Succesiune complexă

În matematică , o secvență complexă este o secvență formată din numere sau funcții complexe .

Succesiunea numerică

O secvență numerică complexă este o succesiune de termeni complexi infiniti:

z_{1},z_{2},\dots ,z_{n},\dots

{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {n}, \ dots}

{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {n}, \ dots}

Se spune că o succesiune complexă are o limită $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $n_{0}\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N}}$ , cu $n_{0}>0$ ${\ displaystyle n_ {0}> 0}$ ${\ displaystyle n_ {0}> 0}$ , astfel încât:

|z_{n}-z|<\varepsilon

{\ displaystyle | z_ {n} -z | <\ varepsilon}

{\ displaystyle | z_ {n} -z | <\ varepsilon}

cand $n>n_{0}$ ${\ displaystyle n> n_ {0}}$ $n> n_0$ . Il scrii:

\lim _{n\to \infty }z_{n}=z

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} z_ {n} = z}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} z_ {n} = z}

Geometric, aceasta înseamnă că, pentru valori suficient de mari de n , punctele $z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ toate sunt situate într-un înconjurător circular al centrului $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și raza $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Presupunând că termenii succesiunii sunt $z_{n}=x_{n}+i\cdot y_{n}$ ${\ displaystyle z_ {n} = x_ {n} + i \ cdot y_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {n} = x_ {n} + i \ cdot y_ {n}}$ iar limita este $z=x+i\cdot y$ ${\ displaystyle z = x + i \ cdot y}$ ${\ displaystyle z = x + i \ cdot y}$ , atunci noi avem:

\lim _{n\to \infty }z_{n}=z

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} z_ {n} = z}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} z_ {n} = z}

dacă și numai dacă:

\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\qquad \lim _{n\to \infty }y_{n}=y

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = x \ qquad \ lim _ {n \ to \ infty} y_ {n} = y}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = x \ qquad \ lim _ {n \ to \ infty} y_ {n} = y}

adică dacă partea reală și imaginară a termenilor secvenței tinde singular către partea reală și imaginară a limitei.

De fapt, când $n>n_{1}$ ${\ displaystyle n> n_ {1}}$ ${\ displaystyle n> n_ {1}}$ și atunci când $n>n_{2}$ ${\ displaystyle n> n_ {2}}$ ${\ displaystyle n> n_ {2}}$ cele două secvențe reale satisfac respectiv:

|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad |y_{n}-y|<{\frac {\varepsilon }{2}}

{\ displaystyle | x_ {n} -x | <{\ frac {\ varepsilon} {2}} \ qquad | y_ {n} -y | <{\ frac {\ varepsilon} {2}}}

{\ displaystyle | x_ {n} -x | <{\ frac {\ varepsilon} {2}} \ qquad | y_ {n} -y | <{\ frac {\ varepsilon} {2}}}

și este suficient să alegeți cel mai mare dintre indici $n_{0}=\max(n_{1},n_{2})$ ${\ displaystyle n_ {0} = \ max (n_ {1}, n_ {2})}$ ${\ displaystyle n_ {0} = \ max (n_ {1}, n_ {2})}$ astfel încât ambele limite să se aplice. Apoi, conform definiției:

|(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|\leq |x_{n}-x|+|y_{n}-y|=|z_{n}-z|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon

{\ displaystyle | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | \ leq | x_ {n} -x | + | y_ {n} -y | = | z_ {n} -z | <{\ frac {\ varepsilon} {2}} + {\ frac {\ varepsilon} {2}} = \ varepsilon}

{\ displaystyle | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | \ leq | x_ {n} -x | + | y_ {n} -y | = | z_ {n} -z | <{\ frac {\ varepsilon} {2}} + {\ frac {\ varepsilon} {2}} = \ varepsilon}

cand $n>n_{0}$ ${\ displaystyle n> n_ {0}}$ $n> n_0$ . Dimpotrivă, dacă pentru $n>n_{0}$ ${\ displaystyle n> n_ {0}}$ $n> n_0$ avem:

|(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon

{\ displaystyle | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | <\ varepsilon}

{\ displaystyle | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | <\ varepsilon}

atunci avem și:

|x_{n}-x|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon \qquad |y_{n}-y|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon

{\ displaystyle | x_ {n} -x | \ leq | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | <\ varepsilon \ qquad | y_ {n} -y | \ leq | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | <\ varepsilon}

{\ displaystyle | x_ {n} -x | \ leq | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | <\ varepsilon \ qquad | y_ {n} -y | \ leq | (x_ {n} + i \ cdot y_ {n}) - (x + i \ cdot y) | <\ varepsilon}

Secvențe de funcții

Este $f_{n}(z):E\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f_ {n} (z): E \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f_ {n} (z): E \ to \ mathbb {C}}$ o succesiune de funcții complexe pe un domeniu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a planului complex. Se spune că $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ converge exact la funcție $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de sine:

\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)=f(z)\qquad \forall z\in A

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (z) = f (z) \ qquad \ forall z \ in A}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (z) = f (z) \ qquad \ forall z \ in A}

Se spune că converge uniform către funcție $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de sine:

\lim _{n\to \infty }\sup _{E}\mid f_{n}(z)-f(z)\mid =0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sup _ {E} \ mid f_ {n} (z) -f (z) \ mid = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sup _ {E} \ mid f_ {n} (z) -f (z) \ mid = 0}

Este ușor de văzut că, dacă apare:

f_{n}(z)=u_{n}(x,y)+i\cdot v_{n}(x,y)\qquad f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)

{\ displaystyle f_ {n} (z) = u_ {n} (x, y) + i \ cdot v_ {n} (x, y) \ qquad f (z) = u (x, y) + i \ cdot v (x, y)}

{\ displaystyle f_ {n} (z) = u_ {n} (x, y) + i \ cdot v_ {n} (x, y) \ qquad f (z) = u (x, y) + i \ cdot v (x, y)}

asa de $\{f_{n}\}\to f$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} \ to f}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} \ to f}$ respectiv punctual și uniform dacă și numai dacă $u_{n}\to u$ ${\ displaystyle u_ {n} \ to u}$ $u_ {n} \ to u$ Și $v_{n}\to v$ ${\ displaystyle v_ {n} \ to v}$ ${\ displaystyle v_ {n} \ to v}$ punctual și respectiv uniform.

Criteriul cauchy

Același subiect în detaliu: secvența Cauchy și criteriul de convergență Cauchy .

Criteriul Cauchy privind secvențele funcțiilor complexe convergente uniform afirmă că $\{f_{n}\}\to f$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} \ to f}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} \ to f}$ dacă și numai dacă există un număr $M\geq 0$ ${\ displaystyle M \ geq 0}$ ${\ displaystyle M \ geq 0}$ astfel încât:

f_{n}(z)\leq M\qquad \forall z\in A

{\ displaystyle f_ {n} (z) \ leq M \ qquad \ forall z \ în A}

{\ displaystyle f_ {n} (z) \ leq M \ qquad \ forall z \ în A}

și astfel încât pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un indice $n_{\varepsilon }$ ${\ displaystyle n _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle n _ {\ varepsilon}}$ astfel încât:

\sup _{E}\mid f_{n}(z)-f_{m}(z)\mid \leq \varepsilon \qquad \forall n,m\geq n_{\varepsilon }

{\ displaystyle \ sup _ {E} \ mid f_ {n} (z) -f_ {m} (z) \ mid \ leq \ varepsilon \ qquad \ forall n, m \ geq n _ {\ varepsilon}}

{\ displaystyle \ sup _ {E} \ mid f_ {n} (z) -f_ {m} (z) \ mid \ leq \ varepsilon \ qquad \ forall n, m \ geq n _ {\ varepsilon}}

Bibliografie

( EN ) John B. Conway, Funcțiile unei variabile complexe , Springer Verlag, 1986
( EN ) Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis , Freeman, 1987
( EN ) Reinhold Remmert, Teoria funcțiilor complexe , Springer Verlag, 1991

Elemente conexe

linkuri externe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică