Teorema oprire opțională a lui Doob

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.

Salt la navigare Salt la căutare

În teoria probabilității , teorema opțională de oprire a lui Doob afirmă că, în anumite condiții, valoarea așteptată a unei martingale la un anumit timp de oprire coincide cu valoarea inițială așteptată.

Teorema poartă numele matematicianului Joseph Leo Doob .

Afirmație

Este $(X_{n})_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(X_ {n}) _ {{n \ geq 0}}$ o martingală pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ și fie $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ un timp de oprire pentru X. Să presupunem că una dintre următoarele condiții este valabilă:

$\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este limitat, adică există o constantă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât $\tau <c$ ${\ displaystyle \ tau <c}$ $\ tau <c$ aproape sigur .
$\mathbb {E} (\tau )<\infty$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} (\ tau) <\ infty}$ ${\ mathbb E} (\ tau) <\ infty$ și există o constantă $K\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle K \ in \ mathbb {R}}$ $K \ in {\ mathbb R}$ astfel încât

|X_{n}(\omega )-X_{n-1}(\omega )|\leq K\qquad \forall (n,\omega )

{\ displaystyle | X_ {n} (\ omega) -X_ {n-1} (\ omega) | \ leq K \ qquad \ forall (n, \ omega)}

| X_ {n} (\ omega) -X _ {{n-1}} (\ omega) | \ leq K \ qquad \ forall (n, \ omega)

.

X este limitat, adică există $K\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle K \ in \ mathbb {R}}$ $K \ in {\ mathbb R}$ astfel încât

|X_{n}(\omega )|\leq K\qquad \forall (n,\omega )

{\ displaystyle | X_ {n} (\ omega) | \ leq K \ qquad \ forall (n, \ omega)}

| X_ {n} (\ omega) | \ leq K \ qquad \ forall (n, \ omega)

Și

\tau

{\ displaystyle \ tau}

\ tau

este aproape sigur terminat.

Atunci

\mathbb {E} (X_{\tau })=\mathbb {E} (X_{0})

{\ displaystyle \ mathbb {E} (X _ {\ tau}) = \ mathbb {E} (X_ {0})}

{\ mathbb E} (X _ {{\ tau}}) = {\ mathbb E} (X_ {0})

La fel, dacă $(X_{n})_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(X_ {n}) _ {{n \ geq 0}}$ este un supermartingale, veți avea

\mathbb {E} (X_{\tau })\leq \mathbb {E} (X_{0})

{\ displaystyle \ mathbb {E} (X _ {\ tau}) \ leq \ mathbb {E} (X_ {0})}

{\ mathbb E} (X _ {{\ tau}}) \ leq {\ mathbb E} (X_ {0})

Dacă, pe de altă parte, este un submartingal

\mathbb {E} (X_{\tau })\geq \mathbb {E} (X_{0})

{\ displaystyle \ mathbb {E} (X _ {\ tau}) \ geq \ mathbb {E} (X_ {0})}

{\ mathbb E} (X _ {{\ tau}}) \ geq {\ mathbb E} (X_ {0})

.

Bibliografie

David Williams, Probability with Martingales , Cambridge Mathematical Manuals, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Theorem_of_optional_stop_of_Doob&oldid=88626870 ”

Procese stochastice