Ecuația Whewell

Cantități implicate în ecuația Whewell: abscisa curbiliniară

s

{\ displaystyle s}

s

și unghiul

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

Ecuația Whewell este o ecuație naturală care exprimă o curbă plană printr-o relație între unghiul de rotație ( $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ) și abscisa curbiliniară ( $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ). Aceste cantități sunt independente (cu excepția semnului) de sistemul de coordonate ales pentru a reprezenta curba cufundată în spațiul ambiental și, printre diferitele consecințe, două curbe congruente au aceeași ecuație Whewell.

Este numit după William Whewell , care a introdus conceptul în 1849 într-un articol pentru jurnalul Cambridge Philosophical Transactions . În formularea sa inițială, unghiul a fost considerat a fi abaterea tangentei față de un punct predeterminat de pe curbă.

Proprietate

Având în vedere o curbă exprimată în formă parametrică în funcție de abscisa curbiliniară $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , coltul $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ se stabilește cum

{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}={\begin{pmatrix}dx/ds\\dy/ds\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}\quad {\text{essendo}}\quad \left|{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right|=1,

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} = {\ begin {pmatrix} dx / ds \\ dy / ds \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi \\\ sin \ varphi \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {being}} \ quad \ left | {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} \ right | = 1 ,}

\ frac {d \ vec r} {ds} = \ begin {pmatrix} dx / ds \\ dy / ds \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ varphi \\ \ sin \ varphi \ end {pmatrix } \ quad \ text {fiind} \ quad \ left | \ frac {d \ vec r} {ds} \ right | = 1,

Ceea ce implică

{\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi .

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi.}

\ frac {dy} {dx} = \ tan \ varphi.

O parametrizare pentru curbă poate fi obținută prin integrarea:

x=\int \cos \varphi \,ds

{\ displaystyle x = \ int \ cos \ varphi \, ds}

x = \ int \ cos \ varphi \, ds

y=\int \sin \varphi \,ds

{\ displaystyle y = \ int \ sin \ varphi \, ds}

y = \ int \ sin \ varphi \, ds

Exprimând unghiul în funcție de abscisa curbiliniară, unele proprietăți ale curbei se exprimă ușor: de exemplu, derivata unghiului este egală cu curbura , din care rezultă că derivata ecuației Whewell este ecuația Cesaro de aceeași curbă.

Exemple

Linia are un unghi constant de rotație, deci ecuația lui Whewell va fi

\varphi =c

{\ displaystyle \ varphi = c}

\ varphi = c

Circumferința are un unghi de rotație care variază liniar, deci ecuația sa va fi

s={\frac {1}{r}}\varphi

{\ displaystyle s = {\ frac {1} {r}} \ varphi}

s = \ frac {1} {r} \ varphi

Bibliografie

Whewell, W. De ecuația intrinsecă a unei curbe și aplicația acesteia. Cambridge Philosophical Transactions, Vol. VIII, pp. 659–671, 1849. Google Books
Todhunter, Isaac. William Whewell, DD, O relatare a scrierilor sale, cu selecții din corespondența sa literară și științifică. Vol. I. Macmillan and Co., 1876, Londra. Secțiunea 56: p. 317.
J. Dennis Lawrence, Un catalog de curbe plane speciale , Dover Publications, 1972, pp. 1 –5, ISBN 0-486-60288-5 .
Yates, RC: Un manual privind curbele și proprietățile lor , JW Edwards (1952), „Ecuații intrinseci” p124-5

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, ecuația lui Whewell , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică