De asemenea, este posibil să se arate că impulsul unghiular total {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}} este generatorul de rotații în spațiu.
În mod formal, impulsul unghiular total are aceleași reguli ca și impulsul unghiular orbital și rotirea, deci cu {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}} puteți indica fie {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}}} , este {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {S}}}} și, de asemenea, o compoziție de momente {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} + {\ hat {\ mathbf {S}}}} sau {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {2}} sau din nou {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {2}} .
Proprietățile operatorului momentului unghiular total
Operatorul momentului unghiular total, similar cu momentul unghiular orbital , generează rotații de-a lungul unei axe: funcția de undă{\ displaystyle \ psi (x)} rotit de un unghi {\ displaystyle \ phi} în jurul axei {\ displaystyle z} , devine:
Proprietățile de comutare pentru operatorul momentului unghiular total sunt:
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {z}}
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {x}}
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {x}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {y}} ,
unde este {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}} sunt proiecțiile momentului unghiular total de-a lungul axelor carteziene ; în formă compactă este posibil să scrieți:
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {k}} ,
Pornind de la momentul unghiular total, este posibil să se construiască operatorul {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2}} .
Acest operator comută cu componentele momentului unghiular total; intr-adevar:
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0} .
Comportamentul componentelor momentului unghiular total cu operatorii de poziție și impuls este relevant; în ceea ce privește operatorul de poziție, pot fi stabilite următoarele relații:
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {x}}] = 0}
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {y}}] = i \ hbar {\ hat {z}}}
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {z}}] = - i \ hbar {\ hat {y}}} .
În mod similar, se pot obține relații analoage cu {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y}} și {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} ; în general avem în vedere că componenta impulsului unghiular pe o axă navetează numai cu coordonata acelei axe. În formă compactă avem:
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {x}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {x}} _ {k}} ,
unde este {\ displaystyle {\ hat {x}} _ {j} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})} Și {\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}} este tensorul Levi-Civita, care este egal cu {\ displaystyle +1} pentru permutări uniforme ale indicilor, {\ displaystyle -1} pentru permutări ciudate și dacă {\ displaystyle i = j} .
În ceea ce privește comutațiile cu impulsuri, exact același lucru este adevărat:
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {p}} _ {k}} .
Am văzut că componentele momentului unghiular nu fac naveta între ele, ci toate navetează individual cu operatorul pătrat al momentului unghiular. Puteți alege o singură componentă (de exemplu {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} ) care comută cu {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} ; în acest fel se poate numi starea, care este un stat propriu al ambilor operatori {\ displaystyle | j, j_ {z} \ rangle} . Puteți afla care sunt valorile proprii{\ displaystyle a, b} (uneori mai corect indicat cu {\ displaystyle j} , {\ displaystyle j_ {z}} , sau cu {\ displaystyle j} , {\ displaystyle m_ {j}} ) simultan cu acești operatori:
{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar ^ {2} a | j, m_ {j} \ rangle \\ {\ hat {J}} _ {z} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar b | j, m_ {j} \ rangle \ end {cases}}}
Pentru a face acest lucru, este necesar să se introducă doi operatori, numiți operatori de scară :
{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} = {\ hat {J}} _ {x} \ pm i {\ hat {J}} _ {y}} ,
care sunt unul complexul conjugat al celuilalt și nu sunt hermitieni . Acești operatori au următoarele proprietăți:
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-}] = 2 \ hbar {\ hat {J}} _ {z}}
{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {J}} _ {\ pm}}
{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = 0} .
Operatorul {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} poate fi exprimat în termeni de {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} și operatorii de scară {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}} În felul următor:
{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} \ hbar} .
Dacă luați măsuri {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} pe stat{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle} primesti:
{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right) = \ hbar (b \ pm 1) \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right)} .
Punerea în aplicare {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}} valoarea proprie a {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} (acesta este {\ displaystyle b} ) crește cu {\ displaystyle \ hbar} ; invers prin aplicarea {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {-}} , valoarea proprie este scăzută cu {\ displaystyle \ hbar} , de unde și numele operatorilor de scară. În schimb, aplicând {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} avem:
{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right) = \ hbar ^ { 2} a {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle} ,
adică aplicarea operatorilor {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}} modifică valoarea proprie a {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} , dar nu de {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} .
Relația care leagă {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} Și {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} Și:
{\ displaystyle \ langle j, m_ {j} | \ left ({\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ right) | j, m_ {j} \ rangle = \ left \ langle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ right \ rangle \ geq 0} .
Aceasta implică faptul că valorile proprii ale proiecției momentului unghiular total {\ displaystyle b} nu le poate depăși pe cele ale {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} , acesta este {\ displaystyle a} :
De aici și valoarea proprie a {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} este limitat mai jos și mai sus de valorile pe care le poate lua {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} . Locuri {\ displaystyle b_ {min}} valoarea minimă e {\ displaystyle b_ {max}} valoarea maximă pe care o poate lua {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} și, ulterior, aplicarea operatorilor de scară {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-}} , trebuie să fie că:
{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+} | a, b_ {max} \ rangle = 0 \; \;} Și {\ displaystyle \; \; {\ hat {J}} _ {-} | a, b_ {min} \ rangle = 0} .
Dacă se aplică {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} la {\ displaystyle | a, b_ {max} \ rangle} obținem că:
De aici și valoarea proprie a {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} Și {\ displaystyle a = b_ {max} (b_ {max} +1)} ori {\ displaystyle \ hbar ^ {2}} . Datorită îngustimii {\ displaystyle b} și având în vedere simetria căreia {\ displaystyle {\ hat {J_ {z}}}} trebuie să se bucure de respect față de plan {\ displaystyle xy} , avem asta {\ displaystyle b} neapărat trebuie să fie fie întreg, fie pe jumătate . Există deci {\ displaystyle (2b_ {max} +1)} valori ale {\ displaystyle b} , acesta este {\ displaystyle b = \ {- b_ {max}, - b_ {max} +1, \ dots, b_ {max} -1, b_ {max} \}} .
Pentru valorile proprii ale {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} primesti:
unde este {\ displaystyle j} este numărul cuantic al momentului unghiular total, care poate fi întreg sau semi-întreg și {\ displaystyle m_ {j} = \ {- j, -j + 1, \ dots, j-1, j \}} este numărul cuantic al proiecției momentului unghiular total.
Elemente de matrice
Pentru a analiza structura matricilor de momente unghiulare, presupunem că aceste momente sunt calculate pe stările proprii {\ displaystyle | j, j_ {m} \ rangle} deja normalizat; în consecință pe această bază a statelor proprii ambele {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}} este {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}} sunt diagonale:
unde este {\ displaystyle c _ {+}} este un coeficient. Folosirea egalității:
{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z}} ,
și derivând expresia lui {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}} și de {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {-}} , pentru {\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}} avem asta: