Teorema lui Ptolemeu

Teorema lui Ptolemeu stabilește relația dintre laturi și diagonale într-un patrulater înscris într-un cerc.

Teorema lui Ptolemeu este o teoremă a geometriei euclidiene care stabilește relația dintre laturile și diagonalele unui patrulater ciclic , adică un patrulater inscripționat într-un cerc . Teorema apare în prima carte din Almagestul lui Claudius Ptolemeu .

Afirmație

Având în vedere un patrulater ABCD înscris într-un cerc, se ține următoarea relație:

{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}},

{\ displaystyle {\ overline {AC}} \ cdot {\ overline {BD}} = {\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {CD}} + {\ overline {BC}} \ cdot {\ overline { LA}},}

{\ displaystyle {\ overline {AC}} \ cdot {\ overline {BD}} = {\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {CD}} + {\ overline {BC}} \ cdot {\ overline { LA}},}

sau, în cuvinte,

Dacă un patrulater este înscris într-un cerc, suma produselor perechilor de laturi opuse este egală cu produsul diagonalelor sale.

De asemenea, inversul este adevărat și anume:

Dacă într-un patrulater suma produselor perechilor de laturi opuse este egală cu produsul diagonalelor sale, atunci patrulaterul poate fi înscris într-un cerc.

Demonstrație

Fie ABCD un patrulater ciclic.
Determinați punctul E pe diagonala AC astfel încât unghiul AEB să fie congruent cu unghiul BCD.
Observând desenul central, în dreapta, vedem că triunghiurile AEB (galben) și BCD (violet) sunt similare; de fapt, unghiurile din C și din E sunt egale prin construcție, în timp ce unghiurile din A și D sunt egale prin faptul că sunt unghiuri la circumferința care insistă pe același acord BC. În consecință, relația deține:

{\overline {AE}}:{\overline {CD}}={\overline {AB}}:{\overline {BD}}

{\ displaystyle {\ overline {AE}}: {\ overline {CD}} = {\ overline {AB}}: {\ overline {BD}}}

{\ displaystyle {\ overline {AE}}: {\ overline {CD}} = {\ overline {AB}}: {\ overline {BD}}}

sau, echivalent,

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}={\overline {AE}}\cdot {\overline {BD}}.

{\ displaystyle {\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {CD}} = {\ overline {AE}} \ cdot {\ overline {BD}}.}

{\ displaystyle {\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {CD}} = {\ overline {AE}} \ cdot {\ overline {BD}}.}

Privind desenul de mai jos, în dreapta, vedem că triunghiurile BEC (galben) și ABD (violet) sunt, de asemenea, similare; de fapt, unghiurile din B sunt congruente, la fel ca și unghiurile din C și D, ca unghiuri la circumferința care insistă pe același acord AB. Deci avem asta: