Cissoid de Diocles

Diocle cizoid în plan cartezian

Cistoidul Diocles este o curbă plană cu o cuspidă ; în acest moment are o singură tangentă , numită și axa cistoidului, deoarece curba este simetrică față de această linie. Două ramuri simetrice se separă de cuspid, cu aceeași asimptotă ortogonală față de axă.

Această curbă a fost utilizată de Diocles pentru a rezolva problema duplicării cubului . Cuvântul „cyssoid” provine din forma greacă kissoeidēs , „în formă de iederă ”, compusă din forme kissos , iederă și oeidēs .

Ecuații

Cisoidul lui Diocles poate fi definit prin mai multe ecuații:

ecuație polară :

\rho =2a(\sec \theta -\cos \theta ),\quad {\mbox{con}}\quad \theta \in (-\pi /2,\pi /2)

{\ displaystyle \ rho = 2a (\ sec \ theta - \ cos \ theta), \ quad {\ mbox {con}} \ quad \ theta \ in (- \ pi / 2, \ pi / 2)}

{\ displaystyle \ rho = 2a (\ sec \ theta - \ cos \ theta), \ quad {\ mbox {con}} \ quad \ theta \ in (- \ pi / 2, \ pi / 2)}

.

ecuație parametrică :

\left\{{\begin{matrix}y&=&2a\left(\tan \theta -{1 \over 2}\sin 2\theta \right)\\x&=&2a\sin ^{2}\theta ,\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} y & = & 2a \ left (\ tan \ theta - {1 \ over 2} \ sin 2 \ theta \ right) \\ x & = & 2a \ sin ^ {2} \ theta, \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} y & = & 2a \ left (\ tan \ theta - {1 \ over 2} \ sin 2 \ theta \ right) \\ x & = & 2a \ sin ^ {2} \ theta, \ end {matrix}} \ right.}

Ecuația cartesiană:

y^{2}={x^{3} \over 2a-x}\quad {\mbox{dove}}\quad x\in [0,2a)

{\ displaystyle y ^ {2} = {x ^ {3} \ over 2a-x} \ quad {\ mbox {where}} \ quad x \ in [0,2a)}

{\ displaystyle y ^ {2} = {x ^ {3} \ over 2a-x} \ quad {\ mbox {where}} \ quad x \ in [0,2a)}

.

Construcția cissoidului

Construcția cistoidului Diocles

Cisoidul Diocles este un caz particular al unui cisoid , obținut folosind o circumferință și o linie dreaptă ca curbe de bază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ tangent la acesta la punctul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , și ca un pol punctul $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a circumferinței opuse $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Fiecare linie dreaptă care trece prin $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ se intersectează $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ intr-un loc $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ iar circumferința $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ intr-un loc $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ; cisoidul lui Diocles este locusul punctelor $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ pentru care se menține egalitatea $OQ=KN$ ${\ displaystyle OQ = KN}$ ${\ displaystyle OQ = KN}$ .

Ecuația polară

Din această relație este simplu să derivăm ecuația polară a cisoidului: spus $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ coltul $P{\hat {O}}N$ ${\ displaystyle P {\ hat {O}} N}$ ${\ displaystyle P {\ hat {O}} N}$ , loc $OP=2a$ ${\ displaystyle OP = 2a}$ ${\ displaystyle OP = 2a}$ , din relațiile triunghiurilor dreptunghiulare $SAU P. K.$ ${\ displaystyle OPK}$ ${\ displaystyle OPK}$ Și $SAU P. Nu.$ ${\ displaystyle OPN}$ ${\ displaystyle OPN}$ avem:

{\begin{matrix}ON&=&2a\sec \theta \\OK&=&2a\cos \theta \\QN&=&ON-OQ=2a\sec \theta -\rho ,\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} ON & = & 2a \ sec \ theta \\ OK & = & 2a \ cos \ theta \\ QN & = & ON-OQ = 2a \ sec \ theta - \ rho, \ end {matrice}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} ON & = & 2a \ sec \ theta \\ OK & = & 2a \ cos \ theta \\ QN & = & ON-OQ = 2a \ sec \ theta - \ rho, \ end {matrice}}}

din care rezultă $2a\cos \theta =2a\sec \theta -\rho$ ${\ displaystyle 2a \ cos \ theta = 2a \ sec \ theta - \ rho}$ ${\ displaystyle 2a \ cos \ theta = 2a \ sec \ theta - \ rho}$ și ecuația

\rho =2a\sec \theta -2a\cos \theta .

{\ displaystyle \ rho = 2a \ sec \ theta -2a \ cos \ theta.}

{\ displaystyle \ rho = 2a \ sec \ theta -2a \ cos \ theta.}

Ecuația cartesiană

Ecuația cartesiană se obține prin substituirea în ecuația polară:

{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\cos \theta &=&{\frac {x}{\rho }}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sec \theta &=&{\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{x}}.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ rho & = & {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ cos \ theta & = & {\ frac {x} {\ rho} } = {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \\\ sec \ theta & = & {\ frac {1} {\ cos \ theta}} = { \ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {x}}. \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ rho & = & {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ cos \ theta & = & {\ frac {x} {\ rho} } = {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \\\ sec \ theta & = & {\ frac {1} {\ cos \ theta}} = { \ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {x}}. \ end {matrix}}}

Apoi obținem:

{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{x}}-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=2a{\frac {y^{2}}{x{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a \ left ({\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {x}} - {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) = 2a {\ frac {y ^ {2}} {x {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}.}

{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a \ left ({\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {x}} - {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) = 2a {\ frac {y ^ {2}} {x {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}.}

Prin eliminarea numitorilor și izolarea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se obține ecuația dorită:

{\begin{matrix}x\left(x^{2}+y^{2}\right)&=&2ay^{2}\\x^{3}+xy^{2}&=&2ay^{2}\\x^{3}&=&\left(2a-x\right)y^{2}.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) & = & 2ay ^ {2} \\ x ^ {3} + xy ^ {2} & = & 2ay ^ {2} \\ x ^ {3} & = & \ left (2a-x \ right) y ^ {2}. \ End {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) & = & 2ay ^ {2} \\ x ^ {3} + xy ^ {2} & = & 2ay ^ {2} \\ x ^ {3} & = & \ left (2a-x \ right) y ^ {2}. \ End {matrix}}}

Alte proprietăți

Următoarele proprietăți sunt valabile pentru cistoidul Diocles, care poate fi, de asemenea, presupus ca o definiție a curbei:

podaria unei parabole în raport cu vârful său este un cisoid al lui Diocle;
dacă o parabolă se prăbușește (fără să se târască) pe o parabolă egală atingând-o mereu extern, vârful său descrie un cisoid de Diocles;
familia cyssoid este intersecția de Sluze familia conchids cu ophiurid familiei.

Bibliografie

( EN ) Xah Lee, Cissoid of Diocles , on Visual Dictionary of Special Plane Curves . Adus 10-08-2008 .
( EN ) Cissoid of Diocles , pe The MacTutor History of Mathematics archive , School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Adus 10-08-2008 .
( FR ) Robert Ferréol, Jacques Mandonnet, Cissoïde de Dioclès ou cissoïde droite , pe Encyclopédie des formes Mathématiques Remarquables . Adus 10-08-2008 . (cu ilustrații foarte bune)

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Cissoide al lui Diocles

linkuri externe

Construcția cistoidului Diocles

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică