Cercul Brocard

Această intrare sau secțiune despre geometrie nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . Puteți îmbunătăți această intrare adăugând citate din surse de încredere în conformitate cu liniile directoare privind utilizarea surselor . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

În geometria plană , considerată un triunghi ABC , punctul său Lemoine K și circumcentrul său O, cercul al cărui diametru este segmentul OK (și punctul mijlociu al acestui segment, adică centrul primului cerc) prezintă un interes considerabil. De Lemoine ); cercul astfel obținut ia numele de cercul lui Brocard , în onoarea descoperitorului său, matematicianul francez Pierre Brocard (1845-1922).

Proprietățile cercului Brocard

• Dacă i se dă un triunghi ABC , construim în interiorul său, pe fiecare dintre laturile sale, un triunghi isoscel asemănător acestuia, vârfurile A ', B', C 'ale celor trei triunghiuri care sunt determinate, formează un triunghi care nu este similar cu unul dat, cu excepția a două cazuri:

• • când unghiul la baza celor triunghiuri isoscele este zero: în fapt , în acest caz , A „B“ și C «devin punctele mediane ale pereților laterali ABC și circumscris al triunghiului A'B'C» este prin definiție Cercul Feuerbach .

• • când unghiul la baza celor triunghiuri isoscele este egal cu unghiul Brocard : în acest caz circumscris triunghiului A'B'C 'este , prin definiție , cercul Brocard.

• Cercul Brocard este locusul punctelor Lemoine ale triunghiurilor similare circumscrise triunghiului ABC . Acest cerc trece prin șapte puncte notabile, adică prin circumcentrul O, prin punctul Lemoine K, prin punctele Brocard W și W 'și, prin cele trei puncte l, m, n, intersecția liniilor care unesc W și W' la vârfurile triunghiului ABC .

• Să luăm în considerare un triunghi ABC , cercul său Brocard și punctele A1, B1, C1, în care acest cerc seca paralelele cu BC , CA , AB realizate prin K; liniile AC1, BA1 și CB1 se intersectează pe cercul din primul punct Brocard , în timp ce liniile AB1, BC1 și CA1 se intersectează pe cercul din al doilea punct Brocard .

intr-adevar:

• • prin definiția cercului lui Brocard , punctul lui Lemoine și circumcentrul sunt pe acest cerc;
  • dacă notăm cu A1, B1, C1 punctele în care cercul Brocard intersectează paralelele Lemoine , liniile drepte AC1 , BA1 , CB1 se intersectează prin definiție pe cercul din primul punct Brocard W;
  • liniile drepte AB1 , BC1 , CA1 se intersectează pe cerc în al doilea punct Brocard W ';
  • cele trei puncte de intersecție ale liniilor drepte care unesc W și W 'cu vârfurile triunghiului ABC , așa cum sunt definite, reprezintă punctele A1, B1, C1, ale proprietății anterioare, aceste puncte aparțin cercului Brocard ;

se poate concluziona că cercul lui Brocard poate fi numit cercul de șapte puncte .

• Dat fiind un triunghi ABC , cele două puncte Brocard W și W 'sunt echidistante de punctul Lemoine K și linia WW' este perpendiculară pe segmentul OK, adică cu diametrul cercului Brocard .

• Având în vedere un triunghi ABC și circumcentrul său O, liniile drepte perpendiculare pe laturile triunghiului și care trec prin O, separă cercul lui Brocard în trei puncte A1, B1, C1, unirea acestor puncte dă naștere unui triunghi numit primul Triunghiul lui Brocard .

• Având în vedere un triunghi ABC și simedienii săi, aceștia separă cercul lui Brocard în trei puncte A2, B2, C2, unirea acestor puncte dă naștere unui triunghi numit al doilea triunghi al lui Brocard .

linkuri externe

• (EN) Eric W. Weisstein, cercul Brocard , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică