Spirala aurie

Spirale aurii adevărate și aproximative: spirala verde este formată din sferturi de circumferințe inscripționate în pătrate; spirala roșie este o spirală aurie, un anumit tip de spirală logaritmică . Prin suprapunerea celor două spirale, se obține spirala galbenă .

În geometrie , spirala aurie este un tip particular de spirală logaritmică cu un factor de acreție b egal cu φ , secțiunea aurie . ^[1]

Dreptunghi auriu, spirale aurii poligonale și aurii inscripționate și circumscrise. Rețineți cele două diagonale (în roșu) care identifică originea celor trei spirale. Poligonul auriu are laturi care sunt reduse în funcție de raportul auriu. Celelalte două spirale sunt una circumscrisă și cealaltă înscrisă în poligon. Cel înscris începe de la același punct (P) de la care încep sferturile unei circumferințe care aproximează spirala aurie. După cum este evidențiat de cursele roșii, spirala aurie, dacă începe în (P), depășește poligonul, aceasta arată că, spre deosebire de versiunea aproximativă cu arcuri de circumferință, nu poate începe sau trece prin (P). Punctul de tangență corectat cu poligonul este așadar anticipat față de (P), vezi unghiul de aproximativ 17⁰. Dacă calitatea imaginii nu este satisfăcătoare, selectarea acesteia ar trebui să se îmbunătățească.

Spirală aurie poligonală cu pas unghiular de 90⁰ ca bază pentru construcția simplificată a spiralei aurii aproximată cu arce circulare. Animația arată spirala de aur poligonală care oferă vârfurile sale ca centru pentru arcurile de circumferință care fac aproximarea spiralei de aur. În special, rețineți arcurile de circumferință (albastru) care, în urma dezvoltării spiralei poligonale (verde), aproximează spirala aurie, deja reprezentată cu o linie neagră. Dacă calitatea imaginii nu este satisfăcătoare, selectarea acesteia ar trebui să se îmbunătățească.

Formulă

Ecuația polară a unei spirale aurii este aceeași cu celelalte spirale logaritmice , dar cu o valoare particulară de b : ^[2]

r=ae^{b\theta }

{\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta}}

r = ae ^ {{b \ theta}}

sau

\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}

\ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),

unde e este baza logaritmilor naturali , a este o constantă reală arbitrară, dar pozitivă și b este astfel încât atunci când θ este un unghi drept , cantitatea:

e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\phi

{\ displaystyle e ^ {b \ theta _ {\ mathrm {right}}} \, = \ phi}

e ^ {{b \ theta _ {{\ mathrm {right}}}}} \, = \ phi

Cantitatea $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este factorul care descrie cât de mult crește raza spiralei după finalizarea unui unghi drept sau un sfert de tură. Dacă de exemplu ne impunem $\phi =2$ ${\ displaystyle \ phi = 2}$ ${\ displaystyle \ phi = 2}$ , aceasta înseamnă că, în acest caz, spirala își dublează raza la fiecare sfert de tură și, prin urmare, la fiecare viraj complet, dimensiunile sale cresc cu un factor $16=\phi ^{4}=2^{4}$ ${\ displaystyle 16 = \ phi ^ {4} = 2 ^ {4}}$ ${\ displaystyle 16 = \ phi ^ {4} = 2 ^ {4}}$ .

Prin urmare, b este dat de

b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.

{\ displaystyle b = {\ ln {\ phi} \ over \ theta _ {\ mathrm {right}}}.}

b = {\ ln {\ phi} \ over \ theta _ {{\ mathrm {right}}}}.

Folosind această definiție, ecuația spiralei logaritmice devine ^[3] :

${\textstyle r(\theta )=ae^{{\frac {\ln {\phi }}{\theta _{right}}}\theta }=a\phi ^{\frac {\theta }{\theta _{right}}}=a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }},}$ ${\ textstyle r (\ theta) = ae ^ {{\ frac {\ ln {\ phi}} {\ theta _ {right}}} \ theta} = a \ phi ^ {\ frac {\ theta} {\ theta _ {right}}} = a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}},}$ ${\ textstyle r (\ theta) = ae ^ {{\ frac {\ ln {\ phi}} {\ theta _ {right}}} \ theta} = a \ phi ^ {\ frac {\ theta} {\ theta _ {right}}} = a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}},}$

in aceea $\theta _{right}={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {right} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {right} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ .

Prin calcularea raportului de $r(\theta +{\dfrac {\pi }{2}})$ ${\ displaystyle r (\ theta + {\ dfrac {\ pi} {2}})}$ ${\ displaystyle r (\ theta + {\ dfrac {\ pi} {2}})}$ Și $r(\theta )$ ${\ displaystyle r (\ theta)}$ ${\ displaystyle r (\ theta)}$ de fapt, obținem:

${\dfrac {r(\theta +{\dfrac {\pi }{2}})}{r(\theta )}}={\dfrac {a\phi ^{\frac {2(\theta +{\frac {\pi }{2}})}{\pi }}}{a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}}}={\dfrac {a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}\phi }{a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}}}=\phi$ ${\ displaystyle {\ dfrac {r (\ theta + {\ dfrac {\ pi} {2}})} {r (\ theta)}} = {\ dfrac {a \ phi ^ {\ frac {2 (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}})} {\ pi}}} {a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}}}} = {\ dfrac {a \ phi ^ { \ frac {2 \ theta} {\ pi}} \ phi} {a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}}}} = \ phi}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {r (\ theta + {\ dfrac {\ pi} {2}})} {r (\ theta)}} = {\ dfrac {a \ phi ^ {\ frac {2 (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}})} {\ pi}}} {a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}}}} = {\ dfrac {a \ phi ^ { \ frac {2 \ theta} {\ pi}} \ phi} {a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}}}} = \ phi}$

Ceea ce arată cum în formă ${\textstyle r(\theta )=a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }},}$ ${\ textstyle r (\ theta) = a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}},}$ ${\ textstyle r (\ theta) = a \ phi ^ {\ frac {2 \ theta} {\ pi}},}$ cantitatea ${\textstyle \phi }$ ${\ textstyle \ phi}$ ${\ textstyle \ phi}$ fie factorul care descrie cât de mult crește raza la fiecare sfert de tură.

Spirala aurie este deci un caz special al spiralei logaritmice , adică cazul în care $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , în loc să fie un număr real pozitiv generic, își asumă valoarea secțiunii de aur :

$\phi ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ${\ displaystyle \ phi = {\ dfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ phi = {\ dfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Valoarea numerică a modulului lui b pentru spirala aurie este:

O spirală Fibonacci se apropie de spirala de aur; spre deosebire de diagrama dreptunghiulară bazată pe raportul auriu, această spirală se bazează pe pătrate cu laturi egale cu numerele Fibonacci.

|b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468

{\ displaystyle | b | = {\ ln {\ phi} \ over 90} = 0,0053468}

| b | = {\ ln {\ phi} \ over 90} = 0,0053468

pentru θ exprimat în grade;

|b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349

{\ displaystyle | b | = {\ ln {\ phi} \ over \ pi / 2 Adesivo = 0.306349}

| b | = {\ ln {\ phi} \ over \ pi / 2 Adesivo = 0.306349

pentru θ exprimat în radiani.

Notă

^ Chang, Yu-sung, " Golden Spiral. Arhivat 28 iulie 2019 la Internet Archive .", The Wolfram Demonstrations Project .
^ Priya Hemenway (2005). Proporția divină: Φ Phi în artă, natură și știință . Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227 .
^ Klaus Mainzer (1996). Simetriile naturii: un manual pentru filosofia naturii și a științei . Walter de Gruyter. pp. 45.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Chang, Yu-sung, " Golden Spiral. Arhivat 28 iulie 2019 la Internet Archive .", The Wolfram Demonstrations Project .

[2] Priya Hemenway (2005). Proporția divină: Φ Phi în artă, natură și știință . Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227 .

[3] Klaus Mainzer (1996). Simetriile naturii: un manual pentru filosofia naturii și a științei . Walter de Gruyter. pp. 45.

[1]

[2]

[3]