Testul Shapiro-Wilk

Testul Shapiro-Wilk este unul dintre cele mai puternice teste pentru verificareanormalității , în special pentru probele mici. Este un test pentru verificarea ipotezelor statistice . A fost introdus în 1965 de Samuel Shapiro și Martin Wilk .

Verificarea normalității are loc prin compararea a doi estimatori alternanți de varianță $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ :

un estimator non-parametric bazat pe combinația liniară optimă a statisticii ordinii unei variabile aleatorii normale la numărător, e
estimatorul parametric obișnuit, adică varianța eșantionului, în numitor.

W={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}

{\ displaystyle W = {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x _ {(i)} \ right) ^ {2} \ over \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2}}}

{\ displaystyle W = {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x _ {(i)} \ right) ^ {2} \ over \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2}}}

unde este

x _{( i )} (indexul i inclus între paranteze) este a i-a cea mai mică valoare (rangul i ) al eșantionului
${\overline {x}}=(x_{1}+\cdots +x_{n})/n$ ${\ displaystyle {\ overline {x}} = (x_ {1} + \ cdots + x_ {n}) / n}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}} = (x_ {1} + \ cdots + x_ {n}) / n}$ Este aritmetica medie a eșantionului
iar constantele a _i sunt date de

(a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\top }V^{-1} \over (m^{\top }V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}

{\ displaystyle (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) = {m ^ {\ top} V ^ {- 1} \ over (m ^ {\ top} V ^ {- 1} V ^ {- 1} m) ^ {1/2}}}

{\ displaystyle (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) = {m ^ {\ top} V ^ {- 1} \ over (m ^ {\ top} V ^ {- 1} V ^ {- 1} m) ^ {1/2}}}

unde este

m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\top }

{\ displaystyle m = (m_ {1}, \ dots, m_ {n}) ^ {\ top}}

{\ displaystyle m = (m_ {1}, \ dots, m_ {n}) ^ {\ top}}

și m ₁ , ..., m _n sunt valorile așteptate ale rangurilor unui număr aleator standardizat, iar V este matricea covarianțelor acestor ranguri.

Statistica W poate lua valori de la 0 la 1. Dacă valoarea statisticii W este prea mică, testul respinge ipoteza nulă conform căreia valorile eșantionului sunt distribuite ca ovariabilă normală aleatorie .

Ponderile pentru combinația liniară sunt disponibile pe tabelele corespunzătoare. Statistica W poate fi interpretată ca pătratul coeficientului de corelație într-o diagramă cuantil-cuantilă .

Bibliografie

Sam S. Shapiro, Martin Bradbury Wilk (1965). „O analiză a testului de varianță pentru normalitate (probe complete)”, Biometrika , 52, 3 și 4, paginile 591-611.

Elemente conexe

Testul Jarque-Bera , utilizat foarte des pentru verificarea ipotezei normalității în câmpul econometric
Test Anderson-Darling
Testul Kolmogorov-Smirnov
Testul Cramér-von-Mises

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică