Succesiunea numerică

În matematică , o secvență numerică este o secvență ai cărei termeni sunt doar numere (există o categorie desemnată prin numere, sunt incluse atât numerele naturale cât și numerele complexe ). Cu alte cuvinte, este o funcție, definită numai pe numere naturale ( $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ ) sau pe un subset de $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ , pentru care este posibil să se calculeze valoarea sa limită pe măsură ce variabila a divergă $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ . Dacă rezultatul acestei limite este un număr finit, succesiunea va fi convergentă, dacă rezultatul acesteia este $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ succesiunea va fi divergentă, dacă limita nu există, succesiunea va fi nedeterminată.

Anumite secvențe numerice pot fi rezumate într-o funcție generatoare care permite calcularea oricărui al n-lea termen al seriei; de exemplu:

a_{n}=2n-1

{\ displaystyle a_ {n} = 2n-1}

a_ {n} = 2n-1

pentru $n=1,2,...$ ${\ displaystyle n = 1,2, ...}$ $n = 1,2, ...$ este formula generatoare a numerelor impare .

Reprezentare

Graficul secvenței numerice a numerelor impare.

De asemenea, secvențele pot fi reprezentate pe plan cartezian , pe axa absciselor sunt raportate valorile lui n , pe cea a ordonatelor în schimb a a _n . Prin urmare, graficul este alcătuit dintr-o serie de puncte izolate: figura arată exemplul succesiunii naturale a numerelor impare: $a_{n}=2n-1$ ${\ displaystyle a_ {n} = 2n-1}$ $a_ {n} = 2n-1$ .

Proprietate

Secvențele numerice pot avea tendințe foarte diferite. Conform semnului termenilor săi, se spune o secvență:

peste tot pozitiv (sau pozitiv ), dacă pentru fiecare n imaginea își asumă doar valori pozitive, adică graficul este întotdeauna deasupra axei absciselor. Matematic este scris:

a_{n}>0\qquad \forall \,n

{\ displaystyle a_ {n}> 0 \ qquad \ forall \, n}

a_ {n}> 0 \ qquad \ forall \, n

pe de altă parte, este posibil să se definească o secvență care este negativă peste tot

asimptotic (sau definitiv ) pozitiv ( negativ ) atunci când de la un anumit termen încoace, n *, următorii sunt întotdeauna pozitivi, adică graficul de la un punct înainte nu intră niciodată sub axa absciselor. Matematic este scris:

a_{n}>0\qquad \forall \,n>n^{*}

{\ displaystyle a_ {n}> 0 \ qquad \ forall \, n> n ^ {*}}

a_ {n}> 0 \ qquad \ forall \, n> n ^ {*}

pe de altă parte, se poate defini o secvență asimptotic negativă .

Secvențe limitate

O succesiune de valori reale ${a_{n}}\quad$ ${\ displaystyle {a_ {n}} \ quad}$ ${a_ {n}} \ quad$ ei vor spune:

delimitat mai jos dacă există un număr m astfel încât $a_{n}\geq m,\ \forall n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ geq m, \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}$ $a_ {n} \ geq m, \ \ forall n \ in \ mathbb {N}$
delimitat mai sus dacă există un număr M astfel încât $a_{n}\leq M,\ \forall n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ leq M, \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}$ $a_ {n} \ leq M, \ \ forall n \ in \ mathbb {N}$
delimitat dacă există un număr M astfel încât $|a_{n}|\leq M,\ \forall n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq M, \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}$ $| a_ {n} | \ leq M, \ \ forall n \ in \ mathbb {N}$

O secvență de valori într-un spațiu metric este delimitată dacă toate valorile sale sunt incluse într-o minge .

Secvențe monotone

Secvențele care prezintă o regularitate în evoluția seriei de termeni, adică următorul este întotdeauna mai mare (mai puțin) decât precedentul sau același, se numesc monotone .

Dacă regularitatea este prezentă pe tot parcursul secvenței, adică fiecare termen este întotdeauna mai mare sau mai mic decât cel anterior,

a_{n+1}>a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}<a_{n}\qquad \ \forall \,n

{\ displaystyle a_ {n + 1}> a_ {n} \ quad {\ mbox {o}} \ quad a_ {n + 1} <a_ {n} \ qquad \ \ forall \, n}

a _ {{n + 1}}> a_ {n} \ quad {\ mbox {o}} \ quad a _ {{n + 1}} <a_ {n} \ qquad \ \ forall \, n

secvența se numește „ crescătoare ” sau „ descrescătoare ”.
Când, totuși, termenul poate fi, de asemenea, același

a_{n+1}\geqslant a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}\leqslant a_{n}\qquad \ \forall \,n

{\ displaystyle a_ {n + 1} \ geqslant a_ {n} \ quad {\ mbox {o}} \ quad a_ {n + 1} \ leqslant a_ {n} \ qquad \ \ forall \, n}

a _ {{n + 1}} \ geqslant a_ {n} \ quad {\ mbox {o}} \ quad a _ {{n + 1}} \ leqslant a_ {n} \ qquad \ \ forall \, n

secvența se numește „ non-descrescătoare ” sau „ non-crescătoare ”.

Dacă secvența, pe de altă parte, începe să crească în mod regulat (sau să scadă) numai de la un anumit termen n * în continuare

a_{n+1}>a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}<a_{n}\qquad \ \forall \,n>n^{*}

{\ displaystyle a_ {n + 1}> a_ {n} \ quad {\ mbox {o}} \ quad a_ {n + 1} <a_ {n} \ qquad \ \ forall \, n> n ^ {*} }

a _ {{n + 1}}> a_ {n} \ quad {\ mbox {o}} \ quad a _ {{n + 1}} <a_ {n} \ qquad \ \ forall \, n> n ^ {*}

se spune că de la punctul n * crește sau descrește definitiv .

În cele din urmă, există secvențe constante,

a_{n+1}=a_{n}\qquad \forall \,n

{\ displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} \ qquad \ forall \, n}

a _ {{n + 1}} = a_ {n} \ qquad \ forall \, n

prin care proprietatea de a fi non-crescător și non-descrescător este valabilă în același timp; exemple pot fi secvențele:

a_{n}=5\quad {\mbox{oppure}}\quad a_{n}=1^{n}

{\ displaystyle a_ {n} = 5 \ quad {\ mbox {or}} \ quad a_ {n} = 1 ^ {n}}

a_ {n} = 5 \ quad {\ mbox {sau}} \ quad a_ {n} = 1 ^ {n}

Teorema asupra secvențelor monotone

Fiecare succesiune monotonă este regulată, adică admite limită. În special, fiecare secvență monotonă și mărginită este convergentă, adică admite o limită finită .

Dovadă : Sia $a_{n}\quad$ ${\ displaystyle a_ {n} \ quad}$ $a_ {n} \ quad$ o succesiune crescândă și limitată, cu