Mie împrăștiat

Împrăștierea Mie , cunoscută și sub numele de împrăștierea Lorenz-Mie , este o soluție completă și riguroasă matematic la problema împrăștierii unei unde electromagnetice pe o sferă sau cilindru. Teoria care descrie acest tip de împrăștiere își ia numele de la fizicianul german Gustav Mie care în 1908 a publicat prima dată soluția completă ^[1] . Pe lângă Mie, alți cercetători au publicat aproape simultan dezvoltări ulterioare și formulări diferite, echivalente: în principal contribuțiile lui Peter Debye și Ludvig Lorenz ar trebui amintite.

Împrăștierea Mie este valabilă pentru centrele difuzoarelor de orice dimensiune și, în măsura în care acestea sunt mult mai mici decât lungimea de undă incidentă, se obține împrăștierea Rayleigh (care este valabilă doar pentru difuzoarele punctuale). Din acest motiv, împrăștierea Mie își găsește aplicația atât în studiul optic al coloizilor, cât și în meteorologie ; de fapt, picăturile de apă care alcătuiesc norii sunt adesea mai mari (sau chiar mult mai mari) decât lungimea de undă a luminii vizibile.

Ecuația vectorială și ecuația scalară

Împrăștierea Mie este o problemă vectorială , adică implică utilizarea tuturor componentelor câmpurilor electrice ( E ) și magnetice ( H ) pentru a ține seama în mod corespunzător de proprietățile de polarizare ale radiației. Într-un mediu de propagare, cum ar fi, de exemplu, aerul sau „vidul”, dielectric, transparent, omogen și izotrop, nedisipativ și nedispersiv, în care există sfere, adică centre difuzoare, unda incidentă, care poate să fie gândit sub forma unei unde plane , constă din câmpuri electrice și magnetice care satisfac următoarea ecuație de undă

\nabla ^{2}\mathbf {E} +n^{2}k^{2}\mathbf {E} =0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} + n ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {E} = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} + n ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {E} = 0}

\nabla ^{2}\mathbf {H} +n^{2}k^{2}\mathbf {H} =0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {H} + n ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {H} = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {H} + n ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {H} = 0}

unde k este vectorul de undă și n indicele de refracție . Dacă definim vectorul $\mathbf {M} =\nabla \times (\mathbf {r} \psi )$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ nabla \ times (\ mathbf {r} \ psi)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ nabla \ times (\ mathbf {r} \ psi)}$ , unde este $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este o funcție scalară arbitrară și r un vector de poziție (în cazul nostru indicăcoordonata radială ), este posibil să se arate că aceasta satisface ecuația

\nabla ^{2}\mathbf {M} +n^{2}k^{2}\mathbf {M} =\nabla \times (\nabla ^{2}\psi +n^{2}k^{2}\psi )

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {M} + n ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {M} = \ nabla \ times (\ nabla ^ {2} \ psi + n ^ {2} k ^ {2} \ psi)}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {M} + n ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {M} = \ nabla \ times (\ nabla ^ {2} \ psi + n ^ {2} k ^ {2} \ psi)}

sau că M satisface ecuația undei vectoriale imediat $\nabla ^{2}\psi +n^{2}k^{2}\psi =0$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + n ^ {2} k ^ {2} \ psi = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + n ^ {2} k ^ {2} \ psi = 0}$ sau când $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ satisface ecuația undei scalare. Vectorul N, pe care îl putem defini, are aceeași proprietate $nk\mathbf {N} =\nabla \times \mathbf {M}$ ${\ displaystyle nk \ mathbf {N} = \ nabla \ times \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle nk \ mathbf {N} = \ nabla \ times \ mathbf {M}}$ .

Rezolvând ecuația undei scalare cu condițiile limită adecvate, este posibil, prin urmare, să se deriveze două câmpuri care să satisfacă ecuațiile undei vectoriale. În special, apelând u și v două soluții independente ale ecuației scalare care dau naștere câmpurilor M _u , N _u , M _v , N _v , putem identifica câmpurile electrice și magnetice prin

\mathbf {E} =\mathbf {M} _{v}+i\mathbf {N} _{u}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {M} _ {v} + i \ mathbf {N} _ {u}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {M} _ {v} + i \ mathbf {N} _ {u}}

\mathbf {H} =m(-\mathbf {M} _{u}+i\mathbf {N} _{v})

{\ displaystyle \ mathbf {H} = m (- \ mathbf {M} _ {u} + i \ mathbf {N} _ {v})}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = m (- \ mathbf {M} _ {u} + i \ mathbf {N} _ {v})}

.

unde „i” indică unitatea imaginară.

Prin urmare, este posibil să se obțină câmpul electric și magnetic în funcție de câmpurile auxiliare introduse anterior ca soluții adecvate ale ecuației undei scalare.

Soluțiile ecuației de undă și condițiile limită

Deoarece sistemul are simetrie sferică, este convenabil să se rezolve problema în coordonate sferice . Profitând de faptul că undele sferice constituie un set complet și ortonormal de funcții, adică orice altă funcție poate fi dezvoltată ca o sumă de unde sferice, ideea de bază a teoriei Mie este de a rescrie unda plană incidentă ca o suprapunere a undelor sferice (printr-o dezvoltare în serie ) în interiorul și în afara sferei și impun condițiile limită la suprafață pentru a obține coeficienții de dezvoltare.

În special putem scrie că în cadrul sferei

u=e^{i\omega t}\cos \phi \sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}(-i)^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}P_{n}^{l}(\cos \theta )j_{n}(kr)

{\ displaystyle u = e ^ {i \ omega t} \ cos \ phi \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} -a_ {n} (- i) ^ {n} {\ frac {2n + 1 } {n (n + 1)}} P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) j_ {n} (kr)}

{\ displaystyle u = e ^ {i \ omega t} \ cos \ phi \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} -a_ {n} (- i) ^ {n} {\ frac {2n + 1 } {n (n + 1)}} P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) j_ {n} (kr)}

Și

v=e^{i\omega t}\sin \phi \sum _{n=1}^{\infty }-b_{n}(-i)^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}P_{n}^{l}(\cos \theta )j_{n}(kr)

{\ displaystyle v = e ^ {i \ omega t} \ sin \ phi \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} -b_ {n} (- i) ^ {n} {\ frac {2n + 1 } {n (n + 1)}} P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) j_ {n} (kr)}

{\ displaystyle v = e ^ {i \ omega t} \ sin \ phi \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} -b_ {n} (- i) ^ {n} {\ frac {2n + 1 } {n (n + 1)}} P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) j_ {n} (kr)}

unde este $P_{n}^{l}$ ${\ displaystyle P_ {n} ^ {l}}$ ${\ displaystyle P_ {n} ^ {l}}$ sunt funcțiile asociate ale lui Legendre și $j_{n}$ ${\ displaystyle j_ {n}}$ ${\ displaystyle j_ {n}}$ sunt funcțiile sferice Bessel de primul fel .

În coordonatele sferice, ecuația undei este factorizabilă și are soluții de acest tip

\psi _{n,l}=\cos l\phi P_{n}^{l}(\cos \theta )z_{n}(mkr)

{\ displaystyle \ psi _ {n, l} = \ cos l \ phi P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) z_ {n} (mkr)}

{\ displaystyle \ psi _ {n, l} = \ cos l \ phi P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) z_ {n} (mkr)}

Și

\psi _{n,l}=\sin l\phi P_{n}^{l}(\cos \theta )z_{n}(mkr)

{\ displaystyle \ psi _ {n, l} = \ sin l \ phi P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) z_ {n} (mkr)}

{\ displaystyle \ psi _ {n, l} = \ sin l \ phi P_ {n} ^ {l} (\ cos \ theta) z_ {n} (mkr)}

unde n și l sunt numere întregi, $P_{n}^{l}$ ${\ displaystyle P_ {n} ^ {l}}$ ${\ displaystyle P_ {n} ^ {l}}$ sunt asociate polinoame ale lui Legendre și $z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ sunt funcțiile sferice Bessel .

Prin impunerea condițiilor de graniță pe suprafața sferei și introducerea parametrului $x={\frac {2\pi a}{\lambda }}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {2 \ pi a} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {2 \ pi a} {\ lambda}}}$ se obțin coeficienții de împrăștiere: