Unghiul tangent

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

intr-un loc

P.

{\ displaystyle P}

P.

a unei curbe

Unghiul tangent sau unghiul de rotație al unei curbe regulate într-un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ aparținând curbei este unghiul dintre tangenta curbei în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și axa abscisei, ^[1] sau între tangenta în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și tangenta la un punct predeterminat de pe curbă ^[2] (cele două definiții sunt echivalente cu mai puțin decât o constantă aditivă).

Definiție și proprietăți

Dat fiind o curbă regulată exprimată prin parametrizare $\alpha (t):[a,\,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ alpha (t): [a, \, b] \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ alpha (t): [a, \, b] \ to \ R ^ 2$ Se dă $\theta _{0}\in [0,\,2\pi ]$ ${\ displaystyle \ theta _ {0} \ în [0, \, 2 \ pi]}$ $\ theta_0 \ în [0, \, 2 \ pi]$ astfel încât

{\frac {\alpha '(t_{0})}{||\alpha '(t_{0})||}}=\left(\cos(\theta _{0}),\,\sin(\theta _{0})\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha '(t_ {0})} {|| \ alpha' (t_ {0}) ||}} = \ left (\ cos (\ theta _ {0}), \, \ sin (\ theta _ {0}) \ right)}

\ frac {\ alpha '(t_0)} {|| \ alpha' (t_0) ||} = \ left (\ cos (\ theta_0), \, \ sin (\ theta_0) \ right)

pentru o valoare $t_{0}\in [a,\,b]$ ${\ displaystyle t_ {0} \ în [a, \, b]}$ $t_0 \ în [a, \, b]$ fix, se arată că există o singură funcție diferențiată $\theta _{\alpha }:[a,\,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ alpha}: [a, \, b] \ to \ mathbb {R}}$ $\ theta _ {\ alpha}: [a, \, b] \ to \ R$ astfel încât

{\frac {\alpha '(t)}{||\alpha '(t)||}}=\left(\cos(\theta _{\alpha }(t)),\,\sin(\theta _{\alpha }(t))\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha '(t)} {|| \ alpha' (t) ||}} = \ left (\ cos (\ theta _ {\ alpha} (t)), \, \ sin (\ theta _ {\ alpha} (t)) \ right)}

\ frac {\ alpha '(t)} {|| \ alpha' (t) ||} = \ left (\ cos (\ theta _ {\ alpha} (t))), \, \ sin (\ theta _ {\ alpha} (t)) \ dreapta)

Și

\theta _{\alpha }(t_{0})=\theta _{0}

{\ displaystyle \ theta _ {\ alpha} (t_ {0}) = \ theta _ {0}}

\ theta _ {\ alpha} (t_0) = \ theta_0

.

Această funcție $\theta _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ alpha}}$ $\ theta _ {\ alpha}$ este unghiul tangent al $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ determinat de $\theta _{0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta_0$ . ^[3]

Dacă curba are viteza unitară, avem

\alpha '(s)=\left(\cos(\theta (s)),\,\sin(\theta (s))\right)

{\ displaystyle \ alpha '(s) = \ left (\ cos (\ theta (s)), \, \ sin (\ theta (s)) \ right)}

\ alpha '(s) = \ left (\ cos (\ theta (s)), \, \ sin (\ theta (s)) \ right)

și se arată că curbura este dată de derivata unghiului tangent:

\kappa =\varphi '(s)

{\ displaystyle \ kappa = \ varphi '(s)}

\ kappa = \ varphi '(s)

unde semnul $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ este pozitiv dacă curba se îndoaie spre stânga, negativă dacă se îndoaie spre dreapta. ^[4]

Dacă curba este exprimată implicit prin ecuație $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , parametrizarea sa este dată de $(x,\ f(x))$ ${\ displaystyle (x, \ f (x))}$ $(x, \ f (x))$ și vă puteți asuma $\varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ varphi \ in \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, \, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$ $\ varphi \ in \ left [- \ frac {\ pi} {2}, \, \ frac {\ pi} {2} \ right]$ , iar unghiul de rotație este dat în mod explicit de $\varphi =\arctan f'(x)$ ${\ displaystyle \ varphi = \ arctan f '(x)}$ $\ varphi = \ arctan f '(x)$ .

Unghiul tangentei polare

În coordonatele polare , unghiul polar tangent la un punct este definit ca unghiul dintre tangenta la curbă în acel punct și raza de la origine la punct. ^[5] Dacă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ denotă unghiul polar tangent, atunci $\psi =\varphi -\theta$ ${\ displaystyle \ psi = \ varphi - \ theta}$ $\ psi = \ varphi - \ theta$ , unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este unghiul tangent definit anterior e $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul polar.

Dacă o curbă este definită în coordonate polare precum $r=f(\theta )$ ${\ displaystyle r = f (\ theta)}$ $r = f (\ theta)$ avem că unghiul polar tangent $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ în $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este dat (mai puțin decât un multiplu de $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ) din

{\frac {(f'(\theta ),\ f(\theta ))}{|f'(\theta ),\ f(\theta )|}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )

{\ displaystyle {\ frac {(f '(\ theta), \ f (\ theta))} {| f' (\ theta), \ f (\ theta) |}} = (\ cos \ psi, \ \ sin \ psi)}

\ frac {(f '(\ theta), \ f (\ theta))} {| f' (\ theta), \ f (\ theta) |} = (\ cos \ psi, \ \ sin \ psi)

.

Dacă curba este exprimată printr-o parametrizare în coordonate polare și cu viteza unitară $r=r(s),\ \theta =\theta (s)$ ${\ displaystyle r = r (s), \ \ theta = \ theta (s)}$ $r = r (s), \ \ theta = \ theta (s)$ , definiția devine mai simplă

(r'(s),\ r\theta '(s))=(\cos \psi ,\ \sin \psi )

{\ displaystyle (r '(s), \ r \ theta' (s)) = (\ cos \ psi, \ \ sin \ psi)}

(r '(s), \ r \ theta' (s)) = (\ cos \ psi, \ \ sin \ psi)

. ^[6]

Spirala logaritmică poate fi definită ca o curbă al cărei unghi polar tangent este constant. ^[5] ^[6]

Notă

^ "Ecuația naturală", MathWorld
^ De exemplu, W. Whewell în „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and its Application” Cambridge Philosophical Transactions Vol. VIII (1849) pp. 659-671, unde φ indică unghiul dintre tangenta la punct și tangenta originii; în acest articol el introduce conceptul ecuației lui Whewell , o aplicație importantă a unghiului tangent.
^ Caddeo & Gray , pp. 20-21 .
^ MathWorld, „Ecuația naturală”
^ ^a ^b „Spirală logaritmică” pe Planet Math
^ ^a ^b Williamson , p. 222 .

Bibliografie

Renzo Caddeo și Alfred Gray, Curbe și suprafețe , vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, ISBN 88-8467-022-5 .
RC Yates, A Handbook on Curves and Their Properties , Ann Arbor, MI, JW Edwards, 1952, pp. 123–126.
Benjamin Williamson, Angle between Tangent and Radius Vector , în Un tratat elementar asupra calculului diferențial , ediția a IX-a, 1899, p. 222 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Tangent angle , în MathWorld , Wolfram Research.
Notations , pe Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] "Ecuația naturală", MathWorld

[2] De exemplu, W. Whewell în „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and its Application” Cambridge Philosophical Transactions Vol. VIII (1849) pp. 659-671, unde φ indică unghiul dintre tangenta la punct și tangenta originii; în acest articol el introduce conceptul ecuației lui Whewell , o aplicație importantă a unghiului tangent.

[3] Caddeo & Gray , pp. 20-21 .

[4] MathWorld, „Ecuația naturală”

[Planet-5] „Spirală logaritmică” pe Planet Math

[williamson-6] Williamson , p. 222 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]