Teorema lui Sylvester-Gallai

Teorema Sylvester-Gallai (inițial o presupunere cunoscută sub numele de problema Sylvester ) afirmă că, având în vedere un set finit de cel puțin 3 puncte ale planului , nu este posibil să le aranjăm într-o astfel de configurație încât fiecare linie care trece prin două puncte conține o a treia, dacă nu sunt toate aliniate.

Cu alte cuvinte, următoarea alternativă este adevărată:

o toate punctele sunt aliniate;
sau există cel puțin o linie care conține doar două puncte ale setului.

Această afirmație de formulare foarte intuitivă și simplă a fost propusă ca o problemă deschisă de James Joseph Sylvester în 1893 și rezolvată abia în 1944 de Tibor Gallai . O versiune mai cantitativă a afirmației este teorema lui Beck .

Afirmația nu este adevărată pentru un set de puncte infinite ale planului: un contraexemplu destul de evident este furnizat de set ${\mathbb {Z} }\times {\mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} \ times {\ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} \ times {\ mathbb {Z}}}$ .

Demonstrație

Să presupunem că avem un set S care conține un număr finit de cel puțin 3 puncte, nu toate aliniate. Definim linia de conexiune pentru S ca o dreaptă a planului care conține cel puțin două puncte ale colecției; este vorba de identificarea unei linii de conexiune care conține exact două puncte.

Fie eu o linie dreaptă de conexiune; deoarece punctele lui S nu sunt aliniate, în S există cel puțin un punct P care nu aparține lui l . Dacă l conține exact două puncte, atunci teza este adevărată. În caz contrar, știm că l conține cel puțin trei puncte, pe care le numim de exemplu A , B și C. Putem presupune fără pierderea generalității că B se află între A și C. De la colțuri $\angle ABP$ ${\ displaystyle \ angle ABP}$ ${\ displaystyle \ angle ABP}$ Și $\angle CBP$ ${\ displaystyle \ angle CBP}$ ${\ displaystyle \ angle CBP}$ adaugă până la 180 de grade , nu pot fi amândoi obtuzi; putem presupune $\angle ABP$ ${\ displaystyle \ angle ABP}$ ${\ displaystyle \ angle ABP}$ nu obtuz (adică acut).

Acum, fii m o linie de conexiune a lui C și P, atunci m nu conține B. De asemenea, distanța dintre B și m este mai mică decât distanța dintre P și l .

În rezumat, am luat o linie de conexiune l și un punct P în S - l și am constatat că aut l conține exact două puncte și f există o altă linie de conexiune m și un punct B în S - m astfel încât distanța dintre B și m este mai mică decât distanța dintre P și l . În al doilea caz, repetăm procedura înlocuind P și l cu B și m . Nu putem continua procesul la nesfârșit, deoarece numărul posibilelor distanțe pozitive dintre puncte și liniile de legătură este finit, deoarece S este finit. În acest fel obținem o linie de conexiune care conține exact două puncte.

Generalizări

În timp ce teorema Sylvester-Gallai garantează existența a cel puțin unei linii care conține exact 2 puncte, nu s-a găsit încă niciun aranjament de puncte cu exact o linie care conține doar două puncte. Acest lucru l-a determinat pe Gabriel Andrew Dirac să conjectureze că, pentru orice set de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ puncte, nu toate aliniate, cel puțin există $n/2$ ${\ displaystyle n / 2}$ $n / 2$ linii care conțin exact două puncte. În prezent, sunt cunoscute două contraexemple ale conjecturii lui Dirac: planul Fano (7 puncte) și configurația McKee (13 puncte). Kelly și Moser au arătat în 1958 că există cel puțin 3 n / 7 linii care conțin exact două puncte, iar în 1993 Csima și Sawyer au arătat că, pentru n > 7, există cel puțin 6 n / 13.

Bibliografie

Coxeter, HSM, Introducere în geometrie , ediția a doua, paragrafele 4.7 și 12.3, New York, Wiley, 1969.
L. Kelly și W. Moser. Pe numărul de linii obișnuite determinat de n puncte . Jurnalul canadian de matematică, 10: 210–219, 1958.
J. Csima și E. Sawyer. Există 6n / 13 puncte obișnuite . Geometrie discretă și computațională, 9: 187–202, 1993.

linkuri externe

Sylvester's Line Problems on MathWorld .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică