Suprafața de rotație

Parabola y = x ^{2 s-a} rotit în jurul axei y

În geometrie, o suprafață de rotație sau revoluție este o suprafață obținută prin rotirea unei curbe (numită generatoare sau profil ) în jurul unei linii drepte ( axa de rotație ).

Curba obținută prin intersecția unui plan perpendicular pe axa de rotație se numește paralela suprafeței de rotație. Curba obținută prin intersectarea unui plan care trece prin axa de rotație se numește meridian .

Ecuația parametrică

În general o suprafață de rotație $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ poate fi reprezentat în ecuații parametrice prin setarea unui sistem de referință cartesian și reprezentarea ecuațiilor parametrice ale curbei care îl generează. Alegem z (de exemplu) coincident cu axa de rotație, ecuațiile curbei sunt:

{\begin{cases}x=x(u)\geq 0\\y=0\\z=z(u)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u) \ geq 0 \\ y = 0 \\ z = z (u) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u) \ geq 0 \\ y = 0 \\ z = z (u) \ end {cases}}}

unde este $u\in [a,b]$ ${\ displaystyle u \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle u \ in [a, b]}$ este un parametru real.

Acum, presupunând că curba de mai sus se rotește cu un unghi $\theta \in [0,2\pi ]$ ${\ displaystyle \ theta \ in [0,2 \ pi]}$ ${\ displaystyle \ theta \ in [0,2 \ pi]}$ în jurul axei z , obținem ecuațiile parametrice ale suprafeței de rotație:

{\begin{cases}x=x(u)\cos \theta \\y=x(u)\sin \theta \\z=z(u)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u) \ cos \ theta \\ y = x (u) \ sin \ theta \\ z = z (u) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u) \ cos \ theta \\ y = x (u) \ sin \ theta \\ z = z (u) \ end {cases}}}

În acest caz, paralelele sunt date prin setarea valorii parametrului u :

{\begin{cases}x=x(u_{0})\cos \theta \\y=x(u_{0})\sin \theta \\z=z(u_{0})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u_ {0}) \ cos \ theta \\ y = x (u_ {0}) \ sin \ theta \\ z = z (u_ {0}) \ end {cazuri}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u_ {0}) \ cos \ theta \\ y = x (u_ {0}) \ sin \ theta \\ z = z (u_ {0}) \ end {cazuri}}}

în timp ce meridianele , setarea parametrului $\theta _{0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta_0$ :

{\begin{cases}x=x(u)\cos \theta _{0}\\y=x(u)\sin \theta _{0}\\z=z(u)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u) \ cos \ theta _ {0} \\ y = x (u) \ sin \ theta _ {0} \\ z = z (u) \ end { cazuri}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (u) \ cos \ theta _ {0} \\ y = x (u) \ sin \ theta _ {0} \\ z = z (u) \ end { cazuri}}}

Ecuația cartesiană

În același mod putem reprezenta curba care generează suprafața gândind-o ca o ecuație cartesiană:

{\begin{cases}f(x,z)=0\\y=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f (x, z) = 0 \\ y = 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f (x, z) = 0 \\ y = 0 \ end {cases}}}

Luăm un punct fix pe curbă $(x_{0},0,z_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, 0, z_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, 0, z_ {0})}$ și vedem că , dacă vom face rotească în jurul z printr - un unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ obținem un alt punct de ecuații:

{\begin{cases}x=x_{0}\cos \theta \\y=x_{0}\sin \theta \\z=z_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} \ cos \ theta \\ y = x_ {0} \ sin \ theta \\ z = z_ {0} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} \ cos \ theta \\ y = x_ {0} \ sin \ theta \\ z = z_ {0} \ end {cases}}}

Deoarece prin pătrarea primelor două ecuații obținem: $x_{0}^{2}=x^{2}+y^{2}$ ${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}$ vezi asta $x_{0}\geq 0$ ${\ displaystyle x_ {0} \ geq 0}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ geq 0}$ . Atunci ecuația cartesiană a suprafeței de rotație este:

f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},z\right)=0

{\ displaystyle f \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, z \ right) = 0}

{\ displaystyle f \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, z \ right) = 0}

Prima formă diferențială a lui Gauss

Referindu-ne la cele spuse despre suprafețele parametrice, putem obține expresia primei forme pătratice a lui Gauss, care reprezintă în general elementul de suprafață. Deoarece este o suprafață regulată, putem obține vectorii tangenți la cele două linii t și θ :

{\vec {T}}_{u}=(x'\cos \theta ,x'\sin \theta ,z')

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {u} = (x '\ cos \ theta, x' \ sin \ theta, z ')}

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {u} = (x '\ cos \ theta, x' \ sin \ theta, z ')}

{\vec {T}}_{\theta }=(-x\sin \theta ,x\cos \theta ,0)

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {\ theta} = (- x \ sin \ theta, x \ cos \ theta, 0)}

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {\ theta} = (- x \ sin \ theta, x \ cos \ theta, 0)}

Atunci coeficienții primei forme diferențiale a lui Gauss devin:

E={\vec {T}}_{u}\cdot {\vec {T}}_{u}=x'^{2}+z'^{2}

{\ displaystyle E = {\ vec {T}} _ {u} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} = x '^ {2} + z' ^ {2}}

{\ displaystyle E = {\ vec {T}} _ {u} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} = x '^ {2} + z' ^ {2}}

F={\vec {T}}_{u}\cdot {\vec {T}}_{\theta }=0

{\ displaystyle F = {\ vec {T}} _ {u} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = 0}

{\ displaystyle F = {\ vec {T}} _ {u} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = 0}

G={\vec {T}}_{\theta }\cdot {\vec {T}}_{\theta }=x^{2}

{\ displaystyle G = {\ vec {T}} _ {\ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = x ^ {2}}

{\ displaystyle G = {\ vec {T}} _ {\ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = x ^ {2}}

Prima formă pătratică a lui Gauss este:

\left(x'^{2}+z'^{2}\right)du^{2}+x^{2}d\theta ^{2}

{\ displaystyle \ left (x '^ {2} + z' ^ {2} \ right) du ^ {2} + x ^ {2} d \ theta ^ {2}}

{\ displaystyle \ left (x '^ {2} + z' ^ {2} \ right) du ^ {2} + x ^ {2} d \ theta ^ {2}}

În acest caz, elementul de suprafață devine:

d\sigma ={\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}\cdot x\cdot dud\theta

{\ displaystyle d \ sigma = {\ sqrt {x '^ {2} + z' ^ {2}}} \ cdot x \ cdot dud \ theta}

{\ displaystyle d \ sigma = {\ sqrt {x '^ {2} + z' ^ {2}}} \ cdot x \ cdot dud \ theta}

iar aria sa poate fi calculată:

Area(\Sigma )=\int _{0}^{2\pi }d\theta \cdot \int _{a}^{b}{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}\cdot x\cdot du

{\ displaystyle Area (\ Sigma) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ cdot \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {x '^ {2} + z' ^ {2}}} \ cdot x \ cdot du}

{\ displaystyle Area (\ Sigma) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ cdot \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {x '^ {2} + z' ^ {2}}} \ cdot x \ cdot du}

Un caz particular și notabil este parametrizarea curbei profilului prin intermediul absciselor curbiliniare . Cu acesta, viteza profilului este constant 1, adică $x'^{2}+z'^{2}=1$ ${\ displaystyle x '^ {2} + z' ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle x '^ {2} + z' ^ {2} = 1}$ . Prin urmare, coeficienții primei forme pătratice sunt reduși:

E={\vec {T}}_{s}\cdot {\vec {T}}_{s}=1

{\ displaystyle E = {\ vec {T}} _ {s} \ cdot {\ vec {T}} _ {s} = 1}

{\ displaystyle E = {\ vec {T}} _ {s} \ cdot {\ vec {T}} _ {s} = 1}

F={\vec {T}}_{s}\cdot {\vec {T}}_{\theta }=0

{\ displaystyle F = {\ vec {T}} _ {s} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = 0}

{\ displaystyle F = {\ vec {T}} _ {s} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = 0}

G={\vec {T}}_{\theta }\cdot {\vec {T}}_{\theta }=x^{2}

{\ displaystyle G = {\ vec {T}} _ {\ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = x ^ {2}}

{\ displaystyle G = {\ vec {T}} _ {\ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {\ theta} = x ^ {2}}

unde este $s\in [a,b]$ ${\ displaystyle s \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle s \ in [a, b]}$ este noul parametru al abscisei curbilineare. Prima formă pătratică a lui Gauss devine:

ds^{2}+x^{2}d\theta ^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} + x ^ {2} d \ theta ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} + x ^ {2} d \ theta ^ {2}}

cu element de suprafață:

d\sigma =x\cdot dsd\theta

{\ displaystyle d \ sigma = x \ cdot dsd \ theta}

{\ displaystyle d \ sigma = x \ cdot dsd \ theta}

și suprafață imediat calculabilă:

Area(\Sigma )=\int _{0}^{2\pi }d\theta \cdot \int _{a}^{b}x\cdot ds=\int _{a}^{b}2\pi x\cdot ds

{\ displaystyle Area (\ Sigma) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ cdot \ int _ {a} ^ {b} x \ cdot ds = \ int _ {a} ^ {b } 2 \ pi x \ cdot ds}

{\ displaystyle Area (\ Sigma) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ cdot \ int _ {a} ^ {b} x \ cdot ds = \ int _ {a} ^ {b } 2 \ pi x \ cdot ds}

A doua formă diferențială a lui Gauss

Referindu-ne la suprafețele parametrice este posibil să se obțină unitățile vectoriale normale pentru fiecare punct al suprafeței de rotație:

${\hat {N}}={\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}$ ${\ displaystyle {\ hat {N}} = {\ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta}} {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {N}} = {\ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta}} {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}}}$

Coeficienții celei de-a doua forme diferențiale a lui Gauss devin dacă obținem a doua derivată parțială:

{\vec {T}}_{uu}=(x''\cos \theta ,x''\sin \theta ,z'')

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {uu} = (x '' \ cos \ theta, x '' \ sin \ theta, z '')}

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {uu} = (x '' \ cos \ theta, x '' \ sin \ theta, z '')}

{\vec {T}}_{u\theta }=(-x'\sin \theta ,x'\cos \theta ,0)

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {u \ theta} = (- x '\ sin \ theta, x' \ cos \ theta, 0)}

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {u \ theta} = (- x '\ sin \ theta, x' \ cos \ theta, 0)}

{\vec {T}}_{\theta \theta }=(-x\cos \theta ,-x\sin \theta ,0)

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {\ theta \ theta} = (- x \ cos \ theta, -x \ sin \ theta, 0)}

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {\ theta \ theta} = (- x \ cos \ theta, -x \ sin \ theta, 0)}

noi obținem:

$L={\frac {{\vec {T}}_{uu}\cdot {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}={\frac {z''\cdot x'-z'\cdot x''}{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}}$ ${\ displaystyle L = {\ frac {{\ vec {T}} _ {uu} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta}} {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}} = {\ frac {z '' \ cdot x'-z '\ cdot x' '} { \ sqrt {x '^ {2} + z' ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle L = {\ frac {{\ vec {T}} _ {uu} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta}} {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}} = {\ frac {z '' \ cdot x'-z '\ cdot x' '} { \ sqrt {x '^ {2} + z' ^ {2}}}}}$

$M={\frac {{\vec {T}}_{u\theta }\cdot {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}={\frac {0}{x{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}}}=0$ ${\ displaystyle M = {\ frac {{\ vec {T}} _ {u \ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta}} {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}} = {\ frac {0} {x {\ sqrt {x '^ {2} + z '^ {2}}}}} = 0}$ ${\ displaystyle M = {\ frac {{\ vec {T}} _ {u \ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta}} {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}} = {\ frac {0} {x {\ sqrt {x '^ {2} + z '^ {2}}}}} = 0}$

$N={\frac {{\vec {T}}_{\theta \theta }\cdot {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}={\frac {xz'}{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}}$ ${\ displaystyle N = {\ frac {{\ vec {T}} _ {\ theta \ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} } {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}} = {\ frac {xz '} {\ sqrt {x' ^ {2} + z '^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle N = {\ frac {{\ vec {T}} _ {\ theta \ theta} \ cdot {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} } {| {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {\ theta} |}} = {\ frac {xz '} {\ sqrt {x' ^ {2} + z '^ {2}}}}}$

Elemente conexe

Suprafaţă
Suprafața guvernată
Suprafață parametrică
Quartica ca linie de intersecție între două suprafețe de rotație

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe o suprafață de rotație

linkuri externe

* Cazuri de intersecție între suprafețele de rotație

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică