Axiome pentru egalitate

Axiomele pentru egalitate sunt un set de axiome care pot face parte dintr-o teorie de primul ordin pentru a formaliza toate deducțiile normale care se fac în matematică cu relația de egalitate . Dacă rolul „egalității” în teorie este jucat de simbolul relației binare $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ apoi axiomele pentru egalitate pentru $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ sunt următoarele:

(U1) $\forall xE(x,x)$ ${\ displaystyle \ forall xE (x, x)}$ ${\ displaystyle \ forall xE (x, x)}$
(U2) închiderea universală a
$E(t_{k},u)\rightarrow E(f(t_{1},...,t_{k},...,t_{n}),f(t_{1},...,u,...,t_{n}))$ ${\ displaystyle E (t_ {k}, u) \ rightarrow E (f (t_ {1}, ..., t_ {k}, ..., t_ {n}), f (t_ {1},. .., u, ..., t_ {n}))}}$ ${\ displaystyle E (t_ {k}, u) \ rightarrow E (f (t_ {1}, ..., t_ {k}, ..., t_ {n}), f (t_ {1},. .., u, ..., t_ {n}))}}$
pentru toate alegerile posibile de termeni $u,t_{1},..,t_{n}$ ${\ displaystyle u, t_ {1}, .., t_ {n}}$ ${\ displaystyle u, t_ {1}, .., t_ {n}}$ și simboluri pentru funcții $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -aer $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$
(U3) închiderea universală a
$E(t_{k},u)\rightarrow (R(t_{1},...,t_{k},...,t_{n})\leftrightarrow R(t_{1},...,u,...,t_{n}))$ ${\ displaystyle E (t_ {k}, u) \ rightarrow (R (t_ {1}, ..., t_ {k}, ..., t_ {n}) \ leftrightarrow R (t_ {1},. .., u, ..., t_ {n}))}}$ ${\ displaystyle E (t_ {k}, u) \ rightarrow (R (t_ {1}, ..., t_ {k}, ..., t_ {n}) \ leftrightarrow R (t_ {1},. .., u, ..., t_ {n}))}}$
pentru toate alegerile posibile de termeni $u,t_{1},...,t_{n}$ ${\ displaystyle u, t_ {1}, ..., t_ {n}}$ ${\ displaystyle u, t_ {1}, ..., t_ {n}}$ și simboluri pentru relații $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -aer $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$

Axioma (U1) exprimă proprietatea reflexivă a egalității. (U2) și (U3) sunt scheme de axiome care includ o cantitate infinită de axiome. (U2) exprimă faptul că dacă doi termeni diferiți denotă două obiecte care sunt egale, atunci valorile funcțiilor care sunt calculate prin înlocuirea unui obiect cu celălalt sunt, de asemenea, egale. Schema (U3) exprimă faptul că dacă doi termeni denotă obiecte egale, atunci prin substituirea unui termen cu celălalt într-o relație, se obțin propoziții logic echivalente .

O teorie de ordinul întâi care include axiome pentru egalitate se numește teorie de ordinul întâi cu egalitate . În acest tip de teorii este obișnuit să se utilizeze relația simbol "=" pentru egalitate.

Semantică

Pentru a avea un model al axiomelor pentru egalitate nu este necesar să interpretăm simbolul relației binare E ca relație de egalitate : axiomele sunt verificate chiar dacă simbolul E este interpretat ca o relație de echivalență . Un model de axiome în care interpretarea lui E este egalitate se numește model normal .

Elemente conexe

Teoria primului ordin

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică