Unghiul de aur

gra	rad	gon
137 ° 30 '27 .95 (137,507764 ...)	2.399963 ...	152.786404 ...

Unghi obtuz

Adiţional

42 ° 29 '32 .05 "(42.492236 ...)

Implementați

222 ° 29 '32 .05 "(222.49236 ...)

Valorile trigonometrice

0,675490

-0.737369

−0,916082

−1.091605

În geometrie , „unghiul de aur (în engleză golden angle) este„ unghiul subtins de arcul de circumferință mai mică (arc $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în roșu al figurii laterale) care se obține împărțind circumferința însăși în două arce $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ care se află în aceeași relație între ele ca în secțiunea de aur .

Având în vedere o circumferință $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ și două arcuri de circumferință $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în care este împărțit, unghiul auriu este, prin urmare, definit ca unghiul de la centrul subtins de arc $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (cel mai mic) cu condiția ca:

a+b=c\quad \land \quad b<a

{\ displaystyle a + b = c \ quad \ land \ quad b <a}

{\ displaystyle a + b = c \ quad \ land \ quad b <a}

și că se aplică regula raportului auriu :

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}

{\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {b}}}

Valoarea numerică

Din echivalență

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}

{\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {b}}}

rezultă că raportul auriu $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este egal cu raportul de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ :

\varphi ={\frac {a}{b}}

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {a} {b}}}

Să sunăm acum $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ raportul întregii circumferințe $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ și arcul minor $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ :

f={\frac {b}{c}}={\frac {b}{a+b}}

{\ displaystyle f = {\ frac {b} {c}} = {\ frac {b} {a + b}}}

{\ displaystyle f = {\ frac {b} {c}} = {\ frac {b} {a + b}}}

După cum se poate deduce din definiția raportului auriu, rezultă:

a=\varphi \cdot b

{\ displaystyle a = \ varphi \ cdot b}

{\ displaystyle a = \ varphi \ cdot b}

Înlocuim apoi valoarea lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și simplifică:

f={\frac {b}{\varphi \cdot b+b}}={\frac {b}{b(\varphi +1)}}={\frac {1}{\varphi +1}}

{\ displaystyle f = {\ frac {b} {\ varphi \ cdot b + b}} = {\ frac {b} {b (\ varphi +1)}} = {\ frac {1} {\ varphi +1 }}}

{\ displaystyle f = {\ frac {b} {\ varphi \ cdot b + b}} = {\ frac {b} {b (\ varphi +1)}} = {\ frac {1} {\ varphi +1 }}}

Având în vedere că pentru proprietățile raportului auriu este:

\varphi ^{2}=\varphi +1

{\ displaystyle \ varphi ^ {2} = \ varphi +1}

{\ displaystyle \ varphi ^ {2} = \ varphi +1}

în cele din urmă obținem asta

f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}

{\ displaystyle f = {\ frac {1} {\ varphi ^ {2}}}}

{\ displaystyle f = {\ frac {1} {\ varphi ^ {2}}}}

Aceasta înseamnă că pot fi așezate într-un cerc $\varphi ^{2}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {2}}$ unghiuri aurii, adică ocupă un unghi auriu ${\frac {1}{\varphi ^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varphi ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varphi ^ {2}}}}$ în circumferință. Fiind $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ un număr irațional dat de următoarea formulă:

\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}

{\ displaystyle \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}

{\ displaystyle \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}

după câțiva pași simpli obțineți acel unghi auriu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ se dovedește a fi, în grade și radiani :

g={\frac {360^{\circ }}{\varphi ^{2}}}=(3-{\sqrt {5}})\cdot 180^{\circ }

{\ displaystyle g = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {\ varphi ^ {2}}} = (3 - {\ sqrt {5}}) \ cdot 180 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle g = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {\ varphi ^ {2}}} = (3 - {\ sqrt {5}}) \ cdot 180 ^ {\ circ}}

g={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=(3-{\sqrt {5}})\cdot \pi \left[rad\right]

{\ displaystyle g = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi ^ {2}}} = (3 - {\ sqrt {5}}) \ cdot \ pi \ left [rad \ right]}

{\ displaystyle g = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi ^ {2}}} = (3 - {\ sqrt {5}}) \ cdot \ pi \ left [rad \ right]}

Pentru a determina valoarea numerică aproximativă a unghiului auriu, nu uitați că, pentru proprietățile lui $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , Și:

\varphi ^{2}=\varphi +1\approx {2,618033}

{\ displaystyle \ varphi ^ {2} = \ varphi +1 \ approx {2,618033}}

{\ displaystyle \ varphi ^ {2} = \ varphi +1 \ approx {2,618033}}

Prin urmare, se dovedește:

g\approx {\frac {360^{\circ }}{2,618033}}\approx 137,507764^{\circ }

{\ displaystyle g \ approx {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2.618033}} \ approx 137.507764 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle g \ approx {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2.618033}} \ approx 137.507764 ^ {\ circ}}

g\approx {\frac {2\pi }{2,618033}}\approx 2.399963\left[rad\right]

{\ displaystyle g \ approx {\ frac {2 \ pi} {2,618033}} \ approx 2.399963 \ left [rad \ right]}

{\ displaystyle g \ approx {\ frac {2 \ pi} {2,618033}} \ approx 2.399963 \ left [rad \ right]}

Pe Enciclopedia on-line a secvenței întregi puteți găsi, pe lângă valoarea lui $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ( A131988 ), valorile numerice ale unghiului auriu atât în grade ( A096627 ), cât și în radiani ( A131988 ) aproximate cu mai mult de 100 de cifre zecimale.

La unele plante frunzele sunt aranjate în spirală conform unghiurilor aurii. Acest lucru le permite să obțină mai puțină umbră și să maximizeze cantitatea de lumină solară pe care o primesc. În ilustrație frunzele sunt văzute de sus și sunt numerotate de la 1 la 10 conform ordinii de formare.

Unghiul de aur în natură

Unghiul auriu se găsește în filotaxie . De exemplu, în floarea - soarelui ^[1] florile mici care formează capul florii sunt aranjate conform unei structuri în spirală , cu unghiuri de valoare substanțial asemănătoare cu cea a unghiului auriu. Acest lucru pare să permită florilor mici să nu se umbrească reciproc și, prin urmare, să primească cât mai multă lumină solară posibil. În mod similar, la unele plante frunzele sunt dispuse pe tulpină în conformitate cu o spirală vegetativă în care unghiul dintre două frunze succesive este aproape constant și este egal cu unghiul auriu ^[2] , tot în acest caz pentru a asigura o utilizare optimă a soarelui.

Notă

^ (EN) H Vogel, O modalitate mai bună de a construi capul de floarea-soarelui , în Mathematical Biosciences, vol. 44, nr. 44, 1979, p. 179–189, DOI : 10.1016 / 0025-5564 (79) 90080-4 .
^ Mario Livio, Secțiunea de aur , Milano, Rizzoli, 2003, p. 168, ISBN 88-7021-668-3 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe unghiul auriu

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) H Vogel, O modalitate mai bună de a construi capul de floarea-soarelui , în Mathematical Biosciences, vol. 44, nr. 44, 1979, p. 179–189, DOI : 10.1016 / 0025-5564 (79) 90080-4 .

[2] Mario Livio, Secțiunea de aur , Milano, Rizzoli, 2003, p. 168, ISBN 88-7021-668-3 .

[1]

[2]