Transformarea radonului

În matematică , transformata Radon , al cărei nume se datorează lui Johann Radon , este o transformare integrală a cărei inversă, numită antitransformă Radon , este utilizată pentru reconstituirea imaginilor bidimensionale pornind de la datele colectate în procesul de diagnostic medical numit tomografie axială computerizată ( Scanare CT). Antitransformarea cu radon este, de asemenea, utilizată în alte aplicații practice: de exemplu, a fost utilizată pentru a reconstitui hărți ale regiunilor polare ale unei planete sau poziția și ruta navelor pe baza datelor din satelit.

Definiție

Transformata de radon R a funcției f (x, y) este definită ca:

{\mathcal {R}}_{\theta }(\rho )[f(x,y)]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (\rho -x\cos \theta -y\sin \theta )dxdy

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ theta} (\ rho) [f (x, y)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) \ delta (\ rho -x \ cos \ theta -y \ sin \ theta) dxdy}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ theta} (\ rho) [f (x, y)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) \ delta (\ rho -x \ cos \ theta -y \ sin \ theta) dxdy}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este panta unghiulară a liniei de scanare.

Antitransformarea radonului este:

[f(x,y)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d}{dy}}{\mathcal {H}}[{\mathcal {U}}(m,y-mx)]dm

{\ displaystyle [f (x, y)] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d} {dy}} {\ mathcal {H}} [{\ mathcal {U}} (m, y-mx)] dm}

{\ displaystyle [f (x, y)] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d} {dy}} {\ mathcal {H}} [{\ mathcal {U}} (m, y-mx)] dm}

unde H este transformata Hilbert .

Această transformare a fost introdusă (pentru probleme în două și trei dimensiuni) în 1917 de matematicianul Johann Radon , care a publicat și formulele pentru calcularea antitransformei (problema de reconstrucție) și a fost generalizată ulterior în cazul problemelor multidimensionale, în câmpul geometriei integrale .

Algoritm de proiecție posterioară filtrat

Cunoașterea transformării Radon a unui obiect ne permite să reconstituim structura acestuia: teorema proiecției ne asigură că, dacă avem un număr infinit de proiecții unidimensionale ale unui obiect realizate dintr-un număr infinit de unghiuri diferite (adică dacă știm U (m, q) ), putem reconstitui perfect geometria obiectului original (adică: f (x, y) ), iar procesul de reconstrucție constă tocmai în calcularea antitransformei de radon.

Cu toate acestea, antitransformarea cu radon este foarte instabilă dacă datele măsurate sunt afectate de zgomotul experimental. Prin urmare, în practică, se folosește o versiune stabilizată și discretizată a radonului antitransformat, cunoscut sub numele de „algoritm de proiecție posterioară filtrat” . Un corolar al teoremei de proiecție afirmă că „transformarea Radon a convoluției bidimensionale a două funcții este egală cu convoluția unidimensională a transformatelor lor Radon” . Consecința practică a acestui fapt este că pentru a elimina zgomotul care reduce calitatea reconstrucției nu este necesar să-l eliminați fizic la sursă, dar este posibil să filtrați matematic rezultatele experimentale (adică măsurarea transformatei Radon) și apoi efectuați reconstrucția (adică calculați „antitransformatul) direct pe datele filtrate ulterior.

Bibliografie

Decani, Stanley R. (1983). Transformarea radonului și unele dintre aplicațiile sale. New York: John Wiley & Sons .
Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0898714931
Frank Natterer și Frank Wubbeling, Metode matematice în reconstrucția imaginii , Societate pentru matematică industrială și aplicată. ISBN 0898714729

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre transformarea radonului

linkuri externe

( RO ) „Transformarea radonului” de Eric W. Weisstein (de la MathWorld)
Algoritm pentru identificarea navelor prin transformarea Radon (pentru identificarea petrolierelor care descarcă ilegal în Marea Mediterană )
[1] applett care calculează transformata de radon și antitransforma

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică