Superfactorial

În matematică , există mai multe definiții ale superfactorialului .

Definiție de Neil Sloane și Simon Plouffe

Conform definiției de Neil Sloane și Simon Plouffe dată în Enciclopedia secvențelor întregi (Academic Press, 1995), este definită ca superfactorială a unui număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ produsul numerelor factoriale de numere întregi mai mici sau egale cu acest număr:

\mathrm {sf} (n)\equiv \prod _{k=1}^{n}{k!}=1\cdot {2!}\cdot {3!}\cdots {(n-1)!}\cdot {n!}.

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) \ equiv \ prod _ {k = 1} ^ {n} {k!} = 1 \ cdot {2!} \ cdot {3!} \ cdots {(n-1 )!} \ cdot {n!}.}

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) \ equiv \ prod _ {k = 1} ^ {n} {k!} = 1 \ cdot {2!} \ cdot {3!} \ cdots {(n-1 )!} \ cdot {n!}.}

Superfactorialele astfel definite reprezintă secvența A000178 a OEIS .

În mod echivalent, superfactorialul este dat de formulă

\mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i),

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) = \ prod _ {0 \ leq i <j \ leq n} (ji),}

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) = \ prod _ {0 \ leq i <j \ leq n} (j-i),}

care este determinantul matricei Vandermonde .

Această secvență de superfactoriale începe (de la $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ ) asa:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...

Generalizarea superfactorialului conform definiției lui Neil Sloane și Simon Plouffe, pentru numere complexe , este reprezentată de funcția Barnes G , deoarece avem

\mathrm {sf} (n)=G(n+2){\text{ per ogni numero intero }}n

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) = G (n + 2) {\ text {pentru orice număr întreg}} n}

{\ displaystyle \ mathrm {sf} (n) = G (n + 2) {\ text {pentru orice număr întreg}} n}

.

Definiție de Clifford A. Pickover

O altă definiție a superfactorialului , bazată pe operația de tetracție , este cea dată în 1995 de Clifford A. Pickover în cartea sa Keys to Infinity :