Teorema Wigner-Eckart

Teorema Wigner-Eckart este o importantă teoremă a mecanicii cuantice care permite simplificarea calculului elementelor matrice ale unui tensor sferic. Este $T_{q}^{k}$ ${\ displaystyle T_ {q} ^ {k}}$ ${\ displaystyle T_ {q} ^ {k}}$ componenta q-a unui tensor sferic de rang k , ( $A,J^{2},J_{z}$ ${\ displaystyle A, J ^ {2}, J_ {z}}$ ${\ displaystyle A, J ^ {2}, J_ {z}}$ ) un set complet de observabile care fac naveta e $|\alpha jm\rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha jm \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ alpha jm \ rangle}$ o bază de stări proprii simultane ale aceluiași. Atunci:

\langle \alpha 'j'm'|T_{q}^{k}|\alpha jm\rangle =\langle jk;mq|jk;j'm'\rangle {\frac {\langle \alpha 'j'||T^{k}||\alpha j\rangle }{\sqrt {2j+1}}}

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'j'm' | T_ {q} ^ {k} | \ alpha jm \ rangle = \ langle jk; mq | jk; j'm '\ rangle {\ frac {\ langle \ alpha 'j' || T ^ {k} || \ alpha j \ rangle} {\ sqrt {2j + 1}}}}

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'j'm' | T_ {q} ^ {k} | \ alpha jm \ rangle = \ langle jk; mq | jk; j'm '\ rangle {\ frac {\ langle \ alpha 'j' || T ^ {k} || \ alpha j \ rangle} {\ sqrt {2j + 1}}}}

Primul termen la al doilea membru este un coeficient Clebsch-Gordan corespunzător compoziției a două momente unghiulare j și k cu a treia componentă m și respectiv q . Al doilea termen se numește element cu matrice redusă și nu depinde de m , m ' și q . În cazul în care avem k = 0, adică tensorul sferic este un scalar , atunci

\langle \alpha 'j'm'|T_{0}^{0}|\alpha jm\rangle =\langle j0m0|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'||T^{0}||\alpha j\rangle

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'j'm' | T_ {0} ^ {0} | \ alpha jm \ rangle = \ langle j0m0 | j'm '\ rangle \ langle \ alpha' j '|| T ^ { 0} || \ alpha j \ rangle}

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'j'm' | T_ {0} ^ {0} | \ alpha jm \ rangle = \ langle j0m0 | j'm '\ rangle \ langle \ alpha' j '|| T ^ { 0} || \ alpha j \ rangle}

în consecință, obținem regulile de selecție j = j 'em = m' (pentru a avea un element matricial non-nul). În cazul în care k = 1 , adică tensorul sferic este un operator vector, obținem

\langle \alpha 'j'm'|T_{q}^{1}|\alpha jm\rangle =\langle j1mq|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'||T^{1}||\alpha j\rangle

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'j'm' | T_ {q} ^ {1} | \ alpha jm \ rangle = \ langle j1mq | j'm '\ rangle \ langle \ alpha' j '|| T ^ { 1} || \ alpha j \ rangle}

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'j'm' | T_ {q} ^ {1} | \ alpha jm \ rangle = \ langle j1mq | j'm '\ rangle \ langle \ alpha' j '|| T ^ { 1} || \ alpha j \ rangle}

din care urmează regulile de selecție $m'=m+q$ ${\ displaystyle m '= m + q}$ ${\ displaystyle m '= m + q}$ Și $j^{'}$ ${\ displaystyle j '}$ ${\ displaystyle j '}$ ∈ j ⊗ 1.

Din teorema Wigner-Eckart, în caz $j=j'$ ${\ displaystyle j = j '}$ ${\ displaystyle j = j '}$ Și $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ , urmează cu ușurință o altă teoremă importantă, teorema de proiecție:

\langle \alpha 'jm'|T_{q}^{1}|\alpha jm\rangle =\langle jm'|J_{q}|jm\rangle \langle \alpha 'jm|\alpha jm\rangle

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'jm' | T_ {q} ^ {1} | \ alpha jm \ rangle = \ langle jm '| J_ {q} | jm \ rangle \ langle \ alpha' jm | \ alpha jm \ rangle}

{\ displaystyle \ langle \ alpha 'jm' | T_ {q} ^ {1} | \ alpha jm \ rangle = \ langle jm '| J_ {q} | jm \ rangle \ langle \ alpha' jm | \ alpha jm \ rangle}

Bibliografie

M. Abramowitz și I. Stegun Manual de funcții matematice (Dover, 1972) (capitolul 27, p. 1006 )
LD Landau and EM Lifsits Theoretical Physics: Vol. 3 Quantum Mechanics (Editori Riuniti, Rome, 1978)
JJ Sakurai - Mecanica cuantică modernă
( EN ) A. Messiah Quantum Mechanics (Dover, 2004) / ( FR ) Mécanique Quantique t. II (Dunod, 1960)
( EN ) EU Condon și GH Shortley Teoria spectrelor atomice (Cambridge University Press, 1959)
(RO) W. Miller Jr. Simetria Grupuri și aplicațiile lor (Academic Press, New York, 1972) (capitolul 3 , p. 81 și Capitolul 7 )

Elemente conexe

linkuri externe

JJ Sakurai, (1994). „Mecanica cuantică modernă”, Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2 .
( EN ) Eric W. Weisstein, teorema Wigner - Eckart , în MathWorld , Wolfram Research.
Wigner - Teorema Eckart , pe electron6.phys.utk.edu .
Operatori tensori , la galileo.phys.virginia.edu .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica