Planul lui Moulton

Planul Moulton este un exemplu de geometrie nu desarguesiana propus în 1902 de Forest Ray Moulton . Reia contraexemplul lui Hilbert pe Teorema Desargues inserată în Grundlagen der Geometrie , dar este ceva mai simplu. David Hilbert l-a revenit în edițiile ulterioare ale lucrării sale pe fundațiile geometriei.

În esență, Moulton demonstrează că teorema lui Desargues nu este o consecință a axiomelor lui Hilbert I 1-2, II, III 1-5, IV, V, care arată un plan geometric nesegarguesian care satisface toate axiomele în cauză și este mai simplu decât cea dată de Hilbert.

Definiție

Geometria non desarguesiana este descrisă în termenii planului geometric euclidian obișnuit , care se presupune că există logic. Prin urmare, un plan euclidian obișnuit este presupus ca un plan non-desarguesian, care este adecvat pentru a se referi la un sistem de axe ortogonale; punctele planului euclidian sunt presupuse ca puncte nesegarguesiene. Cum drept desarguesiane ei iau mai întâi toate euclidiene drepte care nu au înclinație pozitivă; pe măsură ce desarguesiane liniile rămase își asumă fiecare rupt constituit de unirea a două jumătăți de linii euclidiene cu înclinație pozitivă care sunt sudate într-un punct de pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât înclinația superioară este dată de produsul unei constante pozitive diferite de unitatea ori de înclinația părții inferioare. Setul de linii non-desarguesiene include deci liniile euclidiene cu înclinare negativă, axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și liniile întrerupte definite de ecuație:

y=\delta (y,\theta )(x-a)\tan(\theta ).

{\ displaystyle y = \ delta (y, \ theta) (xa) \ tan (\ theta).}

y = \ delta (y, \ theta) (x-a) \ tan (\ theta).

Aici $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt coordonatele ortogonale ale unui punct referit la axele de referință, a este distanța de la origine la punctul în care liniile traversează axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ( $0\leq \theta \leq \pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$ $0 \ leq \ theta \ leq \ pi$ ) este unghiul dintre raza pozitivă a axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și extinderea jumătății inferioare a liniei, e $\delta (y,\theta )$ ${\ displaystyle \ delta (y, \ theta)}$ $\ delta (y, \ theta)$ este o constantă pentru fiecare linie definită prin întrebare

\delta (y,\theta )={\begin{cases}C&{\mbox{se }}y<0{\mbox{ e }}\theta <\pi /2\\1&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}.

{\ displaystyle \ delta (y, \ theta) = {\ begin {cases} C & {\ mbox {se}} y <0 {\ mbox {e}} \ theta <\ pi / 2 \\ 1 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}.}

\ delta (y, \ theta) = {\ begin {cases} C & {\ mbox {se}} y <0 {\ mbox {e}} \ theta <\ pi / 2 \\ 1 & {\ mbox {altfel }} \ end {cases}}.

Planul nu verifică teorema lui Desargues

Acum dovedim că exemplul lui Moulton satisface toate axiomele indicate de Hilbert, dar nu verifică teorema lui Desargues.

Având în vedere setul de puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ , întregul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ a liniilor de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este definit după cum urmează: $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Se compune din toate drepturile euclidiene (de geometrie analitică ) verticale și orizontale sau cu o pantă negativă, adică cu ecuație

y=mx+q\quad {\mbox{con }}m<0

{\ displaystyle y = mx + q \ quad {\ mbox {con}} m <0}

y = mx + q \ quad {\ mbox {cu}} m <0

și, de asemenea, prin liniile întrerupte formate din linii euclidiene (de geometrie analitică) cu panta pozitivă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ deasupra axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $2m$ ${\ displaystyle 2m}$ $2m$ dedesubt, adică:

\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon y=mx+q,x>0\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon y=2mx+2q,x<0\right\}\quad m>0\quad q\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ colon y = mx + q, x> 0 \} \ cup \ {(x, y) \ in \ mathbb { R} ^ {2} \ colon y = 2mx + 2q, x <0 \ right \} \ quad m> 0 \ quad q \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ colon y = mx + q, x> 0 \} \ cup \ {(x, y) \ in \ mathbb { R} ^ {2} \ colon y = 2mx + 2q, x <0 \ right \} \ quad m> 0 \ quad q \ in \ mathbb {R}.}

Este necesar să se arate că fiecare pereche de puncte sunt distincte $P_{1}=(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1})}$ $P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1})$ Și $P_{2}=(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$ $P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})$ se află pe o singură linie a planului Moulton: singurul caz care prezintă o anumită dificultate apare atunci când un punct are o ordonată pozitivă, celălalt o ordonată negativă și linia euclidiană pentru aceste două puncte are o pantă pozitivă; în acest caz puteți continua scriind pachetele de linii pentru $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ respectiv în acest mod

y_{1}>0;\ y_{2}<0

{\ displaystyle y_ {1}> 0; \ y_ {2} <0}

y_ {1}> 0; \ y_ {2} <0

(y-y_{1})=m(x-y_{1})

{\ displaystyle (y-y_ {1}) = m (x-y_ {1})}

(y-y_ {1}) = m (x-y_ {1})

(y-y_{2})=m(x-y_{2})

{\ displaystyle (y-y_ {2}) = m (x-y_ {2})}

(y-y_ {2}) = m (x-y_ {2})

și impunând că punctul de intersecție cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ fi la fel:

(-y_{1}+mx_{1})/m=(-y_{2}+mx_{2})/2m.

{\ displaystyle (-y_ {1} + mx_ {1}) / m = (- y_ {2} + mx_ {2}) / 2m.}

(-y_ {1} + mx_ {1}) / m = (- y_ {2} + mx_ {2}) / 2m.

Din această ecuație în $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ noi obținem

m={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}.

{\ displaystyle m = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {2y_ {1} -y_ {2}} {x_ {1} -x_ {2}}}.

m = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {2y_ {1} -y_ {2}} {x_ {1} -x_ {2}}}.

Axioma I 1-2 este satisfăcută.

În mod clar, axioma I 3 deține și ea.

Axiomele II 1-4 referitoare la ordonarea a 3 și 4 puncte pe o linie dreaptă și relația de ordine sunt luate ca în geometria euclidiană și, prin urmare, sunt verificate.

Verificarea axiomei II 4

Axioma II 4 presupune că o linie care taie o parte a triunghiului , care nu trece printr-unul din vârfurile sale, mărește și o altă latură a triunghiului și este o dovadă care este ușor de satisfăcut. Dacă triunghiul este totul în partea pozitivă sau negativă, proprietatea rezultă din faptul că este scufundat într-un plan euclidian; acest lucru este adevărat chiar dacă triunghiul are o latură pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . În caz contrar, axa x este o linie internă a triunghiului și luată orice linie care nu trece prin vârfuri intersectează triunghiul cel puțin în două puncte, cel mult în trei.

De fapt, considerăm cazul unui triunghi ca în figură, totuși alegem o linie care intersectează latura $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , să presupunem în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , aceasta în planul euclidian tăie triunghiul într-un alt punct; dacă aceasta este sub linie $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , linia euclidiană coincide cu cea a lui Moulton, iar axioma este dovedită; altfel punctul este găsit sau ca în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și apoi oricum se ia o altă linie cu un coeficient pozitiv care taie triunghiul la H, aceasta taie triunghiul într-un alt punct, deoarece partea pozitivă a triunghiului poate fi considerată ca fiind scufundată într-un plan euclidian și, prin urmare, taie triunghiul în trei puncte sau dacă trece linia dreaptă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ intersectează axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ într-un alt punct care nu se află pe latura triunghiului, din moment ce linia $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este în interiorul triunghiului, linia întreruptă a lui Moulton, trebuie să intersecteze triunghiul într-un alt punct.

În ceea ce privește axioma IV ( paralelismul ), avem că liniile drepte sunt paralele cu orizontala, precum și verticală și dreaptă cu aceeași pantă negativă; în ceea ce privește liniile întrerupte, acestea sunt paralele dacă și numai dacă au o pantă egală deasupra axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar dacă au o pantă egală sub axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . De aici rezultă că, luând orice punct P în afara unei linii date, există unul și un singur paralel cu acesta care trece prin punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , amintindu-ne că problema nu apare pentru două linii de tipuri diferite care nu sunt niciodată paralele.

Axiomele III 1-3 privesc congruența segmentelor de linii drepte. Lungimile segmentelor sunt măsurate de-a lungul liniilor din această geometrie, așa cum se face în geometria euclidiană și astfel se verifică aceste axiome.

Verificarea axiomelor III 4-5.

Axiomele III 4-5 privesc congruența dintre unghiuri și încercăm să le verificăm cu definiții adecvate pentru congruența unghiurilor. Cea mai ușoară alegere constă în definirea dimensiunii unghiurilor în termeni de lățime unghiulară euclidiană și cererea ca două unghiuri cu lățimi egale să fie congruente. În această geometrie, cantitățile non-desarguesiene ale tuturor unghiurilor sunt egale cu cele euclidiene corespunzătoare, cu excepția unghiurilor care au vârfurile pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și cel puțin o parte pe acea axă și care formează un unghi mai mic decât ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ .

Fiind punctul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , consideram $L K. M.$ ${\ displaystyle LKM}$ $LKM$ unghiul de divergență dintre partea pozitivă a axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu linia dreaptă $K. M.$ ${\ displaystyle KM}$ $KM$ a vârfului etajului. Magnitudinea non-desarguesiană a unghiului este magnitudinea euclidiană care în sensul non-desarguesian este vertical opusă acesteia.

În figură, magnitudinea non-desarguesiană a unghiului $L K. M.$ ${\ displaystyle LKM}$ $LKM$ este egal cu magnitudinea euclidiană a unghiului $OKA_{2}$ ${\ displaystyle OKA_ {2}}$ $OKA_ {2}$ sau $L K. P.$ ${\ displaystyle LKP}$ $LKP$ . Mărimea non-desarguesiană a unghiului dintre cele două linii care intersectează axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , este diferența algebrică a unghiurilor nesarguesiene pe care le formează cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Cu această definiție axiomele III 4-5 sunt satisfăcute.

Axioma V este satisfăcută în exemplul lui Hilbert și Moulton. Rămâne să arătăm că în această geometrie teorema Desargues nu este adevărată. Este vorba de a găsi două triunghiuri particulare care au laturile lor paralele corespunzătoare și de a demonstra că liniile care unesc vârfurile lor respective nu sunt neapărat concurente.

Să luăm în considerare triunghiurile $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ , $B_{1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ , $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ , $B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ $B_2$ $C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ a figurii. În geometria euclidiană, liniile drepte care unesc vârfurile respective se intersectează într-un singur punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . În această geometrie liniile $B_{1}B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {1} B_ {2}}$ $B_ {1} B_ {2}$ Și $C_{1}C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {1} C_ {2}}$ $C_ {1} C_ {2}$ rămâne aceeași, în timp ce linia dreaptă $A_{1}A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$ $A_ {1} A_ {2}$ se rupe înainte de a intra $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Prin urmare, nu va mai trece $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Iar Teorema Desargues nu este valabilă. $l(A,A')||l(B,B')||l(C,C')$ ${\ displaystyle l (A, A ') || l (B, B') || l (C, C ')}$ $l (A, A ') || l (B, B') || l (C, C ')$ Și $l(A,B)||l(A',B')$ ${\ displaystyle l (A, B) || l (A ', B')}$ $l (A, B) || l (A ', B')$ Și $l(A,C)||l(A',C')$ ${\ displaystyle l (A, C) || l (A ', C')}$ $l (A, C) || l (A ', C')$ . Atunci $l(B,C)||l(B',C')$ ${\ displaystyle l (B, C) || l (B ', C')}$ $l (B, C) || l (B ', C')$ . ^{[ neclar ]}

În figură vedem că linia $l(B,C)$ ${\ displaystyle l (B, C)}$ $l (B, C)$ se intersectează $l(B',C')$ ${\ displaystyle l (B ', C')}$ $l (B ', C')$ în sens $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . ^{[ Neclar ]} Deci, planul nu este Desarguesiano Moulton.

Bibliografie

(EN) Forest Ray Moulton , A simple non-desarguesian plane geometry , in the Transactions of the American Mathematical Society, vol. 3, nr. 2, American Mathematical Society , aprilie 1902, pp. 192-195, ISSN 00029947 ( WC · ACNP ). Adus la 31 mai 2013.

Elemente conexe

Teorema Desargues

linkuri externe

(EN) Avionul Moulton , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică