Teorema Desargues

Teorema lui Desargues , sau triunghiurile omologice , este o teoremă a geometriei proiective numită după matematicianul francez Girard Desargues .

Afirmație

Teorema lui Desargues afirmă că, dacă două triunghiuri sunt în perspectivă față de un punct, atunci ele sunt și în perspectivă față de o linie.

În mod echivalent, dacă două triunghiuri sunt în perspectivă față de un punct și dacă părțile laturilor corespunzătoare se intersectează, atunci cele trei puncte de intersecție sunt aliniate.

Prezentare grafică: două triunghiuri care satisfac teorema Desargues

Reciprocitatea teoremei lui Desargues este, de asemenea, adevărată: dacă două triunghiuri sunt în perspectivă față de o dreaptă și dacă fiecare pereche de vârfuri corespunzătoare sunt unite prin linii care se intersectează, atunci triunghiurile sunt în perspectivă față de punctul de intersecție a celor trei drepte .

Amintiți-vă că două triunghiuri sunt perspective în raport cu un punct dacă liniile drepte care unesc punctele sunt concurenți. De asemenea, se spune că două triunghiuri sunt în perspectivă față de o linie dacă perechile formate din linii corespunzătoare sunt tăiate în puncte aliniate.

Teorema lui Desargues este luată în considerare de Hilbert în 1800 în cartea Grundlagen der Geometrie (Fundamentele geometriei), unde matematicianul german formulează câteva considerații derivate din această teoremă. El propune un sistem diferit de axiome , care generează un tip de geometrie care nu aplică teorema lui Desargues.

În 1902 , Moulton reia subiectul tratat de Hilbert, propunând un exemplu de geometrie desarguesiana non oarecum mai simplă, fapt care va fi raportat în edițiile ulterioare ale textului Grundlagen der Geometrie. Moulton a publicat în acest scop, în 1902, un articol în revista Transactions of the American Mathematical Society.

În cele din urmă, o interpretare diferită a problemei reprezentate de teorema lui Desargues poate fi introdusă prin prezentarea datei de stabilire de la Emil Artin în cartea sa Geometric Algebra.

Demonstrație

Cea mai comună dovadă a acestei teoreme se face în trei dimensiuni. Acest lucru este posibil, deoarece geometria proiectivă funcționează la fel și în acest caz. Având în vedere cele două triunghiuri în cauză, fiecare dintre acestea va aparține unui plan. Noi sunam $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ linia obținută prin intersectarea celor două planuri. Acum, să luăm în considerare $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , puncte de intersecție între două vârfuri în perspectivă față de punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , punct cu privire la care triunghiurile de pornire sunt în perspectivă. $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ toate trebuie să aparțină liniei drepte $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ deoarece toate aparțin atât planului primului triunghi, cât și planului celui de-al doilea triunghi și, prin urmare, sunt în intersecția lor.

Elemente conexe

Planul lui Moulton

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema lui Desargues

linkuri externe

(EN) Teorema lui Desargues , în PlanetMath .
(EN) MI Voitsekhovskii, presupunerea Desargues , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Teorema Desargues , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică