C} ^ {2}}$ , asa de

E_{K}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}=E_{KR}+E_{KT}

{\ displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2} = E_ {KR} + E_ {KT}}

{\ displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2} = E_ {KR} + E_ {KT}}

Adică, mișcarea de rulare pură este combinația dintre o mișcare de rotație și de translație a centrului de masă cu o energie cinetică de rotație $E_{KR}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$ ${\ displaystyle E_ {KR} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {KR} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}$ și unul translațional $E_{KT}={\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}$ ${\ displaystyle E_ {KT} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {KT} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2}}$ .

Câteva cazuri speciale

De mișcare de rulare pură cu o singură forță aplicată la centrul de masă

O roată supusă acțiunii unei forțe F aplicată la centrul de masă.

Să ne imaginăm că avem un corp rigid cu o secțiune circulară de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ si masa $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ așa cum se arată în figura pe care o forță motrice acționează asupra centrului de masă paralel cu planul orizontal de susținere (acesta este cazul roților care nu conduc un automobil). Figura evidențiază diferitele forțe care acționează asupra corpului: $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ paralel cu planul aplicat pe centrul de masă; $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ forța de frecare statică; rezistența la greutate $M. g$ ${\ displaystyle Mg}$ ${\ displaystyle Mg}$ , reacția de legare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Reacția de constrângere echilibrează exact forța de greutate (dacă suprafața ar fi un plan înclinat, ecuațiile ar fi diferite):

N=Mg

{\ displaystyle N = Mg}

{\ displaystyle N = Mg}

În ceea ce privește direcția orizontală, ecuația orară ( prima ecuație cardinală ) este:

F-f=Ma_{C}\rightarrow a_{C}={\frac {F-f}{M}}

{\ displaystyle Ff = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {Ff} {M}}}

{\ displaystyle F-f = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {F-f} {M}}}

În ceea ce privește impulsul unghiular (a doua ecuație cardinală ), definind cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ momentul de inerție în raport cu axa de rotație a corpului și centrul de masă ales ca pol:

Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {R^{2}f}{I}}

{\ displaystyle Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

{\ displaystyle Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

Prin echivalarea celor două expresii, adică prin impunerea că mișcarea este pură:

{\frac {F-f}{M}}={\frac {R^{2}f}{I}}

{\ displaystyle {\ frac {Ff} {M}} = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

{\ displaystyle {\ frac {F-f} {M}} = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

Singura necunoscută devine forța fricțiunii $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ asta merită:

f={\frac {F}{1+MR^{2}/I}}\

{\ displaystyle f = {\ frac {F} {1 + MR ^ {2} / I}} \}

{\ displaystyle f = {\ frac {F} {1 + MR ^ {2} / I}} \}

Prin urmare, forța de frecare în modul este întotdeauna mai mică decât valoarea forței motrice. Dar, în orice caz, condiția trebuie să se aplice și că:

f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg\

{\ displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

{\ displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

Acest lucru necesită ca, pentru a garanta o mișcare de rulare pură, forța care trebuie aplicată centrului de masă trebuie să fie mai mică decât o anumită valoare maximă:

F_{max}\leq \mu _{s}Mg(1+MR^{2}/I)\

{\ displaystyle F_ {max} \ leq \ mu _ {s} Mg (1 + MR ^ {2} / I) \}

{\ displaystyle F_ {max} \ leq \ mu _ {s} Mg (1 + MR ^ {2} / I) \}

Rețineți că dacă o forță mai mare de $F_{max}$ ${\ displaystyle F_ {max}}$ ${\ displaystyle F_ {max}}$ , punctul de contact ar fi târât, deoarece forța de frecare statică nu ar mai fi suficientă pentru a o bloca pe suprafața de susținere, prin urmare mișcarea nu ar fi rulare pură ca:

|{\vec {v}}_{C}|>|{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}|

{\ displaystyle | {\ vec {v}} _ {C} |> | {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} |}

{\ displaystyle | {\ vec {v}} _ {C} |> | {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} |}

Pe măsură ce forța aplicată a crescut, mișcarea de translație va prevala asupra mișcării rotative.

Funcția de frecare statică este esențială în mișcarea de rulare pură, deoarece provoacă un moment al unei forțe (fR) care determină rotirea corpului și, prin urmare, corpul se traduce (datorită forței aplicate F) și în același timp se rotește datorită la 'fricțiune. Dacă nu ar exista fricțiuni, corpul s-ar traduce pur și simplu. Rețineți că, dacă secțiunea corpului rotativ nu este perfect circulară, mișcarea în acele puncte de contact ar deveni în principal translațională și forța de frecare va efectua, de asemenea, o acțiune de frânare; cel mai clar exemplu este cazul roților automate plate, care nu acționează.

Dacă forța ar fi frânat, prin urmare cu o direcție opusă direcției de mișcare, de asemenea forța de frecare ar fi avut direcția opusă, matematic toate ecuațiile ar fi rămas aceleași, $F_{max}$ ${\ displaystyle F_ {max}}$ ${\ displaystyle F_ {max}}$ ar fi forța maximă de frânare aplicabilă.

Mișcare de rulare pură cu un singur moment aplicat pe axă

Roata de masă m (în textul M) supusă unui moment

\tau \

{\ displaystyle \ tau \}

\ tau \

aplicat pe axa de rotație.

Să ne imaginăm că avem o roată pe care se aplică un moment motor $\tau \$ ${\ displaystyle \ tau \}$ $\ tau \$ . Acesta este cazul roților motoare ale unei mașini. Forțele și momentul sunt prezentate în figură. Să ne imaginăm că mișcarea are loc pe un plan orizontal. Rețineți că direcția forței de frecare este opusă cazului anterior.

Reacția de constrângere echilibrează forța de greutate exact ca în cazul anterior. Dar, în ceea ce privește componenta orizontală, avem:

f=Ma_{C}\rightarrow a_{C}={\frac {f}{M}}\

{\ displaystyle f = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} \}

{\ displaystyle f = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} \}

În ceea ce privește impulsul unghiular, având în vedere că, dacă momentul face ca corpul să se rotească în sensul acelor de ceasornic, forța de frecare exercită un moment în direcția opusă:

\tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}

{\ displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau RR ^ {2} f} {I}}}

{\ displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau R-R ^ {2} f} {I}}}

Prin echivalarea celor două expresii (o condiție necesară pentru a avea mișcare de rulare pură):

{\frac {f}{M}}={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}

{\ displaystyle {\ frac {f} {M}} = {\ frac {\ tau RR ^ {2} f} {I}}}

{\ displaystyle {\ frac {f} {M}} = {\ frac {\ tau R-R ^ {2} f} {I}}}

Din care deducem că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este valabil:

f={\frac {\tau }{R(1+I/MR^{2})}}\

{\ displaystyle f = {\ frac {\ tau} {R (1 + I / MR ^ {2})}} \}

{\ displaystyle f = {\ frac {\ tau} {R (1 + I / MR ^ {2})}} \}

forța de frecare este forța motrice care determină mișcarea de translație, dar și în acest caz există condiția ca:

f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg\

{\ displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

{\ displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

prin urmare:

\tau _{max}\leq \mu _{s}MgR(1+I/MR^{2})\

{\ displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR (1 + I / MR ^ {2}) \}

{\ displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR (1 + I / MR ^ {2}) \}

Dacă momentul aplicat este mai mare de $\tau _{max}$ ${\ displaystyle \ tau _ {max}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {max}}$ mișcarea rotativă prevalează asupra mișcării de translație. Acesta este cazul cu roțile motoare ale unui automobil atunci când li se aplică un moment mai mare decât tracțiunea permisă și roțile se rotesc. Forța de frecare este forța care provoacă mișcare de translație, motivul pentru care anvelopele auto sunt fabricate din cauciuc este acela de a avea o frecare statică ridicată cu suprafața drumului.

Observăm că, dacă ar fi existat un moment de frânare, forța de frecare ar fi avut direcția opusă și, prin urmare, ar avea efectul de a încetini mișcarea. Dar expresia momentului maxim aplicabil ar fi fost aceeași.

Mișcare de rulare pură cu un moment și forță aplicate

Roata masei m (în textul M) care se ridică pe un plan înclinat împins de un moment

\tau \

{\ displaystyle \ tau \}

\ tau \

acționând asupra axei sale.

Să ne imaginăm că mișcarea are loc pe un plan înclinat în sus cu înclinare $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , un moment motor acționează asupra corpului $\tau \$ ${\ displaystyle \ tau \}$ $\ tau \$ . Forța de greutate are o componentă tangențială față de plan $Mg\sin \theta \$ ${\ displaystyle Mg \ sin \ theta \}$ ${\ displaystyle Mg \ sin \ theta \}$ și unul normal $Mg\cos \theta \$ ${\ displaystyle Mg \ cos \ theta \}$ ${\ displaystyle Mg \ cos \ theta \}$ . Reacția de constrângere echilibrează exact componenta forței de greutate perpendiculară pe plan:

N=Mg\cos \theta \

{\ displaystyle N = Mg \ cos \ theta \}

{\ displaystyle N = Mg \ cos \ theta \}

În timp ce legea mișcării în direcția planului de sprijin este:

Ma_{C}=f-Mg\sin \theta \rightarrow a_{C}={\frac {f}{M}}-g\sin \theta \

{\ displaystyle Ma_ {C} = f-Mg \ sin \ theta \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} - g \ sin \ theta \}

{\ displaystyle Ma_ {C} = f-Mg \ sin \ theta \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} - g \ sin \ theta \}

În ceea ce privește impulsul unghiular, reținând că, dacă momentul face ca corpul să se rotească în sensul acelor de ceasornic, forța de frecare exercită un moment în direcția opusă:

\tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}\

{\ displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau RR ^ {2} f} {I}} \}

{\ displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau R-R ^ {2} f} {I}} \}

Din condiția ca mișcarea să fie pură, rezultă că:

f={\frac {\tau /(R)+Ig\sin \theta /(R^{2})}{1+I/(MR^{2})}}\

{\ displaystyle f = {\ frac {\ tau / (R) + Ig \ sin \ theta / (R ^ {2})} {1 + I / (MR ^ {2})}} \}

{\ displaystyle f = {\ frac {\ tau / (R) + Ig \ sin \ theta / (R ^ {2})} {1 + I / (MR ^ {2})}} \}

Impunând condiția ca:

f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg\cos \theta \

{\ displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \ cos \ theta \}

{\ displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \ cos \ theta \}

Pentru a avea o mișcare de rulare pură:

\tau _{max}\leq \mu _{s}MgR\cos \theta (1+I/MR^{2})-{\frac {Ig}{R}}\sin \theta \

{\ displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR \ cos \ theta (1 + I / MR ^ {2}) - {\ frac {Ig} {R}} \ sin \ theta \}

{\ displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR \ cos \ theta (1 + I / MR ^ {2}) - {\ frac {Ig} {R}} \ sin \ theta \}

Există, de asemenea, o înclinație maximă a planului înclinat deasupra căruia nu este posibilă nici o mișcare de rulare pură (atunci când este zero $\tau _{max}$ ${\ displaystyle \ tau _ {max}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {max}}$ ) adică dacă avem asta $\theta \geq arctg\left[\mu _{s}\left(MR^{2}/I+1\right)\right]\$ ${\ displaystyle \ theta \ geq arctg \ left [\ mu _ {s} \ left (MR ^ {2} / I + 1 \ right) \ right] \}$ ${\ displaystyle \ theta \ geq arctg \ left [\ mu _ {s} \ left (MR ^ {2} / I + 1 \ right) \ right] \}$ .

La vale $\theta <0\$ ${\ displaystyle \ theta <0 \}$ ${\ displaystyle \ theta <0 \}$ mișcarea de rulare pură este posibilă chiar și în absența fricțiunii pentru un moment motor adecvat. Dacă la vale $\tau /(MR)<-Ig\sin \theta /(R^{2})\$ ${\ displaystyle \ tau / (MR) <- Ig \ sin \ theta / (R ^ {2}) \}$ ${\ displaystyle \ tau / (MR) <- Ig \ sin \ theta / (R ^ {2}) \}$ forța de frecare schimbă semnul față de ceea ce este indicat în figură.

Bila de biliard

Să ne imaginăm că avem o bilă masivă de biliard $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , moment de inerție $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ de centru lovit de un impuls $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ paralel cu suprafața de susținere exact la înălțimea centrală. Schimbarea impulsului mingii este egală cu impulsul primit:

J=Mv_{0}\

{\ displaystyle J = Mv_ {0} \}

{\ displaystyle J = Mv_ {0} \}

În timp ce viteza unghiulară inițială este zero. Dacă coeficientul de frecare dinamic este egal $\mu \$ ${\ displaystyle \ mu \}$ ${\ displaystyle \ mu \}$ . Folosind prima ecuație cardinală :

M{\frac {dv_{C}}{dt}}=-\mu Mg\

{\ displaystyle M {\ frac {dv_ {C}} {dt}} = - \ mu Mg \}

{\ displaystyle M {\ frac {dv_ {C}} {dt}} = - \ mu Mg \}

Deci inițial mișcarea este mișcare rectilinie uniform accelerată a cărei ecuație orară este:

v_{C}(t)=v_{0}-\mu Mgt={\frac {J}{M}}-\mu Mgt\

{\ displaystyle v_ {C} (t) = v_ {0} - \ mu Mgt = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt \}

{\ displaystyle v_ {C} (t) = v_ {0} - \ mu Mgt = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt \}

Forța de frecare aplicată punctului de contact exercită un moment și apoi folosind a doua ecuație cardinală :

I{\frac {d\omega }{dt}}=\mu MgR\

{\ displaystyle I {\ frac {d \ omega} {dt}} = \ mu MgR \}

{\ displaystyle I {\ frac {d \ omega} {dt}} = \ mu MgR \}

Deci inițial viteza unghiulară crește liniar:

\omega (t)=\mu {\frac {MgR}{I}}t\

{\ displaystyle \ omega (t) = \ mu {\ frac {MgR} {I}} t \}

{\ displaystyle \ omega (t) = \ mu {\ frac {MgR} {I}} t \}

Când apare că:

\omega (t_{x})R=v_{c}(t_{x})\

{\ displaystyle \ omega (t_ {x}) R = v_ {c} (t_ {x}) \}

{\ displaystyle \ omega (t_ {x}) R = v_ {c} (t_ {x}) \}

atunci când:

\mu {\frac {MgR^{2}}{I}}t_{x}={\frac {J}{M}}-\mu Mgt_{x}\

{\ displaystyle \ mu {\ frac {MgR ^ {2}} {I}} t_ {x} = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt_ {x} \}

{\ displaystyle \ mu {\ frac {MgR ^ {2}} {I}} t_ {x} = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt_ {x} \}

t_{x}={\frac {J}{M\mu g(1+MR^{2}/I)}}\

{\ displaystyle t_ {x} = {\ frac {J} {M \ mu g (1 + MR ^ {2} / I)}} \}

{\ displaystyle t_ {x} = {\ frac {J} {M \ mu g (1 + MR ^ {2} / I)}} \}

Mișcarea devine rulare pură și viteza centrului de masă și viteza unghiulară nu mai variază. În realitate, există frecare de rulare care a fost neglijată în raționamentul care exercită o acțiune de frânare slabă.

Bibliografie

P. Mazzoldi, N. Nigro și C. Voices, Physics Volumul 1, ediția a II-a, Napoli, EdiSES Wiley, 2003, ISBN 88-7959-137-1 .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica